第十九章 二次根式（9种题型）期末复习讲义 2025--2026学年人教版数学 八年级下册

第十九章 二次根式 一、二次根式的概念与有意义条件 1.定义：形如 （）的式子叫做二次根式，“”是二次根号，. 2.有意义条件：在实数范围内有意义⟺ . 3.双重非负性： 且 （两个非负同时成立）; 二、二次根式的核心性质 （）; 三、最简二次根式（化简标准） 1.被开方数不含 （分母中无根号）; 2.被开方数中不含 的因数/因式. 四、二次根式的运算 1. 乘除运算（法则+化简） 乘法法则: （,b≥0）; 系数相乘：（,b≥0）; 除法法则: （,b>0）; 系数相除：（,） 分母有理化（去分母根号）:，. 2. 加减运算（核心：先化简，再合并同类二次根式） 同类二次根式:几个二次根式化为最简后，被开方数 ，就是同类二次根式. 加减步骤: 1.把每个二次根式化为 ; 2.合并 （系数相加减，根号及被开方数不变）; 3.非同类二次根式不能合并，直接保留. 3. 混合运算顺序 先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内；运算律（交换、结合、分配）同样适用. 一、概念与有意义条件易错 1.只看根号，不看被开方数：看到就默认是二次根式，忽略必须满足; 2.分母带二次根式时漏条件：如有意义，易错写成，正确是（分母≠0）; 3.双重非负性不会用：≥0 且，遇到+∣b∣=0 只让一个为0，正确是都为0. 二、性质应用高频易错 1.混淆 ()2 与；（）;（必须加绝对值）. 2.乱用积、商的性质：只在,b≥0 时成立; 3.开方时漏系数、漏因式. 三、混合运算与符号易错 1.去括号时符号错; 2.运算顺序乱：先乘除后加减，有括号先括号，易错从左到右乱算; 3.结果不化最简：. 一、判断有意义：三步取值法 1.根号里整体≥ 0; 2.分母≠ 0; 3.多个条件同时满足，取交集. 二、非负数模型：0+0=0套路 适用：+∣b∣+c2=0，万能技巧：每一部分都必须等于0，直接列方程求解. 三、最简二次根式：固定三步走 1.被开方数不含分母; 2.分母不含根号; 3.被开方数不含能开尽方的因数. 技巧：能开出去的全部开到根号外面，别留在里面. 四、二次根式加减：同类合并法 核心只有一句话：先化成最简，再合并同类二次根式。 技巧：不是同类根式坚决不合并. 五、混合运算顺序 先乘方→再乘除→最后加减:有括号先算括号，能用分配律就用分配律简化. 题型一 二次根式有意义的条件 1．（2026·四川绵阳·二模）当分式有意义时，x的取值应满足（     ） A． B． C． D．且 2．（2026·江西南昌·模拟预测）任写一个使二次根式无意义的值______． 3．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）若式子有意义，则x的取值范围为________． 4．（25-26八年级下·四川广元·期中）若，则x应满足的条件为（　　） A． B． C． D． 题型二 利用二次根式的性质化简 5．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·广东珠海·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 7．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，化简（      ）． A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 题型三 二次根式乘除混合运算 9．（25-26八年级下·山西朔州·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）计算： 11．（24-25八年级下·全国·单元测试）运算能力计算： (1)； (2)． 12．（25-26八年级下·江苏·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 题型四 最简、同类二次根式 13．（25-26八年级下·北京·期中）下列二次根式，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 15．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 题型五 二次根式混合运算 17．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算： (1) (2) 18．（25-26八年级下·北京·期中）计算 (1)； (2) 19．（25-26八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 20．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）计算： (1)． (2) 题型六 分母有理化 21．（25-26八年级下·浙江金华·期中）化简：_______． 22．（25-26八年级下·新疆哈密·期中）已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）材料阅读题：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：；． 观察上面解题过程，并回答下列问题： (1)________； (2)若a是的小数部分，化简； (3)利用上面的解法，请化简：． 24．（25-26八年级下·广东珠海·期中）阅读下列材料： ；；； 请回答下列问题： (1)计算： ＝ ； (2)若n为正整数，请你猜想 ＝ ； (3)请化简： 题型七 化简求值 25．（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 26．（25-26八年级下·甘肃定西·期中）求当，时，代数式的值． 27．（25-26八年级下·北京·期中） 已知，． (1)求的值； (2)求的值． 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则_________． 题型八 比较二次根式大小 29．（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 30．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）比较大小：________． 31．（25-26八年级下·广东广州·期中）比较大小：_______，_______2，_______． 32．（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期中）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：． 例2：，… (1)化简：_________． (2)观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子_________； (3)利用这一规律计算：． (4)利用上面的结论，不要计算近似值，比较与的大小（直接写出答案） 题型九 二次根式的应用 33．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 34．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，将矩形木板裁剪出甲，乙，丙三块正方形板材，已知甲面积是丙面积的倍． (1)若甲，乙面积分别为，，求的长； (2)若阴影部分①的面积为，求阴影部分②的面积． 35．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ； ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长． 36．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章 二次根式 一、二次根式的概念与有意义条件 1.定义：形如（）的式子叫做二次根式，“”是二次根号，. 2.有意义条件：在实数范围内有意义⟺ 被开方数. 3.双重非负性：≥0且（两个非负同时成立）; 二、二次根式的核心性质 （）;; 三、最简二次根式（化简标准） 1.被开方数不含分母（分母中无根号）; 2.被开方数中不含能开得尽方的因数/因式. 四、二次根式的运算 1. 乘除运算（法则+化简） 乘法法则:（,b≥0）; 系数相乘：（,b≥0）; 除法法则:（,b>0）; 系数相除：（,） 分母有理化（去分母根号）:，. 2. 加减运算（核心：先化简，再合并同类二次根式） 同类二次根式:几个二次根式化为最简后，被开方数相同，就是同类二次根式. 加减步骤: 1.把每个二次根式化为最简二次根式; 2.合并同类二次根式（系数相加减，根号及被开方数不变）; 3.非同类二次根式不能合并，直接保留. 3. 混合运算顺序 先乘方、再乘除、最后加减；有括号先算括号内；运算律（交换、结合、分配）同样适用. 一、概念与有意义条件易错 1.只看根号，不看被开方数：看到就默认是二次根式，忽略必须满足; 2.分母带二次根式时漏条件：如有意义，易错写成，正确是（分母≠0）; 3.双重非负性不会用：≥0 且，遇到+∣b∣=0 只让一个为0，正确是都为0. 二、性质应用高频易错 1.混淆 ()2 与；（）;（必须加绝对值）. 2.乱用积、商的性质：只在,b≥0 时成立; 3.开方时漏系数、漏因式. 三、混合运算与符号易错 1.去括号时符号错; 2.运算顺序乱：先乘除后加减，有括号先括号，易错从左到右乱算; 3.结果不化最简：. 一、判断有意义：三步取值法 1.根号里整体≥ 0; 2.分母≠ 0; 3.多个条件同时满足，取交集. 二、非负数模型：0+0=0套路 适用：+∣b∣+c2=0，万能技巧：每一部分都必须等于0，直接列方程求解. 三、最简二次根式：固定三步走 1.被开方数不含分母; 2.分母不含根号; 3.被开方数不含能开尽方的因数. 技巧：能开出去的全部开到根号外面，别留在里面. 四、二次根式加减：同类合并法 核心只有一句话：先化成最简，再合并同类二次根式。 技巧：不是同类根式坚决不合并. 五、混合运算顺序 先乘方→再乘除→最后加减:有括号先算括号，能用分配律就用分配律简化. 题型一 二次根式有意义的条件 1．（2026·四川绵阳·二模）当分式有意义时，x的取值应满足（     ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】分式有意义要求分母不为0，二次根式有意义要求被开方数为非负数，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，且， 解得 ∴分式有意义时，x的取值应满足． 2．（2026·江西南昌·模拟预测）任写一个使二次根式无意义的值______． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：二次根式无意义， ， 解得， 故可取（答案不唯一，满足即可）， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）若式子有意义，则x的取值范围为________． 【答案】且 【分析】根据，分式的分母不等于0，二次根式的被开方数是非负数求解即可. 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， ∴且. 4．（25-26八年级下·四川广元·期中）若，则x应满足的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得：， ∴． 题型二 利用二次根式的性质化简 5．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可得，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ 6．（25-26八年级下·广东珠海·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】0 【分析】根据数轴可得，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图得， ∴， 则． 7．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，化简（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上实数的大小关系，不等式的性质，绝对值的化简和二次根式的性质． 根据实数在数轴上的位置得到的取值范围，根据不等式的性质得到，进而根据绝对值和二次根式的运算法则计算后得到答案． 【详解】解：由实数在数轴上的位置可知，，，， ， 原式． 8．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】 【分析】由数轴可知：，得到，进而化简代数式即可. 【详解】解：由数轴可知：， ∴ ∴原式 . 题型三 二次根式乘除混合运算 9．（25-26八年级下·山西朔州·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式乘除法则，按照同级运算从左到右的顺序计算，最后化简即可得到结果． 【详解】解： ． 10．（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）计算： 【答案】 【详解】解： 原式 ． 11．（24-25八年级下·全国·单元测试）运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．（25-26八年级下·江苏·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （2）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （3）先把带分数化为假分数，把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． （4）先把除法化为乘法，化为最简二次根式，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 题型四 最简、同类二次根式 13．（25-26八年级下·北京·期中）下列二次根式，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式的定义为化简后被开方数相同的二次根式，只需将各选项化简，判断被开方数是否为3即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误； 对于选项B：与不是同类二次根式，不能合并，故B错误； 对于选项C：是整数，与不是同类二次根式，不能合并，故C错误； 对于选项D：，与是同类二次根式，能合并，故D正确． 14．（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】先化简，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式能与合并， ∴． 15．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义，能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能够合并 ∴， 解得． 16．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴． 题型五 二次根式混合运算 17．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)5 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（25-26八年级下·北京·期中）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式     ． （2）解：原式 ． 19．（25-26八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式除法法则计算； （2）先利用平方差与完全平方公式展开，再利用二次根式的运算法则计算． 【详解】（1）解： （2）解： 题型六 分母有理化 21．（25-26八年级下·浙江金华·期中）化简：_______． 【答案】 【分析】直接进行分母有理化运算即可． 【详解】解：． 22．（25-26八年级下·新疆哈密·期中）已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行分母有理化化简，再对比化简后与的关系即可. 【详解】解：. 23．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）材料阅读题：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：；． 观察上面解题过程，并回答下列问题： (1)________； (2)若a是的小数部分，化简； (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1) (2) (3)22 【分析】（1）根据分母有理化化简即可解答； （2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可； （3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴， ∴； （3）解： 24．（25-26八年级下·广东珠海·期中）阅读下列材料： ；；； 请回答下列问题： (1)计算： ＝ ； (2)若n为正整数，请你猜想 ＝ ； (3)请化简： 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 题型七 化简求值 25．（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出，再利用完全平方公式对所求代数式因式分解，代入的值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 26．（25-26八年级下·甘肃定西·期中）求当，时，代数式的值． 【答案】33 【分析】先求出的值，再将变形为求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ． 27．（25-26八年级下·北京·期中） 已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)14 (2) 【分析】（1）由已知条件可得，再利用完全平方公式变形求解即可； （2）由已知条件可得，再根据异分母分式加减运算、因式分解变形，最后将相关条件代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对所求代数式变形，得到，结合已知条件求出平方后的结果，最后开方取正根即可得到答案． 【详解】解： 将代入得： ， ∵， ∴． 题型八 比较二次根式大小 29．（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大． 【详解】解： ， ，，， ∵， ∴． 30．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）比较大小：________． 【答案】＞ 【分析】因为 ，，所以，，从而得到． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 31．（25-26八年级下·广东广州·期中）比较大小：_______，_______2，_______． 【答案】 < < > 【分析】实数的大小比较方法： 比较带二次根号的正数，可通过比较被开方数的大小判断结果；比较两个负数，先比较两个数的绝对值，再根据负数大小比较法则判断． 【详解】解：①比较和， ， ； ②比较和， ， ，即； ③比较和， ，， ， ，即， ． 32．（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期中）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：． 例2：，… (1)化简：_________． (2)观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子_________； (3)利用这一规律计算：． (4)利用上面的结论，不要计算近似值，比较与的大小（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）根据给出的例题方法进行分母有理化，可得到化简结果和规律． （3）先利用规律对各项化简，通过抵消中间项得到最简结果，再用平方差公式计算． （4）利用得到的规律将两个差转化为分子为1的分式，再通过比较分母大小判断原式大小． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解：根据规律可得 ． 题型九 二次根式的应用 33．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】通过正方形的面积求出边长为，根据图形之间的联系求出空白小正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积是75， ∴， ∵， ∴， ∴空白小正方形的边长， ∴这个小正方形的面积为． 34．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，将矩形木板裁剪出甲，乙，丙三块正方形板材，已知甲面积是丙面积的倍． (1)若甲，乙面积分别为，，求的长； (2)若阴影部分①的面积为，求阴影部分②的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由正方形甲的面积为，正方形乙的面积为可得正方形边长，进一步求解即可． （2）设正方形丙的边长为．求出正方形甲的边长为，得到，进一步可得，设正方形乙的边长为，得到，进而推导出，则阴影部分②的面积，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，正方形甲的面积为，正方形乙的面积为， ∴正方形甲的边长为，正方形乙的边长为， 由图可知，的长等于正方形乙的边长与正方形甲的边长之和， ． （2）解：如图：设正方形丙的边长为． ∵甲的面积是丙面积的倍， ∴正方形甲的边长为， ， ∵阴影部分①的面积为，且， ， 设正方形乙的边长为， 由图可知，， ， 阴影部分②的面积． 35．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ； ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长． 【答案】(1) (2)9 (3)米 【分析】（1）将被开方数凑成的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答； （3）先求出新正方形花圃ABCD的面积为，则边长为，再仿照范例解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：由题意可得：， 所以新正方形花圃的边长为， 米． 36．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)阴影部分的长为，宽为，面积为6 (3)不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．理由见解析 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合正方形的面积即可计算正方形纸片A的边长，正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答； （2）先找出图①中阴影部分的长和宽，再结合面积公式列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，裁出的正方形纸片A的边长为； 裁出的正方形纸片B的边长为， 则原长方形纸片的长为，宽为， ∴周长为. （2）解：阴影部分的长正方形纸片A的边长， 即阴影部分的长为， 宽为 ∴阴影部分的宽为， ∴阴影部分的面积． （3）解：不能裁出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 学科网（北京）股份有限公司 $