第二十一章 四边形（17种题型）期末复习讲义 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 一、一般四边形与多边形基础 1. 四边形定义：平面内，不在同一直线上的四条线段 组成的封闭图形. · 内角和： ；外角和： （任意多边形外角和均为360°）; · 对角线：连接不相邻两顶点的线段，四边形有2条对角线; · 特性：不具有 2. n边形 · 内角和公式： （n≥3，且为整数）; · 外角和： ; · 正多边形：各边相等、各角相等. 二、平行四边形 1. 定义：两组对边分别平行的四边形，记作▱ABCD. 2. 性质（边、角、对角线、对称性） · 边：对边 （AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC）; · 角：对角 、邻角 （∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°）; · 对角线：互相 （OA=OC，OB=OD，O为交点）; · 对称性：中心对称图形（对称中心：对角线交点），非轴对称; 3. 判定（5种，从边、角、对角线） · 定义：两组对边分别平行; · 边：两组对边分别相等; · 边：一组对边 （最常用）; · 角：两组对角分别 ; · 对角线：对角线互相 . 三、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形） （一）矩形（长方形） 1. 定义：有一个角是 的平行四边形. 2. 性质（含平行四边形所有性质+特有） · 角：四个角都是直角（90°）; · 对角线： 且互相平分（AC=BD）; · 对称性：中心对称+轴对称（2条对称轴）. 3. 判定 · 定义：平行四边形+一个直角; · 对角线：平行四边形+对角线 ; · 角：三个角是直角的四边形. （二）菱形 1. 定义：有一组 的平行四边形. 2. 性质（含平行四边形所有性质+特有） · 边：四条边都相等; · 对角线：互相 ，且每条对角线平分一组 ; · 对称性：中心对称+轴对称（2条对称轴）. 3. 判定 · 定义：平行四边形+一组邻边相等; · 对角线：平行四边形+对角线互相 ; · 边：四条边都相等的四边形. 4. 面积 · 方法1：S = 底×高（同平行四边形）; · 方法2：S= . （三）正方形 1. 定义：有一组邻边 且有一个角是 的平行四边形（既是矩形，又是菱形）. 2. 性质（集矩形、菱形所有性质） · 边：四条边相等、对边平行; · 角：四个角都是直角; · 对角线：相等、互相垂直平分，每条对角线平分一组对角; · 对称性：中心对称+轴对称（4条对称轴）. 3. 判定（3种核心思路） · 矩形+一组邻边相等; · 菱形+一个 ; · 对角线：互相垂直平分且相等的四边形. 四、三角形中位线定理（核心考点） 1. 定义：连接三角形两边中点的线段（一个三角形有3条中位线）. 2. 定理：三角形的中位线 第三边，且等于第三边的 ; 几何语言：在△ABC 中，D、E 为AB、AC中点 ⇒ DE∥BC，DE=½BC. 3. 作用：证明线段平行、求线段长度、构造平行四边形. 1.判定时区分：“平行四边形+条件”与“任意四边形+条件”; 2.菱形面积别忘对角线乘积的一半; 3.中位线≠中线（中线连顶点与对边中点）; 4.一组对边平行、另一组对边相等，不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）. 题型一 多边形内角和与外角和综合 1．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（     ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）若一个多边形的内角和与外角和之差为，则这个多边形的边数______． 4．（25-26八年级下·四川广元·期中）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，那么该多边形的对角线共有_______条． 题型二 判断是否构成平行四边形平行四边形 5．（2026·河北承德·二模）如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26八年级下·北京·期中）下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面给出四边形中，，，的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·四川广元·期中）下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 平行四边形性质与判定综合 9．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，过的对角线上一点M分别作平行四边形两边的平行线与，若图中的的面积 的面积，则 ______． 11．（2026·北京密云·一模）如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，⊥，⊥，垂足分别为点，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 题型四 与已知三点构成平行四边形的点 13．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（25-26八年级下·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 15．（25-26八年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 16．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在中． (1)点坐标为____________，点坐标为____________，点坐标为____________． (2)的形状为____________． (3)若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，写出点的坐标____________． 题型五 中位线有关问题 17．（25-26八年级下·湖北·期中）如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．（25-26八年级下·北京·期中）如图，两地被池塘隔开，小明想测量两地间的距离，但是不方便测量．于是想了个办法，他先选一个能直接到达的点，然后测出，的中点，．并且测得的长为18米，则，间的距离是（     ）． A．36米 B．27米 C．18米 D．9米 19．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，在平行四边形中，，M，N分别为，的中点，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．不确定 20．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在等边中，，分别为边，的中点，连接，交于点，，分别为，中点，连结，，，． (1)求证：和互相平分； (2)若，求四边形的周长． 题型六 矩形与折叠问题 21．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（     ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，有一张矩形纸片，点E在上，点F在上，将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合，点D的对应点为点G，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 23．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______． 24．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）如图，把矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点是点，已知，． （1）__________； （2）若点为上一个动点，则的最小值为__________． 题型七 矩形的性质与判定综合 25．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 27．（2026·贵州遵义·二模）在四边形中，于点，点为中点，连接．有如下条件：①；②连接，． (1)从①②中任选一个作为已知条件，求证：四边形为矩形； (2)连接，若，求的长． 28．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 题型八 添一个条件使四边形是矩形 29．（25-26八年级下·广西柳州·期中）以下条件中不能判定平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 30．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 32．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是________．（只需写一个条件） 题型九 菱形的性质与判定综合 33．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，两个等宽的矩形纸带交叉叠合能得到四边形，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 34．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分四边形的周长是（     ） A．12 B． C． D．24 35．（25-26八年级下·浙江·期末）如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作于点F，延长交于点G．若，，求四边形的面积． 36．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边、交于点，连接、，若． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 题型十 添一个条件使四边形是菱形 37．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，的对角线、交于点，添加以下条件不能证明是菱形的是（ ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，添加下列选项，可使四边形为矩形的是（     ）． A． B． C． D． 39．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 40．（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，在中，平分交于点，过点作交于点，点在线段上，连接．请你添加一个条件________，使四边形是菱形． 题型十一 正方形折叠问题 41．（2026·安徽合肥·三模）已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿对折至，延长交边于点，连接，． （1）________； （2）若为的中点，则的面积为________． 42．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）边长为的正方形中，是边上的动点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于点． （1）若，，三点共线，则________； （2）若，则________． 43．（2026·海南三亚·模拟预测）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则___________，___________． 44．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，把一块边长为6的正方形纸片沿着翻折，使顶点A恰好与边上的点E重合，若，则折痕________． 题型十二 正方形的性质与判定综合 45．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 46．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 47．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作． (1)求证：为正方形； (2)连接，若，求的长． 48．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 题型十三 （特殊）平行四边形的性质理解 49．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对边相等 50．（25-26八年级下·全国·期末）矩形、正方形、菱形都具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．对角线平分一组对角 51．（25-26八年级下·全国·期末）下列说法不正确的是（     ） A．菱形的对角线互相垂直 B．矩形的四个角相等 C．菱形的四个角相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 52．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．四条边相等 题型十四 （特殊）平行四边形的判定定理理解 53．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）下列说法错误的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角为直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．四个内角都相等的四边形是矩形 54．（25-26八年级下·重庆石柱·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 55．（25-26八年级下·重庆·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 56．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）下列四边形判定说法正确的是（     ） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是正方形 题型十五 中点四边形 57．（25-26八年级下·江苏常州·期中）顺次连接对角线互相垂直的四边形的四条边的中点，得到的四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 58．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）顺次连接一个正方形的各边中点得到一个四边形，则这个四边形是（ ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 59．（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 60．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十六 （特殊）平行四边形的动点问题 61．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 62．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为（   ） A．4s B．3s C．2s D．1s 63．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过_______，使四边形是矩形． 64．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度匀速运动，当点运动到点时，点、点同时停止运动．过点作交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为_____． 题型十七 四边形中的线段最值问题 65．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在中，，且，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点E，于点F，G为四边形对角线的交点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 66．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，是线段的中点，过点作，，垂足分别为，，连接，则的最小值为_____________． 67．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，在矩形中，点E为边的中点，点F为边上一个动点，以为斜边作等腰，使点G和点B在的两侧，若，，则的最小值为________，当点F从点B移动到点C时，点G运动的路径长为________． 68．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，是边上一点，且，过点作分别交，，于点，，，若为上任意一点，则的最小值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 一、一般四边形与多边形基础 1. 四边形定义：平面内，不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形. · 内角和：360°；外角和：360°（任意多边形外角和均为360°）; · 对角线：连接不相邻两顶点的线段，四边形有2条对角线; · 特性：不具有稳定性. 2. n边形 · 内角和公式：(n-2)×180°（n≥3，且为整数）; · 外角和：360°; · 正多边形：各边相等、各角相等. 二、平行四边形 1. 定义：两组对边分别平行的四边形，记作▱ABCD. 2. 性质（边、角、对角线、对称性） · 边：对边平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC）; · 角：对角相等、邻角互补（∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°）; · 对角线：互相平分（OA=OC，OB=OD，O为交点）; · 对称性：中心对称图形（对称中心：对角线交点），非轴对称; 3. 判定（5种，从边、角、对角线） · 定义：两组对边分别平行; · 边：两组对边分别相等; · 边：一组对边平行且相等（最常用）; · 角：两组对角分别相等; · 对角线：对角线互相平分. 三、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形） （一）矩形（长方形） 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形. 2. 性质（含平行四边形所有性质+特有） · 角：四个角都是直角（90°）; · 对角线：相等且互相平分（AC=BD）; · 对称性：中心对称+轴对称（2条对称轴）. 3. 判定 · 定义：平行四边形+一个直角; · 对角线：平行四边形+对角线相等; · 角：三个角是直角的四边形. （二）菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形. 2. 性质（含平行四边形所有性质+特有） · 边：四条边都相等; · 对角线：互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角; · 对称性：中心对称+轴对称（2条对称轴）. 3. 判定 · 定义：平行四边形+一组邻边相等; · 对角线：平行四边形+对角线互相垂直; · 边：四条边都相等的四边形. 4. 面积 · 方法1：S = 底×高（同平行四边形）; · 方法2：S=½×对角线乘积. （三）正方形 1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（既是矩形，又是菱形）. 2. 性质（集矩形、菱形所有性质） · 边：四条边相等、对边平行; · 角：四个角都是直角; · 对角线：相等、互相垂直平分，每条对角线平分一组对角; · 对称性：中心对称+轴对称（4条对称轴）. 3. 判定（3种核心思路） · 矩形+一组邻边相等; · 菱形+一个直角; · 对角线：互相垂直平分且相等的四边形. 四、三角形中位线定理（核心考点） 1. 定义：连接三角形两边中点的线段（一个三角形有3条中位线）. 2. 定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半; 几何语言：在△ABC 中，D、E 为AB、AC中点 ⇒ DE∥BC，DE=½BC. 3. 作用：证明线段平行、求线段长度、构造平行四边形. 1.判定时区分：“平行四边形+条件”与“任意四边形+条件”; 2.菱形面积别忘对角线乘积的一半; 3.中位线≠中线（中线连顶点与对边中点）; 4.一组对边平行、另一组对边相等，不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）. 题型一 多边形内角和与外角和综合 1．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（     ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】C 【分析】利用多边形外角和为，边形内角和公式，和题目给出的内角和外角的倍数关系列方程求解边数即可． 【详解】设这个多边形的边数为， ∵任意多边形的外角和为，且该多边形内角和是外角和的倍， ∴该多边形的内角和为 又∵边形的内角和公式为 ∴列方程得 两边同除以得 解得 ∴这个多边形是八边形． 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列方程求出这个多边形的边数，再根据以边形的一个顶点为端点的对角线有条求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵一个多边形的内角和与外角和的和是，多边形的外角和等于， ∴， 解得， ∴以这个多边形的一个顶点为端点的对角线条数为（条）． 3．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）若一个多边形的内角和与外角和之差为，则这个多边形的边数______． 【答案】 【分析】任意多边形的外角和恒为，根据已知条件先求出该多边形的内角和，再利用多边形内角和公式列方程求解边数即可． 【详解】解：设该多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 整理得： ， 解得． 4．（25-26八年级下·四川广元·期中）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，那么该多边形的对角线共有_______条． 【答案】9 【分析】先根据多边形内角和定理与多边形外角和定理求出该多边形的边数，再代入边形对角线条数公式计算即可． 【详解】解：设该多边形的边数为， 由题意得：， 解得， 则该多边形的对角线的条数共有（条）． 题型二 判断是否构成平行四边形平行四边形 5．（2026·河北承德·二模）如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，不符合题意； B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，不符合题意； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，不符合题意； D、无法判断四边形为平行四边形，符合题意 6．（25-26八年级下·北京·期中）下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题根据平行四边形的判定定理对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项中，，，无法推出四边形对边平行或相等，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； B选项中， 四边形内角和为，，， ， ，可得，同理可得， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意； C选项中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故不符合题意； D选项中，，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故不符合题意． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面给出四边形中，，，的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用到“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，只需判断四个选项中，对角所占的份数是否相等，即可得出结论． 【详解】解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形， 若四边形为平行四边形，需要满足，，即四个角度数之比中，与的份数相等，与的份数相等， 观察四个选项，只有选项D满足上述条件，因此能判定四边形是平行四边形． 8．（25-26八年级下·四川广元·期中）下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可． 【详解】解：如图： ① ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形，故①符合要求， ② 四边形内角和为，∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 同理可得， ∴四边形是平行四边形，故②符合要求， ③ ，仅说明邻边相等，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合要求． ④ ∵， ∴四边形是平行四边形，故④符合要求， 综上，符合条件的有个． 题型三 平行四边形性质与判定综合 9．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得，，再由平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，得出，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ． ∴，即， 平分交于点， ． 10．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，过的对角线上一点M分别作平行四边形两边的平行线与，若图中的的面积 的面积，则 ______． 【答案】300 【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形、，证，得出和的面积相等；同理得出和的面积相等，和的面积相等，相减即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，，， 四边形、是平行四边形， 在和中， ， ， 即和的面积相等； 同理和的面积相等，和的面积相等， 故四边形和四边形的面积相等，即． ， ， 11．（2026·北京密云·一模）如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得出，再证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，从而得出，根据，，得出，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，⊥，⊥，垂足分别为点，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形； (2)11 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及已知条件，可得，证明得出，即可得证； （2）在中，勾股定理求得，根据（1）可得，则，在中，根据勾股定理求得长，由此即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）可得 ∴， 在中，， ∴， ∴． 题型四 与已知三点构成平行四边形的点 13．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据题意画出符合条件的三种情况，然后根据图形判断即可． 【详解】解：如图，分别过点A、B、C作对边的平行线，分别交于点， ∴可得， 由图可知，点D不可能在第三象限． 14．（25-26八年级下·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 15．（25-26八年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 16．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在中． (1)点坐标为____________，点坐标为____________，点坐标为____________． (2)的形状为____________． (3)若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，写出点的坐标____________． 【答案】(1) (2)直角三角形 (3)或或 【分析】（1）根据点A和点C的坐标，利用勾股定理可以求得的长； （2）先判断的形状，然后根据勾股定理求得、和的长，再根据勾股定理的逆定理判断的形状即可； （3）根据题意画出点D所在的位置，然后写出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：根据图象得：A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为． （2）解：根据网格得：，， ，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示， 由图可得，以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 题型五 中位线有关问题 17．（25-26八年级下·湖北·期中）如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】延长交于点，先证明，得出，，求出，再证明是的中位线，即可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴． 18．（25-26八年级下·北京·期中）如图，两地被池塘隔开，小明想测量两地间的距离，但是不方便测量．于是想了个办法，他先选一个能直接到达的点，然后测出，的中点，．并且测得的长为18米，则，间的距离是（     ）． A．36米 B．27米 C．18米 D．9米 【答案】A 【分析】先说明是的中位线，再利用三角形的中位线等于第三边的一半求解即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 19．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，在平行四边形中，，M，N分别为，的中点，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．不确定 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到，再根据是的中位线，即可得到答案． 【详解】解：平行四边形，， ， M，N分别为，的中点， 是的中位线， ． 20．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在等边中，，分别为边，的中点，连接，交于点，，分别为，中点，连结，，，． (1)求证：和互相平分； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：，分别为边，的中点， ∴是的中位线， 且， 同理且， 且， 四边形是平行四边形， 与互相平分 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理可证且，且，从而得出且，进而可证结论成立； （2）由，分别为边，的中点，可得，，由是斜边的中点，可得，根据勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：为等边三角形，， ∴， ∵，分别为边，的中点， ∴，， 由（1）可知，， 在中，是斜边的中点， ， 在中，， 由（1）可知边形是平行四边形， ∴， ， 四边形的周长为． 题型六 矩形与折叠问题 21．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质得到，求出，由折叠的性质得到，则，得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：， ∴， ∴． 22．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，有一张矩形纸片，点E在上，点F在上，将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合，点D的对应点为点G，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质可得，，，，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，再由勾股定理可得，证明，作交于H，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，求出即可得解． 【详解】解：四边形为矩形， ，，，． ． 将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合， ，． ． ． ， ． ． ． 如图，作于H， 则． ∴四边形为矩形． ，． ． ． ． 23．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______． 【答案】13 【分析】连接，，易得，，由翻折可得，由可知，当，，三点共线时，最小，进而可得出答案． 【详解】解：连接，， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 由翻折可得， ， ， 当，，三点共线时，最小， ． 24．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）如图，把矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点是点，已知，． （1）__________； （2）若点为上一个动点，则的最小值为__________． 【答案】 9 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）连接，结合是的垂直平分线，可得，当点E，P，C共线时，有最小值，即为的长，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ， ， ． （2）如图，连接， 由题意可知是的垂直平分线， ， 当点E，P，C共线时，有最小值，即为的长， ， 的最小值为9． 题型七 矩形的性质与判定综合 25．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 26．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，当点P从点B运动到点C，最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】勾股定理逆定理得到，进而推出四边形是矩形，连接，则，证明，进而得到最小时，最小，进而得到时，最小，等积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， 连接，则在上，， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 此时，即：， ∴， ∴的最小值为． 27．（2026·贵州遵义·二模）在四边形中，于点，点为中点，连接．有如下条件：①；②连接，． (1)从①②中任选一个作为已知条件，求证：四边形为矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）选择①：利用一组对边相等且平行的四边形易证四边形为平行四边形，再根据，即可证明结论；选择②：根据等腰三角形三线合一可得，由三个角为直角的四边形是矩形，即可证明结论； （2）由（1）知四边形为矩形，勾股定理求出，再求出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）选择①； 证明：点为中点， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 于点， ， 四边形为矩形， 选择②连接，， 证明：， 为等腰三角形， 点为中点， ， ， ， ， ， 于点 ， 四边形为矩形； （2）解：如图，连接， 由（1）知四边形为矩形， ， 在中，， ∴ ， 点为中点， ， 在中， ， ∴． 28．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由勾股定理求出长，即可得出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵，， 由（1）可知，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 题型八 添一个条件使四边形是矩形 29．（25-26八年级下·广西柳州·期中）以下条件中不能判定平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．∵， ∴， ∴能判定平行四边形为矩形，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形，不符合题意； C．由不能判定平行四边形为矩形，符合题意； D．∵ ∴平行四边形为矩形，不符合题意． 30．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，结合平行四边形对角线互相平分的性质进行分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 若添加条件， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； 对于A，可判定四边形为菱形； 对于B，可判定四边形为菱形； 对于C，是平行四边形固有的性质，无法判定为矩形． 31．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】6 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，再根据平行四边形的对角线互相平分，可得． 【详解】解：当是矩形时，， ． 32．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在中，对角线，相交于点，要使得成为矩形，应添加的一个条件是________．（只需写一个条件） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】依据矩形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定； 或添加，根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形即可判定． 题型九 菱形的性质与判定综合 33．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，两个等宽的矩形纸带交叉叠合能得到四边形，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个等宽的矩形纸带交叉叠合可得四边形是菱形，利用菱形的性质和平行线的性质求出的度数，再利用邻补角的定义即可求解． 【详解】解：∵两张矩形纸带对边平行， ∴， ∴四边形是平行四边形，． ∵两个等宽的矩形纸带交叉叠合， 平行四边形面积底纸带宽度， ∴， ∴四边形是菱形， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 34．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分四边形的周长是（     ） A．12 B． C． D．24 【答案】C 【分析】首先过点作于点E，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案． 【详解】解：过点作于点E，于点，    根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 同理： ， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长是． 35．（25-26八年级下·浙江·期末）如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作于点F，延长交于点G．若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由且得四边形为平行四边形，再通过导角证明，得 ，即可证明四边形是菱形； （2）由菱形的性质，得出，根据含角的直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理得出，利用梯形的面积解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 36．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边、交于点，连接、，若． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形； (2)． 【分析】先根据矩形的性质和平行线的性质可得，，再证明，根据全等三角形的性质可得，从而可证明四边形是平行四边形，然后通过垂直平分线的性质可得，所以四边形是菱形； 由得四边形为菱形，通过，，，，然后在中根据勾股定理求的长． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下， ∵四边形是矩形，为对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵，为对角线的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（）得四边形为菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴的长为． 题型十 添一个条件使四边形是菱形 37．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，的对角线、交于点，添加以下条件不能证明是菱形的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、，，即，又四边形是平行四边形，平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、只能说明是等腰三角形，不能推导出邻边相等或对角线互相垂直，无法证明平行四边形是菱形，故选项C符合题意； D、四边形是平行四边形，，，又，，，平行四边形是菱形，故选项D不符合题意． 38．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，添加下列选项，可使四边形为矩形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据对角线互相平分判定四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）进行选择即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 若要使平行四边形成为矩形， 根据矩形的判定定理，需添加对角线相等或有一个角是直角， A. 添加，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定，A符合题意； B. 添加，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定，B不符合题意； C. 添加，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定，C不符合题意； D. 添加，无法判定四边形是矩形，D不符合题意． 39．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 【答案】② 【分析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， 选②， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． 40．（2026·黑龙江牡丹江·二模）如图，在中，平分交于点，过点作交于点，点在线段上，连接．请你添加一个条件________，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据角平分线的定义以及平行线的性质得，故，再进行补充条件，使得四边形是平行四边形．又根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当添加条件是， ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形． 或添加条件是， ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形． 题型十一 正方形折叠问题 41．（2026·安徽合肥·三模）已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿对折至，延长交边于点，连接，． （1）________； （2）若为的中点，则的面积为________． 【答案】 【分析】（1）根据正方形性质和折叠性质可得，，利用证明，得出，结合即可求解． （2）设，则，，在中利用勾股定理求出与的关系，进而求出与的比值，利用同高三角形面积比等于底边比求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形 ， 将沿对折至 ，，， ， 在和中 （2）为的中点 设，由（1）知 ， 在中，由勾股定理得 即 整理得 解得 ，， 与同高，底边分别为和 ． 42．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）边长为的正方形中，是边上的动点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于点． （1）若，，三点共线，则________； （2）若，则________． 【答案】 【分析】（1）根据三点共线，得出，进而得出为等腰直角三角形，根据勾股定理，即可求解； （2）连接，证明得出，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解析：①如图： ∵以为折痕将翻折，使点落在处， ∴ ∵三点共线，则 ∵边长， ， ∵正方形中，为对角线 ∴ 又∵ 为等腰直角三角形， ． ②如图：连接， ， ， ， ， 设，则． 在中，， ∴ 解得：． ． 43．（2026·海南三亚·模拟预测）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则___________，___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，证得是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长；通过角度计算证明是等腰三角形，得出，再求出正方形对角线的一半作为的高，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， 四边形是正方形 ，， 是等腰直角三角形 在中， 解得 四边形是正方形 又 设与交于点，则 ， 在 中， 44．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，把一块边长为6的正方形纸片沿着翻折，使顶点A恰好与边上的点E重合，若，则折痕________． 【答案】 【分析】过点作于点，利用正方形的性质和折叠的性质及三角形全等的判定得到，从而求出然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连接交于点O， 由折叠得到， ， 过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， 在和中， ， ， ∴， 在中，，， ． 题型十二 正方形的性质与判定综合 45．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 46．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，则，根据折叠性质得出四边形为正方形，求出和的长，再根据第二次折叠求出，进而得出的长，最后计算长方形的长宽比． 【详解】解：设， 长方形的长与宽比值为， ， 由折叠可知， ，，， ， 四边形为正方形， ，， ∵长方形 ∴ ∴， ∴点共线， ∴， 同理可得，三点共线， 由折叠可得，， ∴ 长与宽的比值为． 47．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作． (1)求证：为正方形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）因为等腰直角三角形中，是斜边上的中线，所以先利用等腰直角三角形三线合一的性质，得出与的位置关系和数量关系。因为四边形是平行四边形，且已得出，所以根据正方形的判定定理，一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，可完成证明． （2）先根据的长度和等腰直角三角形的性质，求出的长度，进而得到正方形的边长。然后通过分析图形中线段的位置和数量关系，利用勾股定理来计算的长度． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，是边上的中线， ∴， ∴为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． （2）解：∵为等腰直角三角形，，， ∴． ∴． ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 48．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)边形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握对称性，正方形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． （1）对称性得到，，，，，进而推出，得到四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）设，推出，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵于点D， ∴． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，． 设，则． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，即． 解得． ∴． ∵， ∴． 题型十三 （特殊）平行四边形的性质理解 49．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对边相等 【答案】C 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，矩形是特殊的平行四边形，只需对比两者性质，找出矩形特有而平行四边形不具有的性质即可 【详解】解：∵平行四边形的性质为：对角相等，对边相等，对角线互相平分，矩形作为特殊的平行四边形，也具有以上三个性质， ∴选项A，B，D都是矩形和平行四边形共有的性质，排除； ∵矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等， ∴对角线相等是矩形具有而平行四边形不具有的性质 50．（25-26八年级下·全国·期末）矩形、正方形、菱形都具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】利用矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形分析判断即可． 【详解】解：由矩形对角线不互相垂直，也不能平分一组内角，菱形对角线长度不相等，则A、C、D都不是三者共有的性质；矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，因此B符合要求． 51．（25-26八年级下·全国·期末）下列说法不正确的是（     ） A．菱形的对角线互相垂直 B．矩形的四个角相等 C．菱形的四个角相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】C 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直平分，选项A说法正确，不符合题意； B、矩形的四个角都是直角，则矩形的四个角相等，选项B说法正确，不符合题意； C、菱形的对角相等，邻角互补，四个角不一定相等，只有特殊的菱形（正方形）才满足四个角相等，选项C说法错误，符合题意； D、正方形兼具菱形和矩形的对角线性质，对角线互相垂直平分且相等，选项D说法正确，不符合题意． 52．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．四条边相等 【答案】A 【详解】解：A选项 正方形对角线相等，菱形对角线不一定相等，符合题意； B选项 正方形和菱形的对角线都互相垂直平分，不符合题意； C选项 正方形和菱形的对角线都平分一组对角，不符合题意； D选项 正方形和菱形的四条边都相等，不符合题意． 题型十四 （特殊）平行四边形的判定定理理解 53．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）下列说法错误的是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角为直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．四个内角都相等的四边形是矩形 【答案】A 【分析】根据矩形的定义和判定规则逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：选项A ∵对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，∴该说法错误． 选项B 有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴该说法正确． 选项C ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该说法正确． 选项D ∵四边形内角和为，四个内角都相等，每个内角为 ，四个角都是直角的四边形是矩形，∴该说法正确． 54．（25-26八年级下·重庆石柱·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形、平行四边形、菱形、正方形的判定定理，逐一判断各选项即可得出答案． 【详解】解：A选项、有三个角是直角的四边形才是矩形，仅有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故A选项是假命题； B选项、一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故B选项是假命题； C选项、对角线互相垂直平分的平行四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故C选项是假命题； D选项、矩形四个角都是直角，若一组邻边相等，则四条边都相等，因此有一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项是真命题． 55．（25-26八年级下·重庆·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定定理，逐项判断命题的真假即可得出答案． 【详解】解：A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，是真命题，不符合题意； B．四边相等的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，是真命题，不符合题意； C．对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，原命题缺少对角线相等的条件，因此原命题是假命题，符合题意； D．三个角是直角的四边形是矩形，符合矩形的判定定理，是真命题，不符合题意； 56．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）下列四边形判定说法正确的是（     ） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，对各选项逐一判断即可得到结论． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形才是平行四边形，一组对边平行的四边形可能是梯形，选项错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，选项错误，不符合题意； C、四条边相等的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，选项正确，符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，选项错误，不符合题意． 题型十五 中点四边形 57．（25-26八年级下·江苏常州·期中）顺次连接对角线互相垂直的四边形的四条边的中点，得到的四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】先根据题意作图，再结合中位线的性质，得证四边形是平行四边形，结合对角线互相垂直，证明有一个直角的平行四边形是矩形，即可作答． 【详解】解：如图：，分别是边上的中点，连接，设交于点，交于点， ∵分别是边上的中点， ∴，分别是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是矩形，即得到的四边形一定是矩形． 58．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）顺次连接一个正方形的各边中点得到一个四边形，则这个四边形是（ ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】D 【分析】先连接正方形对角线，借助中位线证对边平行得平行四边形，再利用对角线相等推出四边相等，判定菱形，最后由对角线垂直，证菱形有直角，得到正方形． 【详解】解：设原正方形为，，，，分别是，，，的中点，连接，，如图： ∵，，，分别是，，，的中点， ∴，，，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵在正方形中，， ∴， ∴四边形是菱形， 在正方形中， ∵，，， ∴，即， ∴菱形是正方形． 【点睛】巧用三角形中位线，结合正方形对角线相等且垂直的性质，逐步判定特殊四边形． 59．（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）如图，点，，，分别是四边形边，，，的中点，如果，，则四边形的面积为（     ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、，再由菱形的判定得出四边形为菱形，连接，交于点O，利用勾股定理得出，确定，再由菱形的性质求面积即可． 【详解】解：，，，分别是四边形边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∵， ， ∴四边形为菱形， 连接，交于点O，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形的面积为：． 60．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据特殊四边形的判定与性质逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则，即， ∴四边形为矩形，即①正确； ②若，则， ∴四边形为菱形，即②正确； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是3个． 题型十六 （特殊）平行四边形的动点问题 61．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：当F在M的右侧时，当F在M的左侧时，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 62．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为（   ） A．4s B．3s C．2s D．1s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、动点问题的分析知识点，掌握平行四边形对边相等的性质以及根据动点位置表示线段长度的方法是解题的关键． 先判断点的位置：当四边形为平行四边形时，点必须在上，利用平行四边形对边相等的性质，列方程求解运动时间． 【详解】解：由题意可知，当四边形为平行四边形时，点在上． 设运动时间为，则，． 根据题意，得，解得． 故选：B． 63．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过_______，使四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据四边形是矩形时，，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∴， 当四边形是矩形时，， 即， 解得：． 64．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度匀速运动，当点运动到点时，点、点同时停止运动．过点作交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为_____． 【答案】或 【分析】先设时间为，结合题意得出，，根据点运动到点时，点、点同时停止运动，推出，再根据和，，推出，然后根据以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，推出，最后分类讨论①在线段上，②在线段的延长线上，根据即可求出的值． 【详解】解：设时间为， ∵点从点出发沿方向以的速度匀速运动，点从点出发沿方向以的速度匀速运动， ∴，， ∵当点运动到点时，点、点同时停止运动，， ∴，即， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 分类讨论： ①在线段上，即，解得， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得：； ②如图，在线段的延长线上，即，解得， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得：； 综上，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为或． 题型十七 四边形中的线段最值问题 65．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在中，，且，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点E，于点F，G为四边形对角线的交点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：，且，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，的值最小， 此时，的面积， ， 的最小值为， 点为四边形对角线交点， ； 66．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，是线段的中点，过点作，，垂足分别为，，连接，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，，利用矩形的性质及勾股定理可得，根据矩形的判定可得四边形是矩形，进而得到，当点B、P、D三点共线时，最小，进而可求解． 【详解】解：连接，，如图所示： 四边形是矩形， ∴， ， ，P是线段的中点， ， ∵，， ， ∵， 四边形是矩形， ， 当点B、P、D三点共线时，最小， 此时， 的最小值为：． 67．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，在矩形中，点E为边的中点，点F为边上一个动点，以为斜边作等腰，使点G和点B在的两侧，若，，则的最小值为________，当点F从点B移动到点C时，点G运动的路径长为________． 【答案】 【分析】过作于，于，则四边形是矩形，证明，得出，即可得点在的角平分线上运动，则当时，最小，求出此时的长即可；根据题意得出当点F从点B移动到点C时，点G运动的路径长为，如图，当点F与点B重合时，，根据直角三角形的性质得出；当点F与点C重合时，，延长交于点，则四边形是矩形，，证明，得出，设，则，求出，则，延长交于点，则四边形是矩形，求出，再根据勾股定理得出，即可解答​． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵为中点， ∴， 过作于，于， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，，且与在两侧， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，点到的距离等于点到的距离， ∴点在的角平分线上运动， 当时，最小， 此时， ∴； ∵点在的角平分线上运动，当点F与点B重合时，点位于点，当点F与点C重合时，点位于点， ∴当点F从点B移动到点C时，点G运动的路径长为， 如图，当点F与点B重合时，， ∴； 当点F与点C重合时，， 延长交于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 延长交于点， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点运动的路径长为​． 68．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，是边上一点，且，过点作分别交，，于点，，，若为上任意一点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据，得到，进而得出点A和点H关于对称，从而确定，其最小值为线段长，根据勾股定理求出最小值． 【详解】解：设，则， 过点E作，连接，连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， 又∵， 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴点M与点H重合，即点H与点A关于直线对称， ∴， 当点P在与的交点时，最小，最小值为线段长， 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $