第07讲 有理数的乘法与除法（9类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材人教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第07讲有理数的乘法与除法 予内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1两个有理数的乘法运算 题型2多个有理数的乘法运算 题型3倒数 题型4有理数乘法运算律 题型5有理数乘法的实际应用 题型6有理数的除法运算 题型7有理数的乘除混合运算 题型8有理数的乘除混合运算之新定义型问题 题型9有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 04过关检测→练考点： 强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 1.掌握有理数的乘法法则，能确定多个因数相乘的积的符号（奇负偶正）， 并能准确计算。 乘法法则、符号法则、2.理解倒数的概念，能求出一个有理数的倒数(0除外)，掌握乘法运算律 倒数、除法法则、转化、（交换、结合、分配）。 奇负偶正。 3.掌握有理数的除法法侧（除以一个数等于乘以这个数的倒数），能将除法 统一为乘法。 4.能熟练进行有理数的乘除混合运算，体会转化思想，培养运算能力与严谨 性。 学习重点：有理数乘除法法则，特别是多个因数相乘的符号确定，以及除法向乘法的转化。 学习难点：理解乘法法则中“同号得正，异号得负”的算理，以及除法法则中“除以一个数等于乘以 它的倒数”的灵活运用，特别是当除数为分数或负数时。 02 教材全解 1/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知1识|框|架 同号得正异号负，绝对值相乘记清是 乘法口快 得正 0乘任何数得0 解题方法与口诀 同号两数相柔 绝对值相乘 除号变乘号，除数变数 除法口快 有理数乘法法则 得负 符号判断错误 异号两数相乘 绝对值相乘 除法变乘法时侧错误 高频易错点 与0相乘 积为0 除混合运算顺序混乱 交换律 ab=ba 乘法法则应用 有理数乘法运算律 结合律(ab)c=abc) 除法法测应用 高频考点 有理数的乘法与除法 分配律 a(b+c)sab+ac 运算律筒便计慎 等于乘以它的倒整 求n个相同因敬的积概客 除以一个非零敌 有理数乘方初步 公式表示：a+b=a×1/b a的n次方记作a”表示方法 同号得正 除法变柔法 有理数除法法则 两数相除 异号得负 统一为乘法 转化为分数柔法 有理数乘除混合运算 始对值相除 从左到右依次计算 运算顺序 商为0 O除以非零数 先算脸后算加减 0不能作除数 知|识I精1讲 知识点01有理数的乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 (2)任何数同0相乘，都得0. (3)多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0. 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1 【易错提醒】 有理数乘法易错警示：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘得0。注意：多 个数相乘，负因数个数为奇数时积为负，偶数时为正。勿忘符号。 即时即练1.2026的倒数是 2.计算： (1)(-8)×(+2): 引 3.计算。 a2)xxox号 (2-4)×-1234)×(-25); 8492x-16): 8 知识点02有理数的乘法运算律 2/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)乘法交换律：ab=ba;(2)乘法结合律：(ab)c=a(bc);(3)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac. 【易错提醒】 有理数乘法运算律易错警示：交换律、结合律、分配律均可使用。注意分配律α(b+c)ab+ac且可反向使用。 括号前是负数时，分配后各项均需变号。勿漏乘括号内每一项。 即时即练1.下列运算中用的运算律是() x24=2x24-3 ×24=4-18=-14. 6 4 A.乘法结合律及分配律 B.乘法交换律及分配律 C.乘法交换律及乘法结合律 D.分配律及加法结合律 2.计算： -24 知识点03确定厨积符号 (1)若a<0,b>0,则ab<0:(2)若a<0,b<0,则ab>0;(3)若ab>0,则a、b同号； (4)若ab<0,则a、b异号；(5)若ab=0,则a、b中至少有一个数为0. 【易错提醒】 乘积符号（多个有理数相乘）易错警示：结果符号由负因数个数决定：*奇数个负因数为负，偶数个为正* *。计算时先定符号，再算绝对值。注意：有因数为0时积为0，无需再判断符号。 即时即练1.下列式子中，积的符号为负的是( a.（+o B〔6-》 c.-3x-列x0 .+引f周 2对于-3列×(-3列x…x-3) ,若m=2025,则其结果为() m个(-3)相乘 A.正数 B.负数 C.0 D.不能确定 知识点04有理数除法法测 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除 3/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0 【易错提醒】 有理数除法易错警示：除以一个不为0的数等于乘它的倒数。即a÷b=a×言仍≠0)。同号得正，异号得 负。注意：0不能作除数，勿忽略倒数转化步骤。 即时即练1计算： (1川-60)÷(-12)： e-30+写 (3)-0.75÷0.25: 4-68 2.计算： (1)0÷(-2)； (2(-315)÷(-7)； (4)(-0.75)÷(-0.25). 03 题型突破 题型1两个有理数的乘法运算 【例1】计算： o8: a-2, （o-28号}x0: (4)+16×-25): -036×引： o15x- 【例2】计算： (1)-8×-0.125): e》: a 4/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ④() 【技巧归纳】 两数相乘：先定符号（同号得正，异号得负），再将绝对值相乘。任何数与0相乘得0。小数嵊法化伪分数或整 数计算；带分数化成假分数。结果能约分先约分，最后化伪最简形式（假分数或带分数视要求）。 【变式1-1】计算： (1)-4.5×0.2; (2)-6)×-5): (3)1.25×-4): (4)-2x-4. 【变式1-2】计算： (1)7×(-9): (2)(-15)×(-3): (3)0×(-3.5): (到}+) 5x12: o1-51 题型2多个有理数的乘法运算 【倒】计第：片》(0， 【例4】计算： 〔--2}24 【技巧归纳】 多个有理数相乘：先数负号个数，奇负得负，偶负得正。再绝对值相乘。有因子0则结果为0。运用乘法交换律、 结合律：整数、分数分组，先约分再相乘，带分数化假分数。小数化成分数更易约分。 【变式2-1】计算： ag824 ②-13×-034×x-1-x034: 73 5/15 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 o-动+xx+明引 【变式2-2】计算： (1)-35×12.5×-8); a-80号-02： 》别 ④目-60， 题型3倒数 【例5】3的倒数是 【例6】2二的倒数是 【技巧归纳】 乘积为1的两数互为倒数。求倒数：整数如5倒数妫1/5，分数a/b倒数为b1a(a≠0)。小数先化成分数。正数 倒数为正，负数倒数为负，0没有倒数。注意倒数与相反数的区别：相反数和为0。 【变式3-1】-1的倒数是一；-(2-7)的相反数是一；-4的绝对值是一 【变式3-2】-1的倒数是 相反数是 绝对值是 题型4有理数乘法运算律 【例7】用简便方法计算： (0-127×a75-027×)}月 a9g-18: o1s76】 【例8】计算：能用简算的用简算 aw（》2(》 6/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2-9923 ×18 4 【技巧归纳】 乘法交换律：a×b=b×a;结合律：(a×b)×c=a×(b×c);分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。运用技巧：带分数拆成整 数加分数，便于分配：小数化分数：同分母或易约分的数先乘，避免大数运算。 【变式41】计算： 0-列》-1号3（号 a分食名引2 【变式4-2】请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题， 利用运算律计算： 例1：98×12=(100-2)×12=1200-24=1176； 例2：-16×233+17×233=-16+17）×233=233 (1)999×12; (2)999x1184 333× 5 999x183 题型5有理数乘法的实际应用 【例9】小车司机某天下午的运输全是在东西走向的高速公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他 这天下午行车里程（单位：千米）如下： +14,-3,+7,-3,+11,-4,-3,+11,+6,-7,+9 (1)司机这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)司机这天下午共行车多少千米？ (3)若每千米耗油02升，则这天下午司机用了多少升油？ 【例10】某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） -3 -1 2 进出次数 2 3 3 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由： (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适 7/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【技支巧归纳】 实际应用如计算总价、面积、连续升降等。先明确单位量（单价、速度）与数量，列出乘法算式。注意方向：正 数表示同向，负数表示反向。可结合正负意义理解结果符号，如亏损×次数=总亏损。单位统一。 【变式5-1】在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合 作社.这个合作社计划每天生产200件.但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计 划量有所差异.下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 三 四 五 六 日 增减产量 +6 -2 -5 +13 -11 +17 -10 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷 件 (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元： 少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【变式5-2】今年杜大伯在自家种植的地里采摘了7筐白萝卜，每筐的质量如下表（其中以每筐25kg为标准， 超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，单位：kg)· 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 图片 正（负） -2.1 -2.2 +1.0 +0.4 -1.2 +2.5 -3.4 数 ()质量最大的一筐比质量最小的一筐重多少千克？ (2)如果每千克白萝卜按1.2元出售，一共能卖多少钱？ 题型6有理数的除法运算 【例11】计算： a-8 ②0)月 到-3-2s. 8/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【例12】计算： (1)-60)÷(-12): 2-36+写 (3)-0.75÷0.25; 【技巧归纳】 除法转化为乘法：除以一个数等于乘它的倒数，即a÷b=Q×(1/b)(b≠0)。先定符号（同号得正，异号得负）， 再将绝对值相乘除。带分数化成假分数，小数化成分数。0除以任何非0数得0,0不能除数。 【变式6-1】计算： (①)-14042 779 (2)-8÷-1.25): 3③)-244÷(-8)： ④24（六. 【变式6-2】计算： (1)0÷(-0.12): a-05): (3)(-378)÷(-7)÷(-9)； (079*子(03. 题型7有理数的乘除混合运算 【例13】计算： 03+125(2 a-x5x-列 【例14】计算： 引 9/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ax-0-(} 【技巧归纳】 统一为乘法：将除法变为乘倒数，连乘形式。先确定符号（负号个数奇负偶正），再约分绝对值。小数化分数， 带分数化假分数。利用乘法交换结合律，将整数、分母相同的分数先乘，最后化为最简分数或整数。 【变式7-1】计算： 0-8-24×-16: e号 【变式7-2】计算： 0M--}0s29, a5-引》08x o-6 题型8有理数的乘除混合运算之新定义型问题 【例16】如果对于任何有莲数ab定义运算△如下：a△b=日司》，如2△3=（引=日 (1)-1a2: (2)求(-2a7)△4的值. 【倒1O我们规定一种新定义：碳=2血名共中符号装是我们规定的一待新定义，如 测-2引-2x3x-2习)-子-12+1=-1，酸标衙定义计第： (1)-5※4： (2-3※(-6). 【技巧归纳】 先理解新定义运算规则（如a⑧b表示a除以b的相反数），将自定义式转化为有理数除算式。注意运算顺序， 括号优洗。按乘除法测计算：统一为乘法，定符号，约分。可尝试代入特殊值验证规侧理解是否正确。 【变式8-1】定义一种新的运算：x*y=-x+2少，如：3*1=3+2x1- 3 3 求： 10/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)3*(-4: (2)2*4)*(-2）. 【变式8-2】若对于任意两数a,b-1<a<1,-1<b<,定义一种运算*，使得a*b=a+b -1+ab (2)试探索运算“*”是否满足结合律，若满足，请证明；若不满足，请说明理由， 题型9有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 【例17】在学习一个数的绝对值过程中，化简d时，可以这样分类：当a>0时，d=a;当a=0时， a=0;当a<0时，d=-a,请用这种方法解决下列问题. (1)当a=3时， 则 ,当a=-2时，则同 a b (2)已知a,6是有理数，当b>0时，试求同+闪的值. 【例18】阅读下列材料： xx>0, x={ 0,x=0,即当x>0时， ，当<0时， x -x,x<0, 用这个结论可以解决下面问题： 6 (1)已知a,b是有理数，当ab≠0时， 求+的值： a b (2)已知a,b,c是有理数，当abc≠0时， 求司十何同的值， 【技巧归纳】 含绝对值除法：先根据条件判断绝对值内正负，去绝对值号（正数不变，负数取相反数），再按除法法测计算。 注意0的绝对值是0。常需对参数分情况时论，如x>0、x<0,分别化简，避免漏掉负数情况。 【变式91】探究题：阅读下列材料并解决有关问题。 x,x>0 我们知道x= 620,所以当>0时，舌-1，当<0时， xx=-1 -x,x<0 请用上面的结论解决下列问题： ①已知a,b是有理数，当ab>0时，a+6二 11/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②已知a,b,c是有理数，当abc<0时，a+b1d- a b c (3己知a,b,C,d是有理数，当d=-时，ab+。+)的最 的最大值是_ abed 【变式9-2】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思 想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题 【提出问题】三个有理数a,b,c满足bc>0,求4，A+L的值. a b c 【解决问题】解：由题意得，α，b,c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数， ①若a,,c都是正数，即a>0,6>0,c>0时，则回b+-9++=1+1+1=3: a b c a b c ②若a,b,c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a>0,b<0,c<0, @l,9_a+-b+-c=1+(-1+(-1=-1, a b c a b c 综上所述，包，，L的值为3或-1. a b c 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (I)三个有理数a,h,c满足abc<0,求4，A,L的值， a b c ②活6，c为三个不为0的有莲数，且日+日日-1，求的值。 abc a b c 04 过关检测 一、单选题 若a的倒数是子那么0是（) A B月 C. 2 2.下列各式运用运算律不正确的是() A.（-4×8=8×-4 B.[-3)×2]×(-5)=(-3)×[2×(-5)] c.12*+=12*12*-12+ 3421 12/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.-6x-对-6×周 3.在数-4,2，-3,5中任取2个数相乘，其中最小的积是a,最大的积是b,则Q的值是() A号 C._5 4 4.如图，数轴上的两点A、B表示的数分别为α、b,下列结论正确的是() A B a 0 A.ax-b B.-a<b C.abx0 D. <0 b 066-0),期 a÷b(b>0) 5,小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算口为：α口b 1☆(-2)的值为() A B. C.-2 D.2 二、填空题 6.若(-4)×0=8，则内的数字是 7.-3的倒数是，2二的相反数是，-=· 8.对于有理数a、b,定义运算“※如下：※b=b (其中a+b≠0)，则2※3= +b 9.如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a,b,有下列结论：①a-b<0;②a+b>0;③ b-1 (b-1(a+1)<0;④ a-1 >0,其中正确的有 A B -1 0 0 1b 10.爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，-2,3，-4,5，-6,7，-8分别填入图中的圆圈内， 使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他己经将1，-2，-6,7这四个数填入了圆圈，则图 中m-n的值为 -2 6 13/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三、解答题 11.计算： 2--g月 2-12×-到 [2a-b(a≥b) 12.对于有理数a,b,定义了一种“⑧”的新运算，具体为a⑧b= a-ba<'计第：①2®(-：② (-4)⑧(-3). 13. 计第4÷(》5时，小明的解题过程知下： 解：原式 =4[引- =4÷2 =2 判断小明的解法是否正确.若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答 14.某校学生食堂要购进20袋土豆，以每袋30千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记 作负数，称后的记录（单位：千克）如下： 每袋与标准质量的差 3 -1.5 2 2.5 3 袋数 1 3 4 2 (1)求这20袋土豆的平均质量是多少？ (2)若土豆每千克的售价为1.5元，求买这20袋土豆共需多少钱？ 15课堂上老师给出一道计算趣：；+人》 242+68 同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 果或动〔〔割吉品 乙：原武4〔}4 两照的做6引7-生68引24引4524-a4249=9 14/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故原式=一 17 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是，错误的是 ;(填写“甲“乙”“丙) (2)计算： 16.计算 (119991991x11997 199941999 a2+写}-品+号到 6引+引…品+品*+8 5 7 25 (④1×2×3+2x3×4+3x4x5+…+ 2×13×14 17.我们知道在化简a的时候，需要判断a的正负：当a>0时，a=a;当a<0时，a=-a. b0 (1I)已知a,b,c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“>”、“<”或“=”填空， a-b0,b+c0,a+c0, (2)化简：a-b+b+c-a+c. (3)思维扩展：由“当a>0时，a=a;a<0时，ad=-a”可以推出： 当a>0时，回=9=1，当a<0时，回-a.-1 a a aa 应用这个结论，解决下列问题： 已知，少：是有理数，+y+:=0,02≠0，化简：因+以+日 x V Z 15/15 第07讲 有理数的乘法与除法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两个有理数的乘法运算 题型2 多个有理数的乘法运算 题型3 倒数 题型4 有理数乘法运算律 题型5 有理数乘法的实际应用 题型6 有理数的除法运算 题型7 有理数的乘除混合运算 题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题 题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 乘法法则、符号法则、倒数、除法法则、转化、奇负偶正。 1. 掌握有理数的乘法法则，能确定多个因数相乘的积的符号（奇负偶正），并能准确计算。 2. 理解倒数的概念，能求出一个有理数的倒数（0除外），掌握乘法运算律（交换、结合、分配）。 3. 掌握有理数的除法法则（除以一个数等于乘以这个数的倒数），能将除法统一为乘法。 4. 能熟练进行有理数的乘除混合运算，体会转化思想，培养运算能力与严谨性。 学习重点：有理数乘除法法则，特别是多个因数相乘的符号确定，以及除法向乘法的转化。 学习难点：理解乘法法则中“同号得正，异号得负”的算理，以及除法法则中“除以一个数等于乘以它的倒数”的灵活运用，特别是当除数为分数或负数时。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 【易错提醒】 有理数乘法易错警示：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘得0。注意：多个数相乘，负因数个数为奇数时积为负，偶数时为正。勿忘符号。 即时即练1.2026的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数是定义，根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：2026的倒数是， 故答案为：． 2.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （1）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 3.计算． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将化为后与相乘并约分计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 【易错提醒】 有理数乘法运算律易错警示：交换律、结合律、分配律均可使用。注意分配律a(b+c)=ab+ac且可反向使用。括号前是负数时，分配后各项均需变号。勿漏乘括号内每一项。 即时即练1.下列运算中用的运算律是（  ） ． A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律 C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律 【答案】A 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法运算律，熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 根据题干中的解题过程，结合乘法运算律即可得出答案． 【详解】解： （乘法结合律） （乘法分配律） ∴运用的运算律为乘法结合律及分配律， 故选：A． 2.计算： 【答案】47 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】 ． 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 【易错提醒】 乘积符号（多个有理数相乘）易错警示：结果符号由负因数个数决定：**奇数个负因数为负，偶数个为正**。计算时先定符号，再算绝对值。注意：有因数为0时积为0，无需再判断符号。 即时即练1.下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 2.对于，若，则其结果为（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算符号法则是解题关键． 根据负数的乘法符号规律：奇数个负数相乘结果为负数，偶数个负数相乘结果为正数，即可判断． 【详解】解：由题意个相乘，当时，有奇数个负数相乘，所以结果为负． 故选：B． 知识点04 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【易错提醒】 有理数除法易错警示：除以一个不为0的数等于乘它的倒数。即a ÷ b = a × (b ≠ 0)。同号得正，异号得负。注意：0不能作除数，勿忽略倒数转化步骤。 即时即练1.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)36 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法计算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答； （3）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （4）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 2.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法运算．根据有理数的除法运算法则，先确定结果符号，再计算数值． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型1 两个有理数的乘法运算 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； （5）根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)3 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据两个有理数乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【技巧归纳】 两数相乘：先定符号（同号得正，异号得负），再将绝对值相乘。任何数与0相乘得0。小数乘法化为分数或整数计算；带分数化成假分数。结果能约分先约分，最后化为最简形式（假分数或带分数视要求）。 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)30 (3) (4)8 【分析】本题主要考查了两个有理数的乘法运算，熟练掌握两个有理数乘法运算法则是解题的关键． 根据两数相乘，同号的正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍得0进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据绝对值的性质和有理数的乘法法则计算即可； 本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 题型2 多个有理数的乘法运算 【例3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，先确定符号，再进行绝对值得运算，注意乘法运算时带分数化成假分数． 根据负因数的个数，可得积的符号，根据分子乘分子，分母乘分母，可得答案． 【详解】解： ． 【例4】计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据有理数的乘法运算进行计算即可． 【详解】解： ． 【技巧归纳】 多个有理数相乘：先数负号个数，奇负得负，偶负得正。再绝对值相乘。有因子0则结果为0。运用乘法交换律、结合律：整数、分数分组，先约分再相乘，带分数化假分数。小数化成分数更易约分。 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先利用加法交换律调整顺序，再利用乘法分配律计算即可 （3）根据有理数乘法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解： 题型3 倒数 【例5】的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故答案为：． 【例6】的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数的概念，熟练掌握基本概念是解题的关键． 先将带分数化为假分数，再将分子分母颠倒位置即可得到答案． 【详解】解：， ∴的倒数是， 故答案为：． 【技巧归纳】 乘积为1的两数互为倒数。求倒数：整数如5倒数为1/5，分数a/b倒数为b/a（a≠0）。小数先化成分数。正数倒数为正，负数倒数为负，0没有倒数。注意倒数与相反数的区别：相反数和为0。 【变式3-1】的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了化简多重符号，绝对值，相反数，倒数的性质，先整理，，，然后结合倒数，相反数，绝对值等性质进行逐个解答即可． 【详解】解：∵， 则的倒数是， ∴的相反数是 ， ∴的绝对值是， 故答案为： 【变式3-2】的倒数是_________，相反数是_________，绝对值是_________． 【答案】 【分析】本题考查倒数、相反数、绝对值的定义，关键是先将带分数化为假分数，再根据定义计算． 【详解】解：先将带分数化为假分数，得． 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，因此的倒数为； 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，因此的相反数为； 绝对值：负数的绝对值是它的相反数，因此． 故答案为：；；． 题型4 有理数乘法运算律 【例7】用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及乘法分配律，正确掌握有理数乘法运算法则是关键． （1）先将化为，再利用乘法分配律计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 【例8】计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查乘法分配律，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分分配律的逆运算进先计算解答即可； （2）把原式化为，然后运用乘法分配律解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 【技巧归纳】 乘法交换律：a×b=b×a；结合律：(a×b)×c=a×(b×c)；分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。运用技巧：带分数拆成整数加分数，便于分配；小数化分数；同分母或易约分的数先乘，避免大数运算。 【变式4-1】计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法和加减法的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）利用乘法分配律计算； （2）利用乘法分配律计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式4-2】请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)11988 (2)99900 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再结合乘法运算律计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型5 有理数乘法的实际应用 【例9】小车司机某天下午的运输全是在东西走向的高速公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程单位：千米如下： ，，，，，，，，，， (1)司机这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)司机这天下午共行车多少千米？ (3)若每千米耗油升，则这天下午司机用了多少升油？ 【答案】(1)师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地千米； (2)师傅这天下午共行车千米； (3)这天下午师傅用了升油 【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的加减的应用、有理数的乘法的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把所有行车记录的里程相加，再根据正数和负数的意义解答； （2）求出所有行车里程的绝对值的和； （3）将（2）中的结果乘以即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地38千米； （2）解： （千米）   答：师傅这天下午共行车78千米； （3）解：，   答：这天下午师傅用了升油． 【例10】某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由： (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． 【答案】(1)减少9吨，见解析 (2)方案二运费少 【分析】（1）先分别将运进数量×运进次数，运出数量×运出次数，再把它们相加即可求解； （2）分别求出两种方案的运费，再进行比较，即可求解． 【详解】（1）解： 答：这天仓库的原料比原来减少了9吨； （2）解：方案一： （元）， 方案二 （元） ∵ ， ∴方案二运费少，选择方案二比较合适． 【技巧归纳】 实际应用如计算总价、面积、连续升降等。先明确单位量（单价、速度）与数量，列出乘法算式。注意方向：正数表示同向，负数表示反向。可结合正负意义理解结果符号，如亏损×次数=总亏损。单位统一。 【变式5-1】在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)195 (2)1408件 (3)84460元 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据产品数量算出生产产品的工资，再加上超额部分的奖励，减去少生产部分的总额，即可求解． 【详解】（1）解：（件）， 即该合作社星期三生产竹制品和陶瓷件， 故答案为：； （2）解：（件）， 答：该厂本周生产竹制品和陶瓷件； （3）解：（元）， 超过的部分奖励总额为：（元）， 扣款总额为：（元）， ∴（元）， 答：合作社成员这一周的工资总额是元． 【变式5-2】今年杜大伯在自家种植的地里采摘了7筐白萝卜，每筐的质量如下表（其中以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，单位：）． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 图片 正（负）数 (1)质量最大的一筐比质量最小的一筐重多少千克？ (2)如果每千克白萝卜按1.2元出售，一共能卖多少钱？ 【答案】(1)质量最大的一筐比质量最小的一筐重5.9千克 (2)一共能卖204元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的混合运算的应用： （1）利用超出质量最大减去超出质量最小即可； （2）利用表格中的数据先计算超出或不足的质量，再加上7筐萝卜的标准质量即可求出总质量，再乘以萝卜的单价解答即可． 熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：质量最大的一筐比质量最小的一筐重5.9千克． （2）解： （元）， 答：一共能卖204元． 题型6 有理数的除法运算 【例11】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题主要考查有理数的除法，掌握有理数除法的运算法则是解题的关键． （1）将除法化为乘法，再计算即可； （2）根据0除任何数都等于0，计算即可； （3）根据有理数除法的运算法则计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3）． 【例12】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)36 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法计算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答； （3）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （4）根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即可解答； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【技巧归纳】 除法转化为乘法：除以一个数等于乘它的倒数，即 a÷b=a×(1/b)（b≠0）。先定符号（同号得正，异号得负），再将绝对值相乘除。带分数化成假分数，小数化成分数。0除以任何非0数得0，0不能作除数。 【变式6-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 【变式6-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)2 (3)-6 (4)2 【分析】此题考查了有理数的除法运算，根据有理数的除法运算法则求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 题型7 有理数的乘除混合运算 【例13】计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 【例14】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是∶ （1）先确定符号，除法转乘法，再计算即可； （2）先确定符号，除法转乘法，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【技巧归纳】 统一为乘法：将除法变为乘倒数，连乘形式。先确定符号（负号个数奇负偶正），再约分绝对值。小数化分数，带分数化假分数。利用乘法交换结合律，将整数、分母相同的分数先乘，最后化为最简分数或整数。 【变式7-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解： 【变式7-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （2）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （3）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题 【例15】如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解决问题的关键． （1）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，进而计算得出结果即可． （2）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，先计算括号内的运算，进而计算得出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴ ； （2）， ∴ ， ∴ ． 【例16】我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4； （2）解：由题意可得，※． 【技巧归纳】 先理解新定义运算规则（如a⊗b表示a除以b的相反数），将自定义式转化为有理数乘除算式。注意运算顺序，括号优先。按乘除法则计算：统一为乘法，定符号，约分。可尝试代入特殊值验证规则理解是否正确。 【变式8-1】定义一种新的运算：，如：， 求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了新定义运算和有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）把原式利用题中的新定义计算转换为有理数运算，即可得到结果； （2）先计算，求得，再计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 【变式8-2】若对于任意两数，定义一种运算“”，使得． (1)求的值； (2)试探索运算“”是否满足结合律，若满足，请证明；若不满足，请说明理由． 【答案】(1) (2)满足结合律，见解析 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可； （2）把相应的值进行结合律运算，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：已知，令，则． 将，代入运算规则可得： ​​ ，令，则． 将，代入运算规则可得： 因为，，所以，运算 “” 满足结合律． 题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 【例17】在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则___________；当时，则___________． (2)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)1， (2)2或 【分析】本题考查了有理数的绝对值和有理数的运算，正确理解题意、熟练掌握有理数的相关知识是解题的关键； （1）先化简绝对值，再计算除法即可； （2）由可得或，再分两种情况结合绝对值的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，则； 当时，则， 故答案为：1，． （2）解：当，则或， 当时，； 当时，； 综上，的值是2或． 【例18】阅读下列材料： 即当时，；当时，． 用这个结论可以解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)或0 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的化简，分类思想，有理数除法法则，熟练掌握分类思想，准确理解绝对值化简是解题的关键． （1）根据题意，分类讨论：①，，②，，进行计算即可得； （2）根据题意可分，，和，，，和a，b，c两负一正和a，b，c两正一负，四种情形求解即可． 【详解】（1）解：已知a，b是有理数，当时， ①若，，则； ②若，，则； ③若a，b异号，则． 故的值为或0； （2）解：已知a，b，c是有理数，当时， ①若，，，则； ②若，，，则； ③若a，b，c两负一正，则； ④若a，b，c两正一负，则． 故的值为或． 【技巧归纳】 含绝对值除法：先根据条件判断绝对值内正负，去绝对值号（正数不变，负数取相反数），再按除法法则计算。注意0的绝对值是0。常需对参数分情况讨论，如x>0、x<0，分别化简，避免漏掉负数情况。 【变式9-1】探究题：阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，所以当时，；当时，． 请用上面的结论解决下列问题： (1)已知，是有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时， ． (3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是 ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义， （1）根据，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出、、、中有1个或3个负数，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b同号，即，或，， ∴或； ∴当时，； 故答案为：． （2）解：∵， ∴a、b、c中有3个负数或两正一负， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有两正一负时，设，； ∴时，的值为或； 故答案为：或． （3）解：∵， ∴、、、中有1个或3个负数 设， 设， ∴的最大值是 【变式9-2】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，绝对值的意义． （1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论； （2）由题意得，a，b，c中有2个负数，1个正数，则，利用绝对值的意义可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①若a，b，c都是负数，即，，时， ； ②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， 则， 综上所述，的值为或1． （2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c有2个负数，1个正数， ∴， ∴． 一、单选题 1．若a的倒数是，那么a是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倒数的定义计算a的值即可得到答案． 【详解】解：∵a的倒数是， ∴． 2．下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义． 结合乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律及除法无分配律的特性，逐一判断各选项运算律的运用是否正确即可． 【详解】解：选项A运用乘法交换律，运算律运用正确； 选项B运用乘法结合律，运算律运用正确； 选项C中，除法无分配律，运算律运用错误； 选项D运用乘法分配律，运算律运用正确； 故选：C． 3．在数中任取个数相乘，其中最小的积是，最大的积是，则 的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法，关键是掌握有理数乘法法则；根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵可能的积为： ∴最小的积，最大的积， ∴． 4．如图，数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由数轴得到，进而根据相反数的几何意义和有理数乘除法的符号规则逐项判断即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴，，，， 故选项D符合题意． 5．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 二、填空题 6．若，则内的数字是________． 【答案】 【详解】解：根据乘除互为逆运算可得，内的数字是． 7．的倒数是____, 的相反数是____，____． 【答案】 6 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数，可得的倒数是； 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数是； 根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得． 8．对于有理数、，定义运算“※”如下：（其中），则______ 【答案】 【分析】根据题中给出的新定义运算规则，将对应数值代入公式计算即可得到结果． 【详解】解：根据定义的新运算，将，代入得：． 9．如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 【答案】①②④ 【详解】解：由数轴图可知，， 对于①：∵， ∴，故①正确； 对于②：∵， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴，， ∴，故③错误； 对于④：∵，， ∴，故④正确． 10．爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____ 【答案】或 【分析】求得横、竖以及内外两圈上的个数字之和为，求得的值，即可得到的值，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 12．对于有理数，，定义了一种“”的新运算，具体为，计算：①；②． 【答案】①；② 【分析】①根据结合已给定义列式求解即可； ②根据结合已给定义列式求解即可． 【详解】解：①∵，且， ∴； ②∵，， ∴． 13．在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【答案】不正确，原因是同级运算的运算顺序错误； 【分析】有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算． 【详解】解：不正确，原因是同级运算的运算顺序错误． 正确解答如下： 原式 ． 14．某校学生食堂要购进袋土豆，以每袋千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录(单位：千克)如下： 每袋与标准质量的差 0 2 3 袋数 1 3 4 3 3 4 2 (1)求这袋土豆的平均质量是多少？ (2)若土豆每千克的售价为元，求买这袋土豆共需多少钱？ 【答案】(1)千克； (2)元 【分析】（1）先计算袋土豆与标准质量的差值总和，再结合标准总质量求出实际总质量，最后除以袋数得到平均质量； （2）利用“总价=总质量×单价”的数量关系，代入数据计算即可． 【详解】（1）解： (千克)， 20袋土豆的实际总质量为(千克)， 平均质量为(千克)． （2）解：总费用为(元)， 答：买这袋土豆共需元． 15．课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【答案】(1)乙、丙；甲； (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算． （1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确． （2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算； ②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值． 【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解： ； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为， ． 16．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 17．我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“>”、“<”或“=”填空， ______0，______0，______0， (2)化简：． (3)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：______． 【答案】(1)>，<，< (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，数轴与有理数，解题的关键是熟练掌握绝对值的化简． （1）根据数轴可得且，即可判断所求式子的正负； （2）根据绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可； （3）根据，，可知，，中一正两负或两正一负，据此化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：且， ，，， 故答案为：，，； （2）解：，，， ； （3）解：，， 当，，中一正两负时，； 当，，中两正一负时，， 综上所述，． 故答案为：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $