第19-24章解答题分类复习-2025-2026学年数学八年级下册人教版

**基本信息** 聚焦八年级下册核心模块，以题型为纲构建“方法提炼-知识关联-素养落地”三维训练体系，突出解题策略的系统性与知识逻辑的连贯性。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|4题|构造对偶式、完全平方转化|从概念化简到代数变形，形成“定义-性质-应用”链条| |勾股定理|4题|项目化面积计算、实际问题建模|结合几何直观，构建“定理证明-图形应用-生活迁移”逻辑| |四边形|4题|平行四边形/菱形判定、辅助线构造|以性质为基础，形成“判定定理-图形转化-综合证明”体系| |函数|2题|图像分析、性质探究|从列表描点到图像特征，培养数学抽象与几何直观| |一次函数|4题|实际应用建模、动态几何综合|结合数据意识，构建“解析式-图像-应用”完整链条| |数据的分析|4题|统计量计算、箱线图比较|通过真实数据，发展数据观念与模型意识|

第19-24章解答题分类复习-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 题型导航 题型一：二次根式 题型二：勾股定理 题型三：四边形 题型四：函数 题型五：一次函数 题型六：数据的分析 题型特训 题型一：二次根式 1．计算： (1) (2) 2．已知，，求下列各式的值： (1) (2) 3．已知，反之，． 又如，． 参考以上方法解决下列问题： (1)将写成完全平方的形式为 ； (2)若一个正方形的面积为，则它的边长为 ； (3)的算术平方根为 ． 4．阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： (1)已知，试证明为定值． (2)已知，求的值． 题型二：勾股定理 5．如图，是的中线，且，，． (1)判断的形状； (2)求点D到边的距离． 6．如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． (1)求小凳子顶点与墙面的距离； (2)在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 7．学习了《勾股定理》一章后，同学们发现，利用勾股定理不仅可以绘制出各种不同的美丽图案，还可以用于计算．某校八年级数学兴趣小组开展了“利用勾股定理求面积”的主题项目化学习活动： 活动主题：求三角形（四边形）的面积； 活动任务一： (1)如图1，等边的边长为4，则它的面积是 ； 活动任务二： (2)如图2，中，，求的面积； (3)如图3，四边形中，，求四边形的面积． 8．综合与实践． 【实践背景】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究． 【实践素材】实验支架、细绳、小球、卷尺． 【实践操作】步骤一：如图1，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，让小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置； 步骤二：先用发声物体靠近小球，使小球从摆到位置； 步骤三：再次用发声物体靠近小球，让小球摆到位置，使得．    【实验记录】如图2，在笔记本上记录点和点的位置（图中的，，，在同一平面上），并过点作于点，过点作于点，测得，． 【实践探索】 (1)求证：； (2)求的长． 题型三：四边形 9．如图，△中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 10．如图，在中，，，分别是，的中点，连接，过点作，过点作． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，连接，若，，求的长． 11．如图1，在矩形中，点在的延长线上，与相交于点，与相交于点， (1)求证：； (2)如图2，连接，求的值． 12．如图1，四边形是正方形，点是上一点，点是延长线上一点，． (1)求证：； (2)如图2，连接，，设，分别与交于点P，Q． （i）求证：； （ii）求证：． 题型四：函数 13．甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由A地到B地，行驶路程（单位）与行驶时间（单位：）之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)A、B两地的路程是__________． (2)出发较早的是__________，早__________． (3)求乙在距A地多少千米处追上甲？ 14．萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． (1)列表： … … … … 直接填空：_______； (2)描点并正确地画出该函数图象； (3)①根据函数图象可得：该函数的最小值为_______； ②观察函数的图象，写出该图象的一条性质：_______． 题型五：一次函数 15．已知：，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 16．某文具店为筹备开学季活动，准备采购套笔记本套装，每套搭配支中性笔，供学生免费试用．甲、乙两家店都有这种笔记本套装和中性笔出售，每套笔记本套装标价元，每支中性笔标价元，目前两家店同时做促销活动： 甲店：所有商品均打七五折销售；乙店：买一套笔记本套装送支中性笔． 设在甲店购买笔记本套装和中性笔的费用为（元），在乙店购买的费用为（元），请回答下列问题： (1)分别写出、关于的函数解析式； (2)若只在一家店购买，在哪家店购买更划算？ (3)若每套笔记本套装需配支中性笔，请直接写出购买费用最低的方案及最低费用． 17．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 18．如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_____三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在轴是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 题型六：数据的分析 19．游泳培训中心特训班进行毕业考试，100米蛙泳24名成员的成绩如下（单位：秒）： 158  149  145  128  140  135  142  150 155  132  136  150  142  152  130  136 140  144  166  142  144  150  132  138 据此回答： (1)填写四分位数表 四分位数 数值 136 142 150 说说本次成绩所反映的总体情况 (2)如下图所示，将这一年的成绩绘制成箱线图，并与去年的成绩进行比较，说说你对这一年成绩的评价． 20．“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，大丰区主管部门就学生对“阳光定食校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“阳光定食校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）：初中：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10．高中：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7．两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 a b 0.8 高中 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______． (2)求m的值． (3)综合表中数据，从集中趋势（平均数、中位数、众数）看，是初中学生还是高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高？请简要说明理由． 21．人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某学校为了解该校学生对人工智能的关注程度，对全校学生进行问卷测试，结果采用百分制，结果越高，则表明对人工智能的关注程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试成绩进行整理和分析（得分用x表示，且为整数，共分为5组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84， 84，84，84，86，88，88，92，93，97，98． 九年级被抽取的学生测试得分中D组包含的所有数据如下： 88，88，87，88，88，85，85，89． 八、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数/分 众数/分 中位数/分 八年级 79 a 84 九年级 79 88 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：上述图表中，____，____，_____． (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注程度更高？请说明理由． 22．根据中国电影观众满意度调查结果，电影《飞驰人生3》以87.3分的成绩位居2026年春节档满意度榜首．某社团为了解学生对《飞驰人生3》的喜爱程度，现从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生展开问卷调查，并对收集的评分数据进行整理、描述和分析（评分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的评分为： 70，81，83，83，88，91，91，91，92，92，94，94，94，94，96，100，100，100，100，100． 八年级20名学生的评分在组的数据是： 91，91，92，93，94，95，99，99，99，99，100，100． 七、八年级抽取的学生评分统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91.7 93 八年级 91.7 99 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，_____，_____，_____． (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更喜欢《飞驰人生3》？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)该校七、八年级共有3000名学生，请估计该校七、八年级非常喜欢（）《飞驰人生3》的学生人数． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第19-24章解答题分类复习-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 1．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．(1)1 (2)9 【分析】（1）直接代入，利用平方差公式求解； （2）先求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：， ∴ ． 3．(1) (2) (3) 【分析】（1）参考题目的方法即可求解； （2）参考题目的方法可得，再根据正方形的边长是正方形的面积的算术平方根即可求解； （3）参考题目的方法可得，根据算术平方根的定义以及二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵一个正方形的面积为，即， ∴它的边长为； （3）解： ， ∴， 即的算术平方根为． 4．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意“构造对偶式”，解得其值为，结合题目所给条件即可证明； （2）由题意构造“构造对偶式”，解得其值为8，结合题目所给条件得，和联立即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， 即为定值； （2）解：， ， ， ， 得，，即：， 两边平方得，，解得：， 经检验，是原方程的解． 5．(1)等腰三角形 (2) 【分析】（1）计算三边的平方和，根据勾股定理，得出是直角三角形，即，证明，所以是等腰三角形； （2）运用三角形的面积公式，即可求出． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 是的中线， 点D是的中点，即， ， 是直角三角形，， 即， ， , ， 是等腰三角形． （2）解：过点D作，交于点E，如下图 ， 即， ， 点D到边的距离为． 6．(1)小凳子顶点与墙面的距离为 (2)小凳子宽的长度为，木杆的长度为 【分析】（1）过作垂直于墙面，垂足为点，则，勾股定理即可求解． （2）延长交墙面于点，则，设，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，则， 由题意可知，， 由勾股定理得：， 答：小凳子顶点与墙面的距离为； （2）如图②，延长交墙面于点，则， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，      ， 答：小凳子宽的长度为，木杆的长度为． 7．(1)； (2)； (3) 【分析】（1）过点作，由等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式计算即可； （2）过点作于点，由勾股定理先求出的长，由三角形内角和求出的度数，根据等角对等边，求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可； （3）连接，由勾股定理先求出的长，由勾股定理的逆定理先求出，分别求出、，即可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 是等边三角形，， ， ， ； （2）解：如图2，过点C作于点D， ， 在中，， ， ∴ ， 在中，， ， ， ； （3）解：如图3，连接， 在中，， ∴， 在中，， ， ， ，， ． 8．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂线性质得到，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得到结论； （2）根据勾股定理求出的长，由（1）可知，利用求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， 由（1）得， ∴． 9．(1)证明：， ， 是中点， ， 在和中， ， 则， ， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）由平行线的性质、中点定义得到角及边的相等关系，再由两个三角形全等的判定与性质证得，最后由平行四边形的判定定理求证即可； （2）先由三角形内角和定理求出，过点作，由含直角三角形性质及勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质求出相关线段长度即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：过点作，如图所示： 在中，，，则， 在中，，则， ， ，则由勾股定理可得， 在中，，则， ， 则 10．(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴是菱形． (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据三角形中位线的性质得到，即可得证； （2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 四边形是菱形，， ，， ，分别是，的中点， ， ， ∵点E是的中点， ， ∵， ∴在中，． 11．(1)证明：∵四边形是矩形，点在的延长线上， ， 又， ， ， ， ，即． (2) 【分析】（1）首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即可证明结论； （2）在线段上取点，使得，证明，由全等三角形的性质可得，进而证明为等腰直角三角形，由勾股定理可得，，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在线段上取点，使得， 在和中， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，即，得， ， ． 12．(1)证明：四边形是正方形， ， ，即， ， 即， 在和中， ， ， ． (2)（i）证明：如图1，过点作，交于点． ∵四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形． ， ∵， ， 在和中， ， ， ； （ii）证明：如图2，连接，过点作，且，连接，． ， ，即， 又，， ， ，， ， ，， 是的斜边上的中线． 平分． ， ， ， 又， ， ， 在中，由勾股定理，得，即． 【分析】（1）先证明，可得，进一步可得结论； （2）（i）如图1，过点作，交于点，证明是等腰直角三角形，可得，再证明，进一步可得结论； （ii）如图2，连接，过点作，且，连接，．证明，可得是的斜边上的中线．进一步证明，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 13．(1)80 (2)甲；3 (3)乙在距A地40千米处追上甲 【分析】（1）从函数的图象可以看出路程为80千米； （2）由图象可知，甲早出发3小时； （3）先求出甲乙的速度，设甲行驶了小时乙追上甲，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：从图象上可以看出两地的路程为80千米； （2）解：出发较早的是甲，早3小时； （3）解：甲的速度为：千米/小时； 乙的速度是千米/小时； 设甲行驶了小时乙追上甲， 根据题意，， 解得：， 千米， ∴乙在距A地40千米处追上甲． 14．(1)1 (2)函数图象如图所示： (3)①；②图象关于直线对称 【分析】（1）将代入即可； （2）描出表格中的点，再连线即可； （3）①结合图象判断最小值；②由图象写出函数的性质，如对称性，增减性和最值． 【详解】（1）解：当时，， ∴； （2）略 （3）解：①由图可知，该函数的最小值为； ②图象关于直线对称；当时，随的增大而减小．（答案不唯一） 15．(1) (2) 【分析】（1）将已知的、值代入中，求出的值，再将代回原式，整理得到与的函数关系式． （2）将点代入（1）中求得的函数关系式中，解关于的一元一次方程，求出的值． 【详解】（1）解：当，时， 解得， 将代入， ∴， 与之间的函数关系式为． （2）解：将点代入，得， 解得， 的值为． 16．(1) ， (2) 只在一家店购买时，甲店更划算 (3) 购买方案为全部在甲店购买，最低费用为元 【分析】（1）根据两家店的促销规则列出关于的函数解析式即可； （2）通过比较和的大小，判断更划算的购买方案； （3）分别计算不同方案的费用： 全部在甲店购买；全部在乙店购买；混合购买，得到最低费用的方案． 【详解】（1）解：准备采购套笔记本套装，每套搭配支中性笔， 总共需要支中性笔， 根据题意得：，即； 乙店买一套笔记本送支中性笔， 需要付费的中性笔数量为支， ，即； （2）解：， ， ，即， ， 即对所有满足条件的，都有， 只在一家店购买时，甲店更划算； （3）解： 当时，分别计算不同方案的费用： 全部在甲店购买：（元） ； 全部在乙店购买：（元） ； 混合购买：在乙店买套笔记本，剩余中性笔去甲店购买，总费用为（元） ， 购买费用最低的方案是全部在甲店购买，最低费用为元． 17．(1)，20 (2) (3)存在，点的坐标为或 (4)或 【分析】（1）由平行四边形的性质可得点D的坐标，平行四边形的面积等于底乘高； （2）平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点，平分其面积的直线必经过对称中心； （3）先求出直线的解析式，分三种情况：为对角线时，为边且点N在x轴的负半轴时，为边且点N在x轴的正半轴时，根据对角线中点重合列方程组，即可求解； （4）先将一次函数解析式变形，求出其图像必经过的点，再分别求出其图像经过点D，B时k的值，结合图像即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，点在轴正半轴上，，， ，，， 点D的纵坐标与点A相同，横坐标为， 点的坐标是， 平行四边形的面积； （2）解：，， 对角线，的交点坐标为，即， 设经过点且平分平行四边形面积的直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， 所求直线的解析式为； （3）解：，点在轴正半轴上，， ，即， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设，， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，存在三种情况： 当为对角线时，如图： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的负半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的正半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即， 综上可得，存在，点的坐标为或； （4）解：， 一次函数的图象一定经过点， 当 的图象经过点时， ， 解得； 当的图象经过点时， ， 解得； 结合上图，可得当或时，的图象与平行四边形的边有2个交点． 18．(1)， (2)①直角；②或；③存在点，坐标为：． 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可； ②根据求出长即可求解； ③分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ③设D的坐标是 ∴，， 当时，，解得：； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上可知，点的坐标为． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先将24名成员的成绩从小到大排序，再分别计算出，再根据数据特征分析即可； （2）根据（1）将今年箱线图补充完整，再将箱线图比较两组数据特征分析即可． 【详解】（1）解：将24名成员的成绩从小到大排列为： 128，130，132，132，135，136，136，138，140，140，142，142，142，144，144，145，149，150，150，150，152，155，158，166； ，，； 填表如下： 四分位数 数值 136 142 150 四分位数反映了本次考试成绩中，有不少于的学员的成绩在136秒及以内；有至少一半的学员的成绩在142秒及以内；但是还有不少于的学员的成绩至少有150秒，仍需努力； （2）箱线图如图所示： 通过箱线图可知，今年总体成绩超过去年，不但最少用时和最多用时均比去年要短，而且中位数也提高了8秒，除此之外，这一成绩段的学员成绩更加集中，表示了总体上成绩的集中体现． 20．(1)8，8 (2) (3)高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高，理由如下：初中部和高中部打分的平均数都是8，但高中部的打分的中位数和众数均高于初中部，故高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高． 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据高中部平均数即可求解； （3）根据平均数、中位数、众数的意义求解即可； 【详解】（1）解：初中部打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数． （2）解：高中部打分的平均分为8分， 则， 解得； （3）略 21．(1)84；85；40 (2)九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高．理由： ∵八、九年级被抽取的学生测试得分的平均数相同，但九年级测试得分的中位数、众数均大于八年级， ∴九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高． 【分析】（1）根据众数的定义确定八年级的众数a；根据中位数的定义确定九年级的中位数b；再求出九年级D组所占的百分比即可； （2）根据平均数或中位数或众数的数据比较结果回答即可； 【详解】（1）解：八年级被抽取的学生测试得分的所有数据中，84出现4次是出现次数最多的数据， ． 九年级被抽取的学生测试得分， A组有：（个）， B组有：（个）， C组有：（个）， 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是D组的第1、2个的平均数， D组数据从小到大排序后为：85，85，87，88，88，88，88，89， ． 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是D组共有8个数据， D组占比． ． （2）略 22．(1)92.5；100；5； (2)解：七年级的学生更喜欢《飞驰人生3》，理由：因为七年级的中位数和众数均高于八年级，所以七年级的学生更喜欢《飞驰人生3》；（答案不唯一） (3)2025名 【分析】（1）根据中位线、众数的定义可知a、b的值，根据统计图及八年级20名学生的评分在D组的数据可知m的值； （2）根据中位数和众数判断即可； （3）用3000乘以七、八年级非常喜欢《飞驰人生3》的学生比例即可． 【详解】（1）解：∵八年级20名学生评分的中位数为从小到大第10、11位的平均值，D组的数据是：91，91，92，93，94，95，99，99，99，99，99，100，100， ∴； 七年级20名学生评分出现次数最多的为100，故； 八年级20名学生的评分在D组的有12名，A组的有1名，B组的有2名， 故C组的有，即； （2）略； （3）解：根据题意，七年级评分在的有15名，八年级评分在的有13名， 名． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $