26.1　二次函数的概念（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念，系统讲解定义、一般形式及“整式、最高次2、二次项系数非0”三条件。课堂导入从复习一次函数入手，通过正方体表面积、矩形面积等实际问题引导学生发现新函数，搭建从一次函数到二次函数的学习支架。 其亮点是以现实情境问题为载体，如矩形面积推导、比赛场次分析等，培养学生用数学眼光抽象数量关系。通过对比一次函数、推导实例表达式，发展数学思维中的推理意识。规范的概念辨析和建模练习提升数学语言表达能力，学生能增强抽象能力和应用意识，教师可获得清晰教学路径与丰富实例资源。

26.1　二次函数的概念 人教版 九年级 数学（上） 第26章 二次函数 新课导入 1．一次函数的一般形式：______________． 2．正比例函数的一般形式：______________． 3．想一想：正方体六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间有什么关系呢？ y＝kx＋b(k≠0) y＝kx(k≠0) 2 探究新知 用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y(单位：m2)会随矩形一边长 x(单位: m)的变化而变化，y与x之间有什么关系？ 对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 变量 变量 根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为 y = x(20 − x) ， 即 y = −x2 + 20 x . 这是一个不同于一次函数的新函数. 问题1 n支球队参加比赛, 每两队之间进行1场比赛, 比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？ 比赛的总场次是n(n－1)场，还是n(n－1)场，为什么？ 每支球队都要与其他(n−l) 支球队各比赛1场, 由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数m＝n(n－1)， 即，m＝n2－n 式子m＝n2－n，m是n的函数吗？为什么？ m＝n2－n表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. 问题2 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 问题2中前后两年的产量间存在怎样的关系？ 原产量为20 t，一年后的产量是多少？两年后的产量是多少？ 一年后的产量是: 两年后的产量是: 20(1+x)t 20(1+x)(1+x)t y = 20(1+x)2 对式子y＝20(1＋x)2，y是x的函数吗？ y = 20(1+x)2 y = 20x2 + 40 x + 20 式子表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 思考： 观察这些函数，它们有什么共同点？ y = −x2 + 20 x m＝n2－n y = 20x2 + 40 x + 20 ①都是函数关系式； ②函数解析式都是整式； ③自变量的最高次数都是2. y = −x2 + 20 x m＝n2－n y = 20x2 + 40 x + 20 它们是一次函数吗？ 它们应该属于几次函数？ 二次函数 二次 （一元）二次方程 函数 一次函数 ax2+bx+c=0(a≠0) y=kx+b (k，b是常数，k≠0) 二次函数的概念： 二次函数的概念： 一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）函数解析式是整式； （2）化简整理后自变量的最高次数是2； （3）二次项系数不为0，即a≠0. 二次函数解析式必须同时满足的三个条件： 二次函数的一般形式： y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 二次函数的特殊形式： 当b=0，c=0时， y=ax2(a≠0) 当c=0时， y=ax2+bx(a≠0) 当b=0时， y=ax2+c(a≠0) 一次项系数、常数项可以为0. 例 （1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. 圆柱表面积 = 圆柱底面积 + 圆柱侧面积 S = 2πr2 + 2πr · r S = 4πr2 （2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x. 写出两年后产品的年销售量y（単单位；万件）关于x的函数解析式， 一年后产品的年销售量为： 两年后产品的年销售量为： 8(1−x)万件 8(1−x)2万件 y = 8x2 − 16 x + 8 知识归纳 一般地，形如y＝_____________(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别为函数解析式的____________、____________和____________． ax2＋bx＋c 二次项系数 一次项系数 常数项 强调以下几个问题： (1)关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式； (2)二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件．若a＝0，b≠0，则它是一次函数． 例 1 例题与练习 判断函数y＝(x－2)(3－x)是否为二次函数？若是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由． 解：y＝(x－2)(3－x)＝－x2＋5x－6， 是二次函数 二次项系数：－1， 一次项系数：5， 常数项：－6 . 例 2 已知函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5(m是常数)，当m为何值时： (1)函数是一次函数？ (2)函数是二次函数？ 解：(1)当m＝－3时， (2)当m≠±3时， 函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是一次函数． 函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是二次函数． 例 3 某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围． 解：降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)件， 则y＝(13.5－2.5－x)(500＋100x)， 即y＝－100x2＋600x＋5 500 (0＜x＜11). 1. 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。 (1) y = 8x2−16x + 8; (2) y = x2: 二次项系数：8 一次项系数：−16 常数项：8 二次项系数：1 一次项系数：0 常数项：0 (3) y = − x2 + 5x ; (4) y = 2(x−1)2−5: 二次项系数：− 一次项系数：5 常数项：0 二次项系数：2 一次项系数：− 4 常数项：− 3 y = 2x2 − 4x − 3 2.如图，矩形绿地的两边长各增加 xm，扩充后的绿地面积为 ym2. 写出 y关于 x的函数解析式. y = (30+x)(20+x) =x2 +50x + 600 y关于 x的函数解析式为： y = x2 +50x + 600 (x≥0) 3．下列说法中，不正确的是 (　 　) A．二次函数中，自变量的取值范围一般是全体实数 B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数 C．y＝(x＋1)(2x－1)是二次函数 D．在函数y＝2－x2中，一次项系数为2 D 4．已知二次函数y＝1－2x－x2，其中二次项系数a＝______，一次项系数b＝______，常数项c＝______． －1 －2 1 课堂小结 1．请叙述二次函数的定义及一般形式． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)： ①解析式为整式； ②自变量的最高次数为2； ③二次项的系数不为0. 3．自变量x的取值范围为全体实数． 随堂检测 1、下列函数是二次函数的是（ ） A. y=2x+1 B. y=2x+1 C. y=x2+2 D. y=x2 C 2、 二次函数y=3x22x-4的二次项系数与常数项的和是（ ） A. 1 B. 1 C. 7 D. 6 B 3、某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次降价的百分率x的函数关系式是 . y = 2(1−x)2 4、正方形的边长为10cm，在中间挖去一个边长为xcm的正方形，若剩余部分的面积为ycm2，则y与x的函数关系式是y=100-x2，x的取值范围为 . 0≤ x ≤10 作业布置 (1)教材P32　习题26.1第1，2题； (2)对应课时练习． $