精品解析：北京市第八十中学2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

北京市第八十中学2025--2026学年第二学期5月阶段测 高 二 数 学 2026年5月 班级 姓名 考号 （考试时间90分钟 满分100分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由集合，则集合 2. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用初等函数求导公式与复合函数求导公式逐项分析即可. 【详解】选项A，，故A错误； 选项B， ，故B错误； 选项C，，故C正确； 选项D，，故D错误. 3. 袋中装有大小相同的个黑球，个白球，从袋中每次任意取出个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用随机变量的定义可得出结果. 【详解】因为取到白球时停止，所以最少取球次数为，即第一次就取到了白球； 最多次数是次，即把所有的黑球取完之后才取到白球． 由题意可知，随机变量的可能取值有. 4. 甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，则不同的选择方案共有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，可以分4步完成， 每一步由1人选择一门选修课，每步均有3种选法，根据分步乘法计数原理，故共有种不同的选择方案. 5. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 60 B. C. 15 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，求出常数项. 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得，所以展开式中的常数项为. 故选：A. 6. 函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，从而得在上恒成立，求出函数在上的值域，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 由题意可得在上恒成立， 所以，在上恒成立， 又因为在上单调递增， 所以， 所以的取值不大于函数在区间上的下确界，即， 所以实数的取值范围为. 7. 甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲最终以获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用独立重复事件分析求解即可. 【详解】甲最终以获胜，说明甲在五局比赛中赢了四局，输了一局，且输掉的这局为第一局，第二局，第三局或者第四局， 故概率为. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数 ​，利用其单调性比较，利用不等式性质比较，得到大小关系. 【详解】构造函数 ​，则，令得， 则当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因此的最大值在处取得，又 ，， 所以，即  又，所以，所以，即 ， 综上可得. 9. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（ ） ①6维“立方体”的顶点有36个；②；③；④. A. ①② B. ②③④ C. ②③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】应用分步乘法原理计算判断①，应用古典概型结合组合数计算判断②，先写出概率再应用数学期望公式及方差公式计算判断③，④即可. 【详解】对于6维坐标，其中，即有2种选择， 故共有种选择，即6维“立方体”的顶点有64个，故①错误； 当时，在与中有3个坐标值不同， 即有3个（ ，）满足，有3个 满足， 所以满足的顶点对有 组，因此，故②正确； 满足的顶点对有组，所以， 即，，，，，. 因此，故③正确； 而， 所以④错误. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 10. 已知随机变量服从两点分布，且，则______，______. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【详解】两点分布满足所有概率和为，即. 已知 ，代入得 ， 解得​，同时得. 对于服从两点分布的随机变量，方差公式为（其中）， 代入得. 11. 书架的第1层放有5本不同的计算机书，第2层放有6本不同的文艺书，第3层放有7本不同的体育书.从书架的第1层，第2层，第3层各取1本书，共有不同的取法种数为_______. 【答案】 【解析】 【详解】由分步计数原理可知，不同的选法种数为种. 12. 已知，则=______. 【答案】 【解析】 【详解】展开式通项为，得 ， ， 相加得. 13. 端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中2盒是豆沙粽，4盒是鲜肉粽，从中任取3盒粽子，记取到的豆沙粽有盒，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据服从超几何分布求其分布列，结合期望公式计算可得结果. 【详解】由题意知服从超几何分布， 则，，， 所以. 14. 已知函数，则下列说法正确的是______. ①若，则在单调递减，在单调递增 ②若，则 ③若，则存在一个极值点 ④若，则恒成立 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数判断单调性，结合构造函数，逐项判断即得. 【详解】因为定义域为，，令 ，，所以 对于①，当时， ，所以函数在上单调递增， 又，当时，，则，函数在单调递减，当时，，则， 函数在单调递增，故①正确； 对于②，当时，要证，即证，当时， ，而，此时不成立，故②错误； 对于③，当时，因为，所以 ，所以在上单调递增， 又，，由零点存在定理可得，，使得， 当时，则，函数在单调递减， 当时，则，函数在单调递增， 当时，函数有极小值点，故③正确； 对于④，当时，，故， 因为当时，在处取得极小值，显然，， 因为 ，即，且， 则 ，因此恒成立， 故当，则恒成立，故④正确. 三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）求的极大值. 【答案】（1）； （2）时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，极大值为；当时，极大值为 . 【解析】 【分析】（1）利用导数求斜率，然后可得切线方程； （2）求导，然后对分类讨论即可； （3）利用（2）中结论表示出极大值. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，. 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 若，则恒成立，所以在上单调递增. 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）得当或时，无极大值. 当时，在处取极大值，极大值为. 当时，在处取极大值，极大值为 . 16. 教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． （1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； （2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； （3）从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】（1） （2）的分布列为 数学期望 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解； （2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望； （3）先确定服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的值. 【小问1详解】 由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； 【小问2详解】 由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. 【小问3详解】 由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以， 使概率取得最大值时的值为. 17. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为2的菱形. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为椭圆的左顶点，，为椭圆上两个不同的动点（均不与点重合），且满足直线与直线的斜率之积为.求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意结合离心率可得，，即可得和椭圆方程； （2）设直线，，，与椭圆方程联立可得韦达定理，根据斜率关系结合韦达定理可得或，进而分析证明. 【小问1详解】 由题意可得：，，可得，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知：，直线的斜率存在， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，可得， 则，， 因为， 整理可得， 即， 整理可得，解得或， 若，则直线过定点，不合题意； 若，则直线过定点，符合题意； 综上所述：直线过定点. 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）已知点，过作曲线的切线，直线交轴于点． ①求证：点在轴的下方； ②设与轴交于点，曲线在点处的切线与轴交于点为坐标原点，当时，求证：． 【答案】（1）单调递减区间，单调递增区间； （2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，通过导数的正负确定函数的单调区间； （2）①，先求出切线方程，得到点B的纵坐标，再构造新函数分析其单调性，证明纵坐标恒小于0； ②，分别求出、两点的横坐标，通过化简证明，从而得到. 【小问1详解】 定义域为，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 对于①：在点处，切线方程为， 令得，即， 令，则， 当时，，单调递减，所以； 当时，，单调递增，所以 故，即，点在轴下方. 对于②：切线与轴交于点，令，得 即. 在处切线斜率为，切线方程为， 令，得，即， 因为，所以，所以 因为， 令，则， 令，则， 当时，，在单调递增，所以， 即，所以在单调递增，所以，即， 又时，，所以，即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025--2026学年第二学期5月阶段测 高 二 数 学 2026年5月 班级 姓名 考号 （考试时间90分钟 满分100分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 袋中装有大小相同的个黑球，个白球，从袋中每次任意取出个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，则不同的选择方案共有（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 60 B. C. 15 D. 6. 函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲最终以获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（ ） ①6维“立方体”的顶点有36个；②；③；④. A. ①② B. ②③④ C. ②③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 10. 已知随机变量服从两点分布，且，则______，______. 11. 书架的第1层放有5本不同的计算机书，第2层放有6本不同的文艺书，第3层放有7本不同的体育书.从书架的第1层，第2层，第3层各取1本书，共有不同的取法种数为_______. 12. 已知，则=______. 13. 端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中2盒是豆沙粽，4盒是鲜肉粽，从中任取3盒粽子，记取到的豆沙粽有盒，则______. 14. 已知函数，则下列说法正确的是______. ①若，则在单调递减，在单调递增 ②若，则 ③若，则存在一个极值点 ④若，则恒成立 三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）求的极大值. 16. 教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． （1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； （2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； （3）从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 17. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为2的菱形. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为椭圆的左顶点，，为椭圆上两个不同的动点（均不与点重合），且满足直线与直线的斜率之积为.求证：直线过定点. 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）已知点，过作曲线的切线，直线交轴于点． ①求证：点在轴的下方； ②设与轴交于点，曲线在点处的切线与轴交于点为坐标原点，当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $