第二十章 勾股定理（8种题型）期末复习讲义 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章 勾股定理 一、核心定理：勾股定理 1. 内容: 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90∘，直角边a、b，斜边c，则：a2+b2=c2 2. 公式变形（求边）: 求斜边：​; 求直角边：，. 3. 前提与注意: · 仅适用于直角三角形，非直角三角形不成立; · 必须分清直角边、斜边；未明确直角时，需分类讨论（谁是斜边）. 二、逆定理：勾股定理的逆定理 1. 内容: 文字表述：若三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，且‘“c所对的角为直角”. 2. 作用: 判定三角形是否为直角三角形（边的判定法，替代 “有一个角是90°”）. 3. 互逆命题/互逆定理: 互逆命题：题设、结论互换的两个命题（原命题↔逆命题）; 互逆定理：原命题、逆命题均为真命题，互为逆定理（勾股定理↔逆定理）. 三、核心概念：勾股数 1. 定义: 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 2. 常见勾股数（必记）: 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17)、(9,40,41); 规律：勾股数的正整数倍仍是勾股数（如6,8,10；10,24,26）. 四、重要应用（题型/场景） 1. 几何计算: 已知直角三角形两边，求第三边（直接套公式）; 求斜边上的高：（面积法：）; 折叠问题：折叠后全等，设未知数，列勾股方程求解; 2. 实际应用: 距离/高度：梯子靠墙、航海、旗杆高度、两点最短距离; 判定直角：工程、测量中判断是否垂直（如地基、支架）. 3. 最短路径（立体展开）: 长方体/正方体表面最短路径：将立体展开为平面，构造直角三角形，用勾股定理求线段长（蚂蚁爬行问题）. 1.非直角三角形误用a2+b2=c2（必须先证直角）； 2.混淆直角边与斜边，未分类讨论导致漏解； 3.勾股数必须是正整数，小数/分数不叫勾股数； 4.逆定理中，c是最长边，对应直角，不可随便指定. 1. 用定理：先找直角 · 看见Rt△ →直接写：a2+b2=c2 · 没标直角：先判断谁是斜边（最长边） 2. 求边长三句口诀 · 已知两直角边：; · 已知斜边和一直角边：，； · 求高：面积法. 3. 判定直角（逆定理） · 算三边：短² +中² =长² →直角△; · 长² > 短²+中² →钝角△; · 长² < 短²+中² →锐角△. 4. 设未知数技巧（折叠题必用） · 设一条边为x，用全等/线段和差表示其他边; · 列方程：直角12 +直角22 =斜边2. 5. 立体最短路径 · 展开成平面→画直角三角形→算斜边; · 长方体：长、宽、高两两相加做直角边. 题型一 用勾股定理解三角形 1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）直角三角形的两条直角边长分别为8和15，则斜边长为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【详解】解：∵直角三角形两条直角边长分别为8和15， ∴斜边长为． 2．（25-26八年级下·北京西城·期中）一直角三角形的两条边长为3和5，则第三条边长是（     ） A．4 B． C． D．4或 【答案】D 【分析】题目未说明已知边长中哪条边是斜边，需分两种情况，利用勾股定理计算第三边长，再判断选项． 【详解】解：∵该三角形为直角三角形，已知两边长为3和5，未明确斜边， ∴分两种情况计算第三边长； 当5为斜边长，3为直角边长时，第三边长为 ； 当3和5均为直角边长时，第三边长即斜边长为； ∴第三条边是或 3．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点性质求出直角边的长度，再在直角三角形中用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形。 ∵点是的中点，， ∴， 根据勾股定理，在中：， 代入，得， ∴的长为． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若，，则点到点的距离是（     ） A． B．2.5 C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，由线段垂直平分线的性质得到，由勾股定理求出，得到，由勾股定理得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， 设， 垂直平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 点到点的距离是． 题型二 勾股定理与折叠问题 5．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与B重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为折叠后点与点重合，可得．设的长为，那么．在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵折叠后点与点重合， ∴． 设， ∵， ∴ ， ∴． 在中，，， 根据勾股定理，代入得： ， 解得 ， ∴的长为． 6．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 7．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， . 8．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据折叠的性质可知，设，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵折叠使点与点重合， ∴， 设，则， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 题型三 判断能否构成三角形 9．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理与三角形三边关系，先验证三边能否构成三角形，再对能构成三角形的验证两小边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断是否能构成直角三角形． 【详解】解：对于选项A，，，，不能构成直角三角形，A错误； 对于选项B，，满足勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，B正确； 对于选项C，三边长为，，，，不满足三角形三边关系，不能构成直角三角形，C错误； 对于选项D，，，，不能构成直角三角形，D错误． 10．（25-26八年级下·吉林·期中）以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B． C． D．2，2，3 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理判断，若三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，逐一验证即可得到结果． 【详解】解：A、， ∴ 不能构成直角三角形； B、 ， ∴ 不能构成直角三角形； C、 ， ，能构成直角三角形，符合题意； D、 ， ∴不能构成直角三角形． 11．（25-26八年级下·广东东莞·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．6，8，10 B．7，24，25 C．，， D．2，3，4 【答案】D 【分析】本题根据勾股定理的逆定理判断，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，否则不是，找出不满足该关系的选项即可． 【详解】解：选项A，，满足勾股定理的逆定理，可以作为直角三角形三边长； 选项B，，满足勾股定理的逆定理，可以作为直角三角形三边长； 选项C，，满足勾股定理的逆定理，可以作为直角三角形三边长； 选项D，，，可得，不满足勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长．【点睛】 12．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）已知，在中，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一判断各选项，即可得出结论． 【详解】解：对选项A，∵ ， ∴ ，符合勾股定理的逆定理，能判定是直角三角形，不符合要求； 对选项B，∵ ，三角形内角和为， ∴ 最大角，能判定是直角三角形，不符合要求； 对选项C，∵ ，且， ∴ ，即，能判定是直角三角形，不符合要求； 对选项D，∵ ，计算得，， ∴ ，不符合勾股定理的逆定理，不能判定是直角三角形，符合要求． 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积 13．（25-26八年级下·云南昭通·期中）如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，中间形成一个直角三角形．已知其中两个正方形的面积分别为144，225，那么正方形A的面积是（    ） A．225 B．144 C．81 D．369 【答案】C 【详解】解：正方形A的边是直角边，它的面积等于边长的平方，根据勾股定理，可知． 14．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（） A．18 B．19 C．26 D．34 【答案】A 【分析】连接对角线。因为和，所以和都是直角三角形，且它们共用斜边，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。利用这个定理，我们可以找到与四边形各边平方的关系，进而求出。 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意，，，， 在中，，根据勾股定理有： ∴ 在中，，根据勾股定理有： ∴ ∴ ∴ 15．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理和半圆面积公式化简，再结合的条件，通过代数变形推导出两直角边相等即可． 【详解】解：在中，设，，， ∵，由勾股定理可得，则， 则 ， ， ∴，，即，则， ∴，则，即， ∴． 16．（25-26八年级下·江西赣州·期中）已知如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理可知，根据等腰直角三角形的性质可知，，，根据三角形的面积公式可知，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：在中，， ， ， 、、均为等腰直角三角形， ，，， ，，， ． 题型五 勾股定理与无理数 17．（25-26八年级下·北京·期中）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则可得点P表示的数． 【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度， 以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P， 所以数轴上的点P表示的数为：． 18．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴ 点表示的数． 19．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，点，，在数轴上表示的数分别为，，．过点作线段，且，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为点，，在数轴上表示的数分别为，，， 所以， 因为，所以， 所以， 因为在数轴上表示的数为， 所以在数轴上表示的数为． 20．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，已知到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得：，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴由图知，数轴上C点所表示的数为：． 题型六 勾股定理的实际应用 21．（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（   ）m A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形；将两棵树的高度差和两树距离作为直角边，利用勾股定理求出斜边即为小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：如图，设较高的树为，较矮的树为，两树相距，过点作于点，则四边形为矩形， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 小鸟至少要飞行． 故选：． 22．（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 【答案】12尺 【分析】根据题意可得芦苇长度，设水的深度为尺，然后在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，点是的中点， ∴尺， 设水的深度为尺， ∵尺，， ∴尺， ∵， ∴尺， ∵在中，根据勾股定理可得：， ∴，整理得：，解得：， ∴尺． 23．（25-26八年级下·天津静海·期中）如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为． (1)求梯子底端与地面的距离的长； (2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端向后滑动了多少米？请通过计算解答． 【答案】(1)； (2)米． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， 答：梯子底端与地面的距离的长为； （2）解：由题意可知，梯子的顶端下滑了到达点，则， 在中，， ， 答：梯子的底端向后滑动了米． 24．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港C受台风影响， 理由如下：过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港C受台风影响； (3)海港C受台风影响的时间会持续． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）略 （3）解：如图，当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， ， 答：海港C受台风影响的时间会持续． 题型七 立体图形中的最短路径问题 25．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）如图，圆柱玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下端A处有一只蚂蚁．在蚂蚁正对面容器内上底点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离是________． 【答案】/厘米 【分析】根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：圆柱体侧面展开图如下： ∵底面周长为， ∴， ∵圆柱玻璃容器高， ∴， 在中，， ∴蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为． 26．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 27．（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，长方体的长，宽，高，点 M 在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况，结合勾股定理计算，并比较大小即可得出结果． 【详解】解：分三种情况： 如图①，蚂蚁爬行的最短路线为， 此时； 如图②，蚂蚁爬行的最短路线为， 此时； 如图③，蚂蚁爬行的最短路线为， 此时； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是． 28．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，圆柱形水桶的桶高为，底面周长为，在桶内壁离桶底的点A处有一滴污渍，此时，一只小虫正好在桶外壁上，它在离桶上沿，且与污渍A在同一轴截面相对的点B处，则小虫从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（桶壁厚度不计）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将水桶侧面展开，作B关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 将水桶侧面展开，作B关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 由题意得：，， ∴， ∵底面周长为， ∴， ∴， 所以，小虫从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为． 题型八 勾股定理及逆定理的综合应用 29．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． (1)求点到点的距离； (2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 【答案】(1) (2)这个零件合格． 【分析】（1）根据勾股定理列式计算，即可作答． （2）先分别算出得出，满足勾股逆定理，得出是直角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，，． ∴ （2）解：这个零件是合格的，理由如下： 由（1）得， ∵，， ∴ 即 ∴是直角三角形， ∴这个零件是合格的． 30．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵，，， ∴． ∴是直角三角形， ∴； (2)解：海港C受台风影响．理由如下： 如图，过点C作于D． ∵， ∴． ∵， ∴海港C受到台风影响． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）过点C作于D．根据直角三角形的面积，可得，即可求解． 【详解】（1）略； （2）略． 31．（25-26八年级下·云南昭通·期中）为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳动、认识劳动，从而培养尊重劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如图所示的四边形土地．经测量，，，，，，请计算该四边形土地的面积． 【答案】该四边形土地的面积为． 【分析】连接，则为直角三角形，为斜边，通过勾股定理求，根据判定为直角三角形，根据直角三角形面积计算可以计算该菜地的面积． 【详解】解：连接， ， 为直角三角形， 在中，，， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， 答：该四边形土地的面积为． 32．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米． (1)求证：； (2)已知新的取水点H与原取水点A相距千米，求新路比原路少多少千米． 【答案】(1)见解析 (2)千米 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，则； （2）由（1）可知是直角三角形，再利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】（1）证明：千米，千米，千米， ，． ． 是直角三角形． ，H，B在同一条直线上， ． （2）解：由（1）知， ． （千米）． （千米）． 答：新路比原路少千米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理 一、核心定理：勾股定理 1. 内容: 文字表述：直角三角形两直角边的 等于斜边的 . 符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90∘，直角边a、b，斜边c，则： 2. 公式变形（求边）: 求斜边： ; 求直角边： ， . 3. 前提与注意: · 仅适用于直角三角形，非直角三角形不成立; · 必须分清直角边、斜边；未明确直角时，需分类讨论（谁是斜边）. 二、逆定理：勾股定理的逆定理 1. 内容: 文字表述：若三角形三边长a,b,c满足 ，则这个三角形是 三角形，且‘“c所对的角为直角”. 2. 作用: 判定三角形是否为直角三角形（边的判定法，替代 “有一个角是90°”）. 3. 互逆命题/互逆定理: 互逆命题：题设、结论互换的两个命题（原命题↔逆命题）; 互逆定理：原命题、逆命题均为真命题，互为逆定理（勾股定理↔逆定理）. 三、核心概念：勾股数 1. 定义: 满足a2+b2=c2的三个 ，称为勾股数. 2. 常见勾股数（必记）: 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17)、(9,40,41); 规律：勾股数的正整数倍仍是勾股数（如6,8,10；10,24,26）. 四、重要应用（题型/场景） 1. 几何计算: 已知直角三角形两边，求第三边（直接套公式）; 求斜边上的高：（面积法：）; 折叠问题：折叠后全等，设未知数，列勾股方程求解; 2. 实际应用: 距离/高度：梯子靠墙、航海、旗杆高度、两点最短距离; 判定直角：工程、测量中判断是否垂直（如地基、支架）. 3. 最短路径（立体展开）: 长方体/正方体表面最短路径：将立体展开为平面，构造直角三角形，用勾股定理求线段长（蚂蚁爬行问题）. 1.非直角三角形误用a2+b2=c2（必须先证直角）； 2.混淆直角边与斜边，未分类讨论导致漏解； 3.勾股数必须是正整数，小数/分数不叫勾股数； 4.逆定理中，c是最长边，对应直角，不可随便指定. 1. 用定理：先找直角 · 看见Rt△ →直接写：a2+b2=c2 · 没标直角：先判断谁是斜边（最长边） 2. 求边长三句口诀 · 已知两直角边：; · 已知斜边和一直角边：，； · 求高：面积法. 3. 判定直角（逆定理） · 算三边：短² +中² =长² →直角△; · 长² > 短²+中² →钝角△; · 长² < 短²+中² →锐角△. 4. 设未知数技巧（折叠题必用） · 设一条边为x，用全等/线段和差表示其他边; · 列方程：直角12 +直角22 =斜边2. 5. 立体最短路径 · 展开成平面→画直角三角形→算斜边; · 长方体：长、宽、高两两相加做直角边. 题型一 用勾股定理解三角形 1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）直角三角形的两条直角边长分别为8和15，则斜边长为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．（25-26八年级下·北京西城·期中）一直角三角形的两条边长为3和5，则第三条边长是（     ） A．4 B． C． D．4或 3．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．若，，则点到点的距离是（     ） A． B．2.5 C． D． 题型二 勾股定理与折叠问题 5．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与B重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 7．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片折叠，使C点与A点重合，则的长是（     ） A．5 B． C． D． 题型三 判断能否构成三角形 9．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（25-26八年级下·吉林·期中）以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B． C． D．2，2，3 11．（25-26八年级下·广东东莞·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．6，8，10 B．7，24，25 C．，， D．2，3，4 12．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）已知，在中，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积 13．（25-26八年级下·云南昭通·期中）如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，中间形成一个直角三角形．已知其中两个正方形的面积分别为144，225，那么正方形A的面积是（    ） A．225 B．144 C．81 D．369 14．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（） A．18 B．19 C．26 D．34 15．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级下·江西赣州·期中）已知如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型五 勾股定理与无理数 17．（25-26八年级下·北京·期中）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）． A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，点，，在数轴上表示的数分别为，，．过点作线段，且，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，已知到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 题型六 勾股定理的实际应用 21．（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（   ）m A． B． C． D． 22．（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 23．（25-26八年级下·天津静海·期中）如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为． (1)求梯子底端与地面的距离的长； (2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端向后滑动了多少米？请通过计算解答． 24．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 题型七 立体图形中的最短路径问题 25．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）如图，圆柱玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下端A处有一只蚂蚁．在蚂蚁正对面容器内上底点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离是________． 26．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 27．（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，长方体的长，宽，高，点 M 在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，圆柱形水桶的桶高为，底面周长为，在桶内壁离桶底的点A处有一滴污渍，此时，一只小虫正好在桶外壁上，它在离桶上沿，且与污渍A在同一轴截面相对的点B处，则小虫从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（桶壁厚度不计）（    ） A． B． C． D． 题型八 勾股定理及逆定理的综合应用 29．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． (1)求点到点的距离； (2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 30．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ 31．（25-26八年级下·云南昭通·期中）为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳动、认识劳动，从而培养尊重劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如图所示的四边形土地．经测量，，，，，，请计算该四边形土地的面积． 32．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米． (1)求证：； (2)已知新的取水点H与原取水点A相距千米，求新路比原路少多少千米． 学科网（北京）股份有限公司 $