26.1二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，涵盖定义（三要素：整式、最高次2、二次项系数不为0）、一般与特殊形式及模型建立，通过实例导入连接一次函数知识，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以数学眼光抽象定义本质，通过“三要素”辨析强化符号意识，以数学思维设计分类讨论参数问题培养推理能力，结合握手次数、几何面积等实例渗透模型意识。采用逐点导讲练模式，易错点提醒助力概念精准掌握，学生能提升抽象与建模能力，教师可高效开展教学。

26.1 二次函数的概念 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 二次函数的定义 建立二次函数模型表示变量间的关系 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 知1－讲 感悟新知 知识点 二次函数的定义 1 二次函数： 一般地，形如 y=ax2+bx+c ( a， b， c 是常数， a ≠ 0 )的函数，叫做二次函数.其中， x 是自变量， a， b， c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 感悟新知 知1－讲 特别解读 确定二次函数的“三要素”： (1)含有自变量的代数式必须是整式； (2)化简后自变量的最高次数是2； (3)二次项系数不为0. 这三点同时满足时，函数才是二次函数. 知1－讲 感悟新知 2. 二次函数的一般形式和特殊形式 知1－讲 感悟新知 注意 确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项时，通常先将二次函数的解析式化为一般形式. 知1－练 感悟新知 下列y关于x的函数解析式中，一定是二次函数的是_________(填序号). ① y=3x2-1； ② y=ax2+bx+c； ③ y=2x2； ④ y=x2+ ； ⑤ y=x2-(x+1)2； ⑥y=(x+1)(x-3). 例1 解题秘方：紧扣二次函数的“三要素”进行判断. 解：① y=3x2-1 是二次函数； ② y=ax2+bx+c 不一定是二次函数； ③ y=2x2 是二次函数； ④ y=x2+ 不是二次函数； ⑤ y=x2-(x+1)2=-2x-1，是一次函数； ⑥ y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3，是二次函数. 知1－练 感悟新知 答案：①③⑥ a是否为0未知. 不是整式. 知1－练 感悟新知 1-1. 下列y关于x的函数中，一定是二次函数的有(　　) ① y=2x+1； ② y=x(x-1)； ③ y=； ④ y=(x-1)2 -x2； ⑤ y=(n2+1)x2-2x-3. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 B 知1－练 感悟新知 [母题 教材P31 练习T1 ]写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)y=-2x2+3x； (2)y= x2+1； (3)y=x2； (4)y=2x2-(x+1)2. 例2 知1－练 感悟新知 解题秘方：确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项时，要先将解析式化成y=ax2+bx+c(a ≠ 0) 的形式；二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项包括它们前面的符号. 注意不要漏掉 知1－练 感悟新知 解：(1)y=-2x2+3x 的二次项系数为-2，一次项系数为3，常数项为0； (2)y= x2+1 的二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1； (3)y= x2 的二次项系数为，一次项系数和常数项都为0； (4)y=2x2-(x+1)2=2x2-(x2+2x+1)=x2-2x-1，它的二次项系数为1， 一次项系数为-2，常数项为-1. 知1－练 感悟新知 2-1. 二次函数y=-x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A.-1，3，0 B.-1，0，3 C.-1，3，3 D.1，0，3 2-2. 二次函数y=-(2x-1)2+1的二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______. B -4 4 0 感悟新知 知2－讲 知识点 建立二次函数模型表示变量间的关系 2 建立二次函数模型的一般步骤 一审 审题，弄清题意，找出已知量和未知量，分析它们之间的关系 二找 找到两个未知量之间的关系，用等式表示出来 三列 结合已给或设出的未知量的字母，根据等量关系列出函数解析式，注意自变量的取值范围 知2－讲 感悟新知 特别提醒 建立二次函数模型与建立一元二次方程模型类似，不同的是需将它转化为用含一个未知数(自变量)的代数式表示另一个未知数(函数) 的形式. 感悟新知 知2－练 九年级共有 x 名学生，在开学见面时每两名学生都握 手一次，共握手 y 次 . 试写出 y 与 x 之间的函数解析式，并判断 y是不是 x 的二次函数 . 例3 知2－练 感悟新知 思路导引： 解：由题意，得 y= =x2－x， y 是 x 的二次函数 . 知2－练 感悟新知 3-1. [母题 教材P32 习题T1]某工厂七月份生产零件50 万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为x，如果第三季度共生产零件y 万个，那么y 与x 满足的函数关系式是_____________________. y=50+50(1+x)+50(1+x)2 感悟新知 知2－练 某小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用 15 m 长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库 ABCD，仓库总面积为 y m2. 为方便取物，在各个仓库之间留出了1 m 宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个 1 m 宽的缺口 作小门，如图 26.1-1，若设AB= x m，则 y 关于 x 的函数解析式， 并写出x的取值范围. 例4 知2－练 感悟新知 解题秘方：由铁栅栏的全长及 AB 的长，可得出平行于墙的一边 BC 的长为(18 － 4x) m，再利用长方形的面积公式，即可求出 y 关于 x 的函数解析式 . 解：因为铁栅栏的全长为15 m，AB=x m， 所以平行于墙的一边BC 的长为15+3-4x=(18-4x)m. 由题意得解得1<x< . 根据题意，得y=x(18-4x)=-4x2+18x 1<x< . 知2－练 感悟新知 4-1.如图，有长为 24m的 篱 笆， 一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(垂直于墙)的矩形花圃 . 设花圃的边 AB 为 xm，面积为 S m2，则 S 与 x 的函数解析式为_____________________(写出 x 的取值范围) . 二次函数 二次函数 定义 三要素 一般形式 应用 建模表示变 量间的关系 方法 利用定义法解有关二次函数定义的问题 1 若关于x的函数y=(m+1)xm ² － 2+2x2+3( x≠0)是二次函数，求 m 的值 . 例4 解题秘方： 紧扣二次函数定义的“三要素”，按系数与指数的不同情况分类求解 . 方法点拨 在进行分类讨论时，首先考虑首项系数等于0的情况，然后考虑首项系数不等于 0的情况 . 当首项系数不等于0时， 要根据次数必须小于或等于2进行分类. 解： 当 m+1=0，即 m=－1 时， y=(m+1)xm ² － 2+2x2+3是二次函数；当 即 m=± 2 时y=(m+1)xm ² － 2+2x2+3是二次函数； 当 m2－2=1，即 m=± 时， y=(m+1)xm ² － 2+2x2+3是二次函数； 当m2－2=0，即m=± 时， y=(m+1)xm ² － 2+2x2+3 ( x≠0)是二次函数. 综上， m= － 1， ± 2， ± 或± . 特别提醒 在讨论指数是 0 的时候，需指出底数不为0这一条件. 方法 利用动态分析法建立二次函数模型解动点问题 2 如图 26.1-2，在 △ ABC 中，∠ B=90°， AB=6 mm， BC=12 mm， 动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点B 以 1 mm/s 的速度移动(不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2 mm/s 的速度移动(不与点 C 重合)，点 P， Q 同时出发，设运动时间为 t s(t>0)， 四边形 APQC 的面积为 y mm2. 例5 27 (1)求 y 关于 t 的函数解析式 . (2)求自变量 t 的取值范围 . (3)四边形 APQC 的面积能等于 43 mm2 吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由 . 解法提醒 在几何动态问题中建立二次函数模型关键要掌握两点： 一是掌握用点运动的路程表示线段长； 二是掌握几何图形的面积公式 . 思路导引： (1)求 y 关于 t 的函数解析式 . (2)求自变量 t 的取值范围 . 解：  由题意得 PB=(6－t)mm， BQ=2t mm， 所以 y= × 6× 12－ ×(6－t)× 2t，即 y=t 2－6t+36. 因为 0<6－t<6， 0<2t<12，所以 0<t<6. 解：  不能 . 理由如下： 当 y=43 时， t 2－6t+36=43， 解得t1=7， t2=－1. 因为 0<t<6，所以 t1=7， t2=－1 均不在取值范围内 . 故 四边形 APQC 的面积不能等于 43 mm2. (3)四边形 APQC 的面积能等于 43 mm2 吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由 . 自变量的取值应使实际问题有意义 易错点 忽视二次项系数不为0而出错 当 m 取何值时，函数 y=(m2+m) xm²－2m－1+(m－5) x+m2 是关于x的二次函数？ 例7 错解： 由题意得 m²－2m－1=2， 解得 m1=3，m2=－1. 故当 m=3 或 m=－1 时，该函数是关于 x 的二次函数 . 正解： 由题意得 解得 m=3. 故当 m=3 时，该函数是关于 x 的二次函数 . 诊误区： 当二次函数的二次项系数包含字母时，要注意二次项系数不为 0，解此类题易只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系数的限制，从而导致错误. S＝－3x2＋24x $