北京市陈经纶中学2025-2026学年高二下学期六月学习诊断数学试题

北京市陈经纶中学数学六月学习诊断 一、单选题本大题共10个小题，每小题5分，共50分。 1.已知集合A=xx≤0，B={x-1<x≤2}，则AUB=() A.{-1<x<0}B.{a-1<x≤0}C.{x0≤r≤2}D.{x≤2} 2.已知a,b,c∈R,则下列结论中正确的是（) A.若ac<bc,则a<bB.若a>b,则a>bC.若a>b,则ac2>bc2D.若a<b,则√a<√b 3.在线教育平台部署了三款智能批改系统（甲、乙、丙），其批改一道数学题的正确率分 别为90%、80%、70%.平台根据题目难度等级随机调用系统，调用甲、乙、丙的概率依 次为0.5、0.3、0.2现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为() A.0.81 B.0.82 C.0.83 D.0.84 4“a0是“函数f()=x+(a∈R)在区间[2，+o)上单调递增的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5射击中每次击中目标得2分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概 率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（) A.0.63 B.1.4 C.2.1 D.4.2 6.某中学准备在校园科技节展示5款不同的A1学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文 心一言、元宝、即梦在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两 块展板不相邻，则有()种不同的放置方式： A.12 B.24 C.36 D.48 7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)+∫(x)=4,且∫()=1，则f(2026)=() A.1 B.2 C.3 D.4 8若函数f(x)的定义域内存在区间[m,n,且{y=f(x),x∈[m,n]}=[m,n],则称函数 f(x)存在一个“稳定区间”.下列说法错误的是() A.存在“稳定区间”的一次函数存在且有无数个 B.存在“稳定区间”的二次函数存在且有无数个 C.对任意a∈(L,e),函数f(x)=logx都存在“稳定区间” B D.存在a∈(1，e),使函数f(x)=a存在“稳定区间” 9.如图，某花坛中有A,B,C,D,E5个区域，每个区域只种植一种颜 D 色的花要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中， 每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有 两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，不同的种植方案种数为() A.24 B.32 C.40 D.48 试卷第1页，共4页 10.某生物种群数量在一个有限的环境中增长时，由于资源和空间等因素的限制，该种群 数量N与时间1之间的关系可以由函数 N K K N=∫()= 刻画，其中常数N(N。>0)表 K-N。 No 示该种群数量的初始值，常数K(K>N。)表示该种群环境容 No 纳量，常数r(r>O)表示内禀增长率，函数N=f(t)的图象 如下图所示 给出下列三个结论： ①函数f()的导函数∫'()有最大值： ②存在。>0，使得函数f()在区间(0，)的图象是中心对称图形： ®对于任意的0<4<6<马，有北，)≤)成立 12-41 13-41 其中所有正确结论的序号是() A.① B.①② C.②③ D.①②③ 二、填空题本大题共5个小题，每小题6分，共30分. 11.已知命题p:3x∈R,ar2+2x+3≤0为假命题，写出a的一个值 12.已知(1-2x)=a。-2ax+4a2x2-8ax3+16a4x,则a=_;a1+a2+43+a4= 13.已知m,n为正实数且满足m+2n=2,则mn的最大值是_，√m+√2n的最大值为 +hx>a若了()存在最小值，则a的一个取值为一 14,设函数f()=(x+2,≤a a的最小 值为 15.已知函数f(x)=lnx k(x+) ,k∈R给出下列四个结论： x-1 ①当k=-1时，(x)在其定义域上为增函数： ②若(x)在其定义域上没有极值点，则实数k的取值范围是(-∞，0]： ③当k=1时，f(x)有2个零点；④当k>0时，存在过原点的曲线y=∫(x)的切线. 其中所有正确结论的序号为 试卷第2页，共4页 三、解答题：本大题共5个小题，共70分. 16某连锁企业为了解两款产品A和B的收益情况，从所有门店中随机抽取8个门店，记 录并整理这些门店同一季度的产品A,B的收益数据（单位：万元），如下表： 门店产品 1 2 3 5 6 7 8 A 5.8 7.2 8.5 9.5 11.2 11.9 12.9 13.7 3.7 5.7 7.9 9.6 13.2 15.1 17.9 19.5 用频率估计概率 (I)从该企业所有门店中随机抽取1个，估计这个门店产品A收益高于产品B收益的概率： (2)从表中的8个门店中随机抽取3个，记X为这3个门店中产品A收益高于产品B收益 的门店个数，求X的分布列及数学期望E(X): 2 这8个门店中，设门店=山28)的产品A,B的收益分别为y记Q,气 31 自=号+与：6分+宁，数据4,4：4,4,44,4,4的方笼为， 2 数据b,b2,b,b4,b,b,b,b的方差为s6,数据G，c2,C3,C4,C5,c6,C, c的方差为3，写出5，$，s的大小关系.（结论不要求证明） 17.定义在R上的函数g(x)=(x-a)e+1在x=0取得极小值.函数∫(x)满足 ∫'(x)=g(x)(其中∫'(x)是f(x)的导函数)且f(0)=1. (1)求g(x)的最小值：(2)解不等式∫(x)<1: (3)若f(3)<2e3+2,求过A(2,1)点作f(x)的切线有多少条？ 18随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能 的情况，现从某校随机抽取了300名学生，对使用A,B,C,D四种功能的情况统计如 下： 功能种数性别 0种 1种 2种 3种 4种 男 18 52 42 28 10 女 12 58 48 22 10 在上述样本所有使用3种功能的人中，统计使用A,B,C,D的人次如下： 功能 A B C D 人次 3740 3538 假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率 试卷第3页，共4页 ()从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功 能的概率； (2)从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用B功能的人数为X人，求X的 分布列和期望： (3)从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为Y,Z,试比较y,Z期 望的估计值E(Y),E(Z)的大小（结论不要求证明）. 19若精圆：手+茶=Q>06>0)上一点P化)处的切线方程为等+岁=1已知桶 a 圆C:+31a>0,b>0,P,0分别为左，右顶点且离心率e宁 2 .直线1过T(-1,0)交 椭圆C于A,B两点当直线1垂直于x轴时，AB=√5. (1)求椭圆C的方程； (2)连接AQ,BQ,BP,并过A,B两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点D,过D作 BQ的平行线交AQ于M点，直线OM(O为坐标原点)交直线BQ于点N,直线AQ和 直线BP的斜率分别为k和k,N,B两点横坐标分别为xx,xB· 证明(i)为定值：(i)2xw-x为定值. k 20.己知函数f(x)=-lx+(2+a)x-2,a∈R. (I)若1是∫(x)的极值点，求实数a的值： (2)若a=0,求证：∫(x)≥x-1: (③)已知函数)在（怎+上无零点，求a的取值范围 试卷第4页，共4页 参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 D B A D B C B 1.D 【分析】由并集定义结合题设可得答案 【详解】由题设可得：AUB={xk≤2 2.B 【分析】根据不等式的性质，判断选项。 【详解】A.若ac<bc,当c>0,a<b,当c<0,a>b,故A错误： B.若a>b,则a3>b3,故B正确： C.若a>b,当c=0,则ac2=bc2,故C错误： D.当且仅当0≤a<b时，才有√a<√b,故D错误 3.C 【详解】记批改正确为事件S,调用甲、乙、丙记为事件A,B,C. 由全概率公式P(S)=P(SIA)P(A)+P(SIB)P(B)+P(SIC)P(C) =0.9×0.5+0.8×0.3+0.7×0.2=0.83 4.A 【分析】结合导数将函数单调问题转化为恒成立问题，求出α≤4，再结合充分不必要条件 的定义判断即可， 【详解】由题意得=+呈则了()=1一是， 若f(x)在区间2，+o)上单调递增，则1-号≥0在[2，+∞)上恒成立， 化简得a≤x2在[2，)上恒成立，令g(x)=X2, 由二次函数性质得g(x)在[2，+∞)上单调递增， 而g(2)=4,则g(x)m=4,得到a≤4， 可得“a≤0”是“a≤4”的充分而不必要条件，故A正确. 5.D 【分析】确定射击3次击中目标的次数服从二项分布，再根据期望的性质E(X)=aE(X)计 答案第1页，共16页 算得分的数学期望。 【详解】由题意可知，射击3次击中次数X的可能取值为0,1,2,3，每次射击击中目标 的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响， 所以，射击3次击中目标的次数为X~B(3,0.7),E(X)=3×0.7=2.1, 设得分为Y,则Y=2X,所以E()=2E(X)=4.2 6.B 【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为A?=2, 将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为A?=2, 2个元素排完后会产生2+1=3个空位， 又因为文心一言和讯飞星火不相邻， 所以从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为A=3×2=6, 所以总方法数为：A3×A3×A3=2×2×6=24 7.C 【分析】先得到f(x)的一个周期为6，从而得到∫(2026)=∫(4)，赋值得到∫(4)=3，得 到答案 【详解】f(x+3)+f(x)=4,故f(x+6)+∫(x+3)=4, 两式相减得∫(x+6)=∫(x),故∫(x)的一个周期为6， f(2026)=∫(337×6+4)=f(4), f(x+3)+f(x)=4中，令x=1得f(4)+f()=4, 又f(0)=1,故f(4)=3,所以f(2026)=3 故选：C 8.c 【分析】根据“稳定区间”的定义，将问题转化为函数y=∫(x)与直线y=x存在至少两个不 同交点，结合函数单调性与导数分析各选项 【详解】对于A:对一次函数f(x)=-x+b，,若存在稳定区间[m,川，由f(x)单调递减得 答案第2页，共16页 J(m）=-m+b=n f(n)=-n+b=m' 可得m+n=b, 对任意b,任取m<n且m+n=b都满足条件，因此存在无数个满足条件的一次函数，A正 确： 对于B:对二次函数f(x)=x2+c,取m=c,n>1,令c=n-n2,则c=n-n2<0<n, 当1<n<2时，任意x∈[c,n=[m,n川，∫(x)的最小值为f(O)=c=m,最大值为 f(n)=n2+c=n, 值域就是[c,川=[m,川小，因此存在“稳定区间的二次函数存在且有无数个，B正确： 对于C:a∈(l,e)时f(x)=log。x在(0，+o)单调递增， 若存在稳定区间，则方程1og。x=x,即lna=hx要有两个不同实根 令g-,则g=， x2 当xe(0,e)时g(x)>0,g(x)单调递增，当x∈(e,o)时，g(x)<0,g(x)单调递减， 所以g(x)最大值为g()=,且当x→0时，g()→-0，当x→0时，g)→0， 因此仅当0<lna<时，lna=有两个不同实根，即1<a<心，f()=log。x存在"稳定 e 区间”，C错误： 对于D:)=广存在稳定区间等价于心=x有两个不同实根，即na=有两个不同实 根， 由上述分析可知存在1<a<心，使函数∫(y)=存在“稳定区间”，D正确， 9.C 【分析】分重复颜色为红色或黄色，或者是蓝色或白色，两类情况讨论求解即可. 【详解】情况1：重复颜色为红色或黄色 重复颜色选红色黄色，共C,=2种选择： 重复位置选A-D或B-C,共2种选择：剩余3个区域排列剩下3种不同颜色，共A;=6种 排列： 这种情况下红、黄必然相邻（若重复颜色是红，黄仅出现一次，无论黄在哪个位置，都会和 答案第3页，共16页 相邻区域的红相邻：同理重复颜色是黄也满足)， 总方案数：2×2×6=24： 情况2：重复颜色为蓝或白色（非红非黄） 重复颜色选蓝/伯色，共C=2种选择，重复位置共2种， 剩余3个区域排列红、黄和剩余非重复颜色，共A;=6种排列，总排列数：2×2×6=24， 其中红、黄不相邻的情况仅为：红、黄分别在另一组对角（不相邻），共：2（重复色)×2 (重复位置)×2（红、黄交换顺序）=8种： 因此该情况满足红、黄相邻的方案数：24-8=16， 总方案数为24+16=40，因此不同种植方案种数为40」 10.B 【分析】求出函数的导函数，利用基本不等式判断O,令4，=nK-心 N。 推导出 ∫0)+∫(2-)=2f(化)即可判断②，结合图象及斜率公式判断③. K 【详解】对于O:令a=K心(a>0,则0 N。 1+K-心e 1+ae-m N。 所以/"()、aen Krae K Kr )0+aone+2ae"+1“心n+2+工 2ae n.I 4 ae n +2 当且仅当e”=a,即e”=1,即 -Nocm=1, 即1=n-心时取等号，即O有最大值，故①正确： r No 对于@令4-上h产，则e-1,f)-答， N。 N。 0.小 K K N。 K-Noe-r-) K =1+een1+e“eu可 K 所以函数f()在区间(0,2，)的图象关于(4，∫()对称，故②正确： 对于③： )-①表示点6，了化》与点6，》连线的斜率， 12-41 答案第4页，共16页 飞)-①表示点(，/化》与点6,6》连线的斜率， 3-41 不妨令A4,∫)，B(,∫凸)》，C(,∫)， 取如下图所示三点A,f),B(,∫凸2)，C(,f6), N A No 显然kB>ke,即），6小上f) 故③错误」 43-4 13-41 故选：B 11.2(答案不唯一) 【分析】根据题意，得到命题-p:xER.ax2+2x+3>0为真命题，转化为ax2+2x+3>0对 x∈R恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解」 【详解】由命题p:3x∈R,ar2+2x+3≤0为假命题， 则命题-p:x∈R,ax2+2x+3>0为真命题，即ax2+2x+3>0对x∈R恒成立， 当a=0时，不等式即为2x+3>0对于x∈R不恒成立，不符合题意： 当a≠0时，则满足a>0 1 公=2-4ax3<0'解得a>3” 综上可得，实数a的取值范围为（兮+），可得其中一个a为2。 故答案为：2（答案不唯一)· 12. 115 【分析】利用赋值法可求a。,利用换元法结合赋值法可求a,+a2+a+a,的值. 【详解】令x=0,则a=1, 又(1-2x)=a。-2ax+4a2x2-8a3x3+16a4x, 答案第5页，共16页 故(1-2x)=a。a,(-2x)+a2(-2x)2a(-2x)'+a,(2x), 令1=-2x,则1+)=a。+al+a2+a,2+a,2, 令1=1，则a。+a,+a2+a3+a,=2,故a+a2+a3+a4=15 故答案为：1,15. 13. a5 【分析】直接根据基本不等式得2=m+2m≥22m,进面得mm≤号即可得m的最大值： 得(m+√2≤4，进而得√m+2n的最大值， 【详解】由m,n为正实数且满足m+2n=2, 故根据基本不等式得2=m+2n≥2√2mm,当且仅当m=2n时等号成立， 即mns, 当且仅当m=2n=1时等号成立， 所以mm的最大值是；： 因为生2 当且仅当a=b时等号成立， 所以阿+2可 √m+2n 2 当且仅当√m=√2n时等号成立， 即m2≥后+可.当且仅当m=2时等号成立， 所以1≥m+2,即(Vm+2ms4, 所以√m+√2n≤2当且仅当m=2n=1时等号成立， 所以√m+√2n的最大值为2 故答案为：2：2 14. -1（答案不唯一，取[-1,0]均可) -1 【详解】当a>0,函数f(x)图像如图所示，不满足题意 答案第6页，共16页 y yf(x) -20a 当a=0,函数f(x)图像如图所示，符合题意 不 f(x) -2 当-2<a<0,函数f(x)图像如图所示，要使函数有最小值，需满足-a2+1≥0 所以-1≤a<0」 A y=f(x) -2a0 当a=-2,函数∫(x)图像如图所示，不满足题意. y=f(x) a -3 当a<-2,函数(x)图像如图所示，要使函数有最小值，需满足(a+2)2≤-a2+1. 无解，故不满足题意 =fG 答案第7页，共16页 综上所述，a的取值范围为[-1,0]，最小值为-1. 15.②④ 【详解】函数了)=m+型，定义域为x>0且x1,求导得： x-1 闪=2--2++1，i记8问=-2k+x+1,20且x*1 x(x-)21 x(x-1)3 结论①，当k=-1时，8()=x2+1>0,故∫"(x)>0,在(0,1)和(，+o)上分别成立，即x) 在两个区间上分别递增：但取/份)=-h2+3>0/2)=1n2-3<0, 即/兮/()，因此整个定文域上不是增函数，①错误： 结论②，f(x)没有极值点，等价于方程'(x)=0在定义域(0，)U(L,)上无解，即 年-*0，整理得2kx+-2, 12k 又x+-22-2=0,当且仅当x=即=1取等号，放取不到等号，+上2>0， 所以k≤0，②正确： 结论③：当k=1时，了(x)=nr+x+ -1 x>1时，1nx>0,+>0,故f>0 x-1 0<x<1时，1nx<0,X+<0,故x)<0,故无零点，③错误： x-1 结论④：设切点为(x,∫(x),切线为y-(x)=f"(x(x-x), 因为切线过原点所以-∫(x)=-x∫"(x)一(x)=x∫'(x),代入得 ln++=1-26, -1,-,化简得=0-nx) x+2x。-1 eoau时器o的- 所以2-1<x<1时o'(x)<0,1-lnx>0,o(x)>0 又()=-o()+-lnx)@(),所以V5-1<x<1时()<0，h)单调递减又 x→(2-时h(x)→+∞，h()=0,所以2-1<x<1时h(x)∈(0，+∞) 答案第8页，共16页 故k>0时总存在。∈(V互-1，)满足等式，故存在过原点的切线，④正确。 160P-号 (2)分布列： 0 1 2 3 县 1 28 6 56 -号 (3)5后>5> 【分析】(1)统计满足A收益高于B的门店频数，用频率估计概率直接求解： (2)识别抽取符合超几何分布，枚举取值、组合数算概率，套用超几何期望公式求值： (3)利用随机变量线性组合的方差公式，根据方差的波动特点，比较大小 【详解】(1)对8个门店的A,B收益，分别记为x,y(=1,2…,8)满足x,>y的门店共3 个（门店1、2、3），用频率估计概率得：P-: (2)X为抽取的3个门店中A收益高于B的个数，X服从超几何分布，X的可能取值为 0,1,2,3, 总门店N=8,符合条件的门店M=3,抽取n=3,C=56: Px--答品音px-S-器8 C856281 P=答-装x=动=答名 C561 分布列： X 0 2 3 2 1 28 56 E=兴-3爱号 988 (3)>>5 答案第9页，共16页 设产品A收益x的方差为S,产品B收益y,的方差为S 由产品A的收益极差为13.7-5.8=7.9，B的收益极差为19.5-3.7=15.8， 从极差的显著大小关系可以估计其方差的显著大小关系，S会显著大于： 1 2 21 11 因为a=3+,6=号+3,62+2% 3 线性组合的方差会向权重更大的变量“靠拢”，权重越大，整体方差越接近该变量的方差. 因此权重偏向y的a,方差最大，权重偏向x的b方差最小，权重均等的C,的方差居中 17.(1)0 (2)(←∞，0] (3)过A(2,)点作∫(x)的切线有2条 【分析】(1)求导，根据极值点可得a=1,代入结合g(x)的单调性检验，进而可得g(x)的 最小值： (2)分析可知∫(x)在定义域R内单调递增，根据函数单调性结合∫(O)=1解不等式： (3)根据题意可得f(x)=(x-2)e+x+3,设切点坐标，结合导数的几何意义可得 (x-2)2c-4=0,设h(x)=(x-2)2e'-4,利用导数分析h(x)的零点即可. 【详解】(1)因为g(x)=(x-ae+1,则g(x)=(x-a+l)e, 由题意可知：g(0)=-a+1=0,解得a=1, 若a=l,则g(x)=(x-l)e+l,g'(x)=xe, 令g(x)>0,解得x>0:令8(x)<0,解得x<0: 可知g(x)在(-o,0)内单调递减，在(0，+∞)内单调递增， 则g(x)在x=0取得极小值，所以a=1符合题意， 所以g(x)的最小值为8(0)=0. (2)由(1)可知：g(x)≥g(0)=0,即f'(x)20, 可知∫(x)在定义域R内单调递增，且∫(O)=1, 答案第10页，共16页 不等式f(x)≤1即为f(x)≤f(O),可得x≤0， 所以不等式∫(x)≤1的解集为(-∞，0] (3)由题意可知：f'(x)=(x-)e+1,可设f(x)=(x-2)e+x+c,ceR, 因为f(0)=-2+c=1,解得c=3,即f(x)=(x-2)e+x+3, 则f(3)=e3+6<2e3+2,符合题意， 即f(x)=(x-2)e+x+3,f'(x)=(x-1)e+1, 设切点坐标为(x,(x。-2)e+x+3),则切线斜率k=”(x)=(x-1)e+1, 则切线方程为y-[(。-2)e+x,+3]=[(。-e*+(x-x), 代入点4(2，)可得1-[(x。-2)e+x+3]=[(x。-)e+1](2-x), 整理可得(x。-2)e-4=0, 设h(x)=(x-2)2c-4,则H(x)=(x2-2x)e, 令H(x)>0,即x2-2x>0,解得x<0或x>2: 令H(x)<0,即x2-2x<0,解得0<x<2: 可知h(x)在(0,2)内单调递减，在（-∞，0)，(2，+∞)内单调递增， 则h(x)的极大值为h(0)=0,h(2)=-4<0, 且当x趋近于-o时，h(x)趋近于-4：当x趋近于+o时，h(x)趋近于+∞： 由图象可知：h(x)有2个零点，所以过A(2,)点作f(x)的切线有2条 1802 (2)分布列见解析，数学期望为2.4 答案第11页，共16页 (3)E(Y)=E(Z) 【分析】(1)结合古典概型概率公式，用缩小样本空间法求解概率即可： (2)求出使用三种功能时使用B功能的概率，则被抽取的人数X~B3 由二项分布概 率公式即可求解： (3)求出随机变量对应的概率，利用期望公式分别求出E(Y),E(Z),再比较大小即可. 【详解】(1)至少使用两种功能的学生数为(42+28+10)+(48+22+10)=160，恰好使用三 种功能的学生数为28+22=50， 则已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率P=50=三 Γ16016 (2)抽取的300名学生中恰好使用三种功能的学生数为50，其中使用B功能的学生数为40， 因此该校使用三种功能的学生中使用B功能的概率大约为0=号， 505 已知X的可能取值为023，且X~B) Px--cg-高·rx=-c目泪品 Px=2=c)周)-Px==c(-赞 X的分布列为 X 0 1 2 3 1 12 48 64 125 125 125 125 EW)-0x西1品+2x器+3x器-号=24 (3)由题意可得样本中男，女学生人数分别为：150和150， 则y的可能取值为01234，P-0P=小-高 PW=号Pw=到高Pw=列品 所以E0y)=0×18+1x52+2x423x284x10-26 150150 150150415015 Z的可能取值为01234，P2=0叭=品P2=)=品 答案第12页，共16页 P忆-费Pz-焉P忆-40 所E(②=0岛+1葛+×怒3品40-治做0)=8(. 58 22 190苦+r-1: (2)(i)(ii)证明见解析 【分析】(1)代入点坐标并结合离心率公式即可得到方程组，解出即可： (2)(i)设直线AB:x=y-1,联立椭圆方程得到韦达定理式，得到和积关系式，再代入 计算即可： (i)根据切线方程结论得到两直线方程，联立得到D(-4,m),再计算得xw=-1,从而有 OM11BP,即得2xx-xB=2. 【详解】(1)由题意可知 在椭圆上，且由e=5,可得a=26, 2 1 46=1 a=2 联立方程 6=1,所以椭圆c: 4+2=1. a=2b (2)(i)由题意可知直线AB不与x轴重合，设直线AB:x=my-I, 4+21 点A(x,),B(x,), →(m2+4)y-2my-3=0 x=y-1 +y2=m2+43水了 2m ,△=16m2+48>0, m2+4 么_-2-(s+2）=(m:+9=m⅓+y k2(x-2)y2(my-3)m4y2-3 x2+2 又因为男+为=智所以套= +)+%1 ()由题意可知过点A的切线和点B的切线分别为：+y=1,和+，y=1, 4 4 答案第13页，共16页 +y=1 4 联立方程 40y-)。44-4）-4. →XD= +yy=1 出-y(m-以-my-1出2 4 ,=1+=m,所以D(4,m. 直线wy-m产+4，直线e产-2. 3-2 y-m=2(x+4) 3-2 y2-2 x-2x2-2 y-3'my2-3 y=30s-月㎡+6m⅓3m+9+列+9m 3(-) =-1+ @+6侧n6m+92+咖」 一=- 3(5-) w 一=头，’又由(i)可知名=3弘，所以ov=k, XM 即OMIIBP. 可得N为B0中点，所以x,=+2,即2xv-x=2. 2 20.(1)a=-1 (2)证明见解析 (3)(-o,-2]U(e-2,+w) 【分析】(1)根据'()=0求出a,再代入检验即可求出答案： (2)记8(x)=(x-l)-(x)=lx-x+1,对g(x)求导证明g(x)≤0，即可证明： 答案第14页，共16页 (3)∫)-2+-一，分为2+a≤0和a>-2两种情况分别时论，在讨论a>-2时，再 分为a>e-2,a=e-2和-2<a<e-2三种情况分别讨论，即可求出答案. 【详解】（D函数了（问的定义域为0，+o),了）=-+2+a 因为1是(x)的极值点，所以f'()=-1+2+a=a+1=0,即a=-1, 当a-1时，=号 当x∈(0,1)时，f'(x)<0,f(x)在(0，)上单调递减， 当x∈(l,+∞)时，∫'(x)>0,∫(x)在(1，+o)上单调递增， 所以x=1是f(x)的极小值点，符合题意，所以a=-1. (2)当a=0时，∫(x)=-lnx+2x-2,记g(x)=(x-l)-f(x)=lnr-x+1. g(s)=-1=-x,令g()=0,有x=1, 当x∈(0，)时，g(x)>0,g(x)在(0,1)上单调递增， 当x∈(1，+∞)时，g(x)<0,g()在(1，+∞)上单调递减， 从而8(x)=8()=0,所以8(x)≤0，即x-1≤f(x) 8)因为fa=+2+a=2+r-1,xe0网， 当2+a≤0，即a≤-2时，'(x)<0, 所以了（倒在日+上单调递减。 因为/日)=2+2+。-2≤0， 所以了)在（仁+网上无零点，符合题意： 当a>-2时，令f"(x)=0,则x=, >0, 2+a 当xe0a)时，f)k0:当xe(2+a*时，f>0, 所以（的单调适减区间是0a单调递增区间是(2+。m, 的最小值为/2)-n。1。 答案第15页，共16页 当-n2本。1>0，即a>e-2时，无零点，符合g意： 当2时，因有-个零点女。甘，不精合怎意 当2ase-2时，甘节的威值a-h2a0, 因为f日)-(+站>0， 所以位2+a)使得)-0，不符合腿意 综上，a∈(-∞，-2小U(c-2,+∞). 答案第16页，共16页