第29讲空间几何体的结构、表面积与体积（知识清单+6典例精讲+6方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦空间几何体专题，覆盖结构特征、直观图、表面积与体积等核心考点，按多面体到旋转体的逻辑梳理知识清单，通过典例精讲、方法技巧总结、分层训练（基础/拔高/错题）的教学流程，帮助学生系统突破高考高频难点。 讲义创新设计“秒杀法”“公式法”等解题大招，如斜二测直观图面积换算口诀，培养学生数学思维与运算能力。真题模拟题结合分层练习，精准对接高考题型，助力学生高效提升空间观念与应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第29讲空间几何体的结构、表面积与体积 （知识清单+6典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 空间几何体结构辨析，棱柱、棱台定义与性质 单选/多选/填空题 5分/6分 球的表面积与体积公式，外接球基础计算 单选/填空题 5分 斜二测直观图面积换算，平面图形与直观图转化 单选/填空题 5分 组合体表面积与体积计算，圆柱+半球拼接 单选/填空题/解答题 5分/12分 【知识点01】空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 【例1】下列命题正确的是（） ① 棱台的上下底面一定相似；② 正棱柱一定是直棱柱；③ 圆锥的母线长等于底面圆直径。 【知识点02】直观图 (1)画法：常用斜二测画法. (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°或135°. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半. 【例2】已知一个水平放置的平面图形直观图是边长为2的正方形，求原平面图形的面积。 【知识点03】圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r1+r2)l 【例3】已知圆锥底面半径，母线长，求圆锥侧面积与侧面展开图圆心角。 【知识点04】柱、锥、台、球的表面积和体积 　　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 S表=S侧+2S底 V=Sh 锥体 S表=S侧+S底 V=Sh 台体 S表=S侧+S上+S下 V=(S上+S下 +)h 球 S表=4πR2 V=πR3 【例4】圆锥底面半径，高，求表面积与体积。 【题型一】空间几何体的结构 【例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台的高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（    ） A． B．2 C． D． 【变式1】（2025·云南昆明·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．四棱柱的所有面均为平行四边形 B．球面上四个不同的点一定不在同一平面内 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．在正方体的所有顶点中取4个点，则由这4个顶点可以构成三个面是直角三角形，一个面是等边三角形的四面体 【变式2】（多选）（2026·四川广安·二模）下列几何体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为0.99m的球体 B．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体 C．底面直径为0.8m，高为1.1m的圆锥体 D．所有棱长均为1.4m的四面体 【变式3】（2025·河北·模拟预测）半球形容器内放有三个半径均为1的玻璃球，三球两两相切且均与容器内壁和容器沿口所在平面相切，则半球形容器的半径为________. 【题型二】空间几何体的三视图和直观图 【例2】（2025·河南·三模）某公司研发的一不规则益智玩具如下图所示，其配套的玩具收纳箱表面有不同形状的孔洞，可以通过旋转严丝合缝地将玩具通过孔洞塞进收纳箱中，则以下四个形状的孔洞不会出现在该玩具收纳箱的表面的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式1】（2024·湖北·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴， 轴， ，那么（    ） A． B．2 C． D．4 【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____________. 【变式3】（2026·山东·一模）水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于___________． 【题型三】柱、锥、台的表面积 【例3】（2026·河南濮阳·模拟预测）若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【例4】（2026·广东·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，高为5，一个圆柱内接于该圆锥，其下底面位于圆锥的底面上，上底面圆周落在圆锥的侧面上，则该圆柱表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例5】正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2，则该四棱锥的表面积为______________． 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在正三棱柱中，为上一点，，，平面将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（    ）    A． B． C．8 D．9 【变式2】（2024·安徽池州·模拟预测）如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可抽象成一个正四棱台．现有一个上、下底面边长分别为和的“升”，侧棱长为，要做成一个该“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为_________． 【变式3】（2026·浙江金华·三模）已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为______． 【题型四】柱、锥、台的体积 【例6】（2026·江苏·三模）在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（ ） A．4∶5 B．5∶7 C．10∶17 D．8∶19 【例7】（2026·河北张家口·二模）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周与正方形的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【例8】（2026·甘肃兰州·模拟预测）在正四棱台中，，该正四棱台的侧面积为，则该正四棱台的体积为____________． 【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则余下部分的体积与所截出棱锥的体积的比值是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【变式2】（2026·福建漳州·三模）已知圆台的上底面和下底面的半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为___________． 【变式3】（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则此圆锥的体积为___． 【题型五】球的体积和表面积 【例9】（2026·重庆江北·模拟预测）已知球的半径为R，圆锥的底面半径也为R，母线长为2R，则球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江西宜春·模拟预测）若球与球的体积之比为，表面积之比为，且棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2025·河北张家口·一模）已知球O的表面积为，点P，A，B，C均在球面上，且，，，则（   ） A．球O的半径为2 B．平面截球面所得小圆的面积为 C．点到平面的距离为 D．球体挖去四面体后余下部分的体积为 【变式3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知轴截面为等边三角形的圆锥的体积与球的体积的比值是，则该圆锥的底面半径与球的半径的比值为______． 【题型六】组合体的表面积和体积 【例10】已知某简单组合体的三视图如图所示，则其表面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2026·云南·模拟预测）太空舱储液罐从早期的金属贮箱逐渐发展成不锈钢复用贮箱，从铝合金到碳纤维复合材料，实现减重30%～50%．太空舱储液罐由一个圆柱和两个半球构成（如图所示），已知圆柱的高是底面外圈半径的8倍，若球外圈半径为4m，内部容积为，则它使用材料的体积（近似为3）为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，正四棱锥底面边长和高均为，分别是其所在棱的中点，则几何体的体积为______.    【变式3】（2025·宁夏银川·三模）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过34，则该塔形中正方体的个数至少是__________. 【解题大招01】几何体结构辨析秒杀法 核心解题技巧 1. 棱柱判定：两底平行全等+侧棱平行相等，仅有“两面平行、其余为平行四边形”不能判定棱柱； 2. 棱台判定：必须满足上下底相似平行+侧棱延长线交于一点，不交于一点为伪棱台，不能用台体公式； 3. 旋转体判定：严格区分旋转轴，直角三角形绕直角边旋转为圆锥，绕斜边旋转为双圆锥组合体。 【例1】下列命题正确的是（） ① 所有侧棱相等的棱柱是直棱柱；② 棱台的上下底面一定相似；③ 矩形绕任意一边旋转均可得到圆柱 【解题大招02】斜二测直观图面积换算公式法 核心技巧与微软公式 无需画图、无需找点换算，直接套用固定倍数关系，高考必考秒杀结论： 口诀：原图更大，直观缩小，倍数根二倍根号二 【例2】水平放置的平面图形直观图为等腰直角三角形，直角边长为2，求原图形面积。 【解题大招03】旋转体侧面展开图转化法（空间转平面） 核心解题原理 所有旋转体展开图问题，核心等量关系：几何体底面周长 = 展开图形弧长 核心秒杀公式 圆锥侧面展开圆心角： 其中：为底面半径，为圆锥母线长 【例3】已知圆锥底面半径，高，求侧面展开图圆心角和侧面积。 解析：1. 求母线长： 2. 侧面积计算： 3. 圆心角计算： 答案：侧面积，圆心角 【解题大招04】单一几何体表面积快速计算法 核心解题技巧 1. 区分母线与高：圆锥、圆台公式只用母线，绝对不能代入高； 2. 看清题意：有无底面、有无顶盖，题目求“侧面积”不加大底，求“表面积”全加； 3. 公式速记：柱体双面、锥体单面、球体无底面。 核心公式（微软标准） 圆柱： 圆锥： 球： 【例4】已知圆锥底面半径，母线，求圆锥全面积。 【解题大招05】几何体体积通用速算法 核心技巧口诀 柱体直接底乘高，锥体三分底乘高，台体三分之一和积开方，球体四三派R方 标准体积公式 柱体： 锥体： 台体： 球体： 【例5】正四棱锥底面边长为4，高为3，求体积。 【解题大招06】组合体拆分法 核心解题思路 1. 体积计算：整体拆分、直接相加，无损耗、无扣除； 2. 表面积计算：总表面积 = 各几何体表面积之和− 2倍重叠贴合面积（贴合两面均被遮挡）； 3. 解题步骤：先拆分、再算单个体积/面积、最后合并修正。 【例6】组合体由半球+同底圆柱拼接而成，底面半径，圆柱高，求组合体表面积与体积。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·浙江金华·二模）如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏泰州·模拟预测）正六棱柱的底面边长为6，高为4.若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点，正六棱柱下底面为底面的正六棱锥，则剩余部分几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西晋城·模拟预测）某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2026·云南红河·模拟预测）如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 三、填空题 5．（2026·河南·模拟预测）若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为__________． 6．（2026·上海静安·模拟预测）一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，得到的新圆柱的体积是_________． 四、解答题 7．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm. (1)求“浮球”的体积； (2)求“浮球”的表面积. 8.（2024·全国·模拟预测）已知在正四面体中，棱的中点分别为． (1)若，求的面积； (2)平面将正四面体划分成两部分，求这两部分的体积之比． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2024·山东·一模）某几何体的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的左视图可以是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖北十堰·模拟预测）将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体．则（   ） A．该几何体的体积为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的外接球半径为 D．该几何体有7个面 三、填空题 4．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是______． 四、解答题 5．如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等. (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积与表面积. 6.如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的中点，，垂足分别是D，H，G，将绕AD所在直线旋转． (1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V； (2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如），另外两条相对的侧棱交于一点（如）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（    ）    A． B． C． D． 2．（2026·江苏扬州·三模）一个棱长为6的正四面体状封闭玻璃容器（壁厚忽略不计）内装有少量液体．如图，当容器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为2，3，4．若将该容器放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为（     ）． （参考数据：，） A．0.1 B．0.2 C．0.5 D．0.6 二、多选题 3．（2026·辽宁沈阳·三模）如图，AC为圆锥SO底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为4 C．圆锥SO外接球的表面积为 D．若，为线段AB上的动点，则的最小值为 三、填空题 4．（2024·陕西·模拟预测）已知某四棱锥的三视图如图所示，若该四棱锥外接球的表面积为，则该四棱锥的体积为______． 四、解答题 5．如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米． (1)求该漏斗的表面积和体积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29讲空间几何体的结构、表面积与体积 （知识清单+6典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 空间几何体结构辨析，棱柱、棱台定义与性质 单选/多选/填空题 5分/6分 球的表面积与体积公式，外接球基础计算 单选/填空题 5分 斜二测直观图面积换算，平面图形与直观图转化 单选/填空题 5分 组合体表面积与体积计算，圆柱+半球拼接 单选/填空题/解答题 5分/12分 【知识点01】空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 【例1】下列命题正确的是（） ① 棱台的上下底面一定相似；② 正棱柱一定是直棱柱；③ 圆锥的母线长等于底面圆直径。 解析：① 正确：棱台由棱锥截取而成，上下底面相似； ② 正确：正棱柱定义为底面正多边形的直棱柱； ③ 错误：圆锥母线为侧面斜边，与底面直径无固定相等关系。 答案：①② 【知识点02】直观图 (1)画法：常用斜二测画法. (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°或135°. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半. 【例2】已知一个水平放置的平面图形直观图是边长为2的正方形，求原平面图形的面积。 解析：先求直观图面积： 代入换算公式： 答案： 【知识点03】圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r1+r2)l 【例3】已知圆锥底面半径，母线长，求圆锥侧面积与侧面展开图圆心角。 解析： 答案：侧面积，圆心角 【知识点04】柱、锥、台、球的表面积和体积 　　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 S表=S侧+2S底 V=Sh 锥体 S表=S侧+S底 V=Sh 台体 S表=S侧+S上+S下 V=(S上+S下 +)h 球 S表=4πR2 V=πR3 【例4】圆锥底面半径，高，求表面积与体积。 解析：母线长 答案：表面积，体积 【题型一】空间几何体的结构 【例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台的高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】如图，作出圆台的轴截面， 设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径是， 所以圆台的体积为，解得， 所以母线长是. 【变式1】（2025·云南昆明·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．四棱柱的所有面均为平行四边形 B．球面上四个不同的点一定不在同一平面内 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．在正方体的所有顶点中取4个点，则由这4个顶点可以构成三个面是直角三角形，一个面是等边三角形的四面体 【答案】D 【分析】结合棱柱的概念判断A，作球的截面，在截面圆的圆周上任取四点，判断B，根据圆台的母线的定义判断C，举例说明D正确. 【详解】对于A选项，四棱柱的底面不一定是平行四边形，A选项错误； 对于B选项，作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故B选项错误； 对于C选项，如图在圆台的上底面的圆周上取点，在下底面的圆周上取点，连接，则不是圆台的母线，    所以在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线，故C选项错误； 对于D选项，如图取正方体的顶点， 由这四个点构成四面体，设， 则，， 所以在四面体中， ，，均是直角三角形， 为等边三角形，故D选项正确．    故选：D 【变式2】（多选）（2026·四川广安·二模）下列几何体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ） A．直径为0.99m的球体 B．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体 C．底面直径为0.8m，高为1.1m的圆锥体 D．所有棱长均为1.4m的四面体 【答案】ACD 【分析】根据正方体的对称性和选项中几何体的结构特征，充分利用正方体的体对角线与面对角线的特点逐一分析计算即可判断. 【详解】对于A，球体的直径为m，小于正方体的棱长，则可以放入棱长为1m的正方体容器内，故A正确； 对于B，因正方体内最长的线段是体对角线，它的长为，而该圆柱的高为1.8m， 故无法整体放入棱长为1m的正方体容器内，即B错误； 对于C，如上图将底面直径为0.8m，高为1.1m的圆锥体放置即可， 此时圆锥的顶点在正方体的体对角线上， 底面圆圆心在平面上，由正方体的对称性性质易得， 且的内切圆半径满足，解得，故C正确； 对于D，如上图，在正方体中，连接， 得到正四面体， 因其棱长，故所有棱长均为1.4m的四面体可整体放入该正方体，故D正确. 【变式3】（2025·河北·模拟预测）半球形容器内放有三个半径均为1的玻璃球，三球两两相切且均与容器内壁和容器沿口所在平面相切，则半球形容器的半径为________. 【答案】 【分析】可设三个小球的球心分别为，，，三球心在容器沿口所在平面上的投影分别为，，，再在中，利用勾股定理即可得解. 【详解】由题意可设三个小球的球心分别为，，， 三球心在容器沿口所在平面上的投影分别为，，， 则得到一个底面边长为2，高为1的正三棱柱， 由球的对称性知半球的球心为的中心，则， 在中，，， 可得， 得半球的半径为. 故答案为：. 【题型二】空间几何体的三视图和直观图 【例2】（2025·河南·三模）某公司研发的一不规则益智玩具如下图所示，其配套的玩具收纳箱表面有不同形状的孔洞，可以通过旋转严丝合缝地将玩具通过孔洞塞进收纳箱中，则以下四个形状的孔洞不会出现在该玩具收纳箱的表面的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由题意可知若玩具在水平面上的投影形状通过旋转可与选项中孔洞的形状相同，则该玩具可以通过旋转严丝合缝地通过孔洞塞入收纳箱中，由此可以判断各个选项正误. 【详解】由题意在玩具旋转过程中，若其在水平面上的投影形状与孔洞的形状相同， 则该玩具可以通过旋转严丝合缝地通过孔洞塞入收纳箱中， 将A，B，C选项中三个形状的孔洞以如图所示形式摆放，可以得到形状相同的结果， 此时图示玩具可以通过旋转严丝合缝地塞入.    对于D选项，无法找到合适的情况使其可以严丝合缝地塞入，故其不会出现在该玩具收纳箱的表面. 故选：D. 【变式1】（2024·湖北·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴， 轴， ，那么（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可. 【详解】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示， 其中，，， 原平面图形的面积为. 故选：D． 【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____________. 【答案】 【分析】由三视图可知几何体是一个半圆锥，其底面半径为1，高为1，母线长为，从而可求出其表面积. 【详解】由题意知，该几何体是一个半圆锥，其底面半径为1，高为1，母线长为， 则该几何体的表面积为. 故答案为：    【变式3】（2026·山东·一模）水平放置的，用斜二测画法得到直观图，如图所示，若，则的面积等于___________． 【答案】4 【分析】由直观图，作出其对应的原图，即可求得答案. 【详解】由题意，作出直观图对应的原图， 可得， 所以的面积等于. 故答案为：4. 【题型三】柱、锥、台的表面积 【例3】（2026·河南濮阳·模拟预测）若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出底面圆的半径，再由侧面积公式得解. 【详解】设圆锥底面半径，高为，母线为， 则， 所以圆锥的侧面积. 【例4】（2026·广东·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，高为5，一个圆柱内接于该圆锥，其下底面位于圆锥的底面上，上底面圆周落在圆锥的侧面上，则该圆柱表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱底面半径为，高为．由相似三角形得，即 ． 圆柱表面积 ． 对称轴 ．最大值为． 【例5】正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2，则该四棱锥的表面积为______________． 【答案】 【分析】分别求出底面积和侧面积，即可求出表面积. 【详解】因为正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2， 所以正四棱锥的底面积为，侧面积为， 所以该四棱锥的表面积为． 故答案为： 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在正三棱柱中，为上一点，，，平面将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（    ）    A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】几何体被截面截完后，分为两个部分，其中上部分的面积由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形构成，下部分是由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成的,逐个计算即可求解. 【详解】该几何体被截面截完后，分为两个部分， 其中上部分的面积由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形构成， 下部分是由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成的. 为了便于计算，设，，， 中，边上的高， 则上部分几何体的面积， 下部分几何体的面积， 故上下两部分表面积之比为. 故选：A 【变式2】（2024·安徽池州·模拟预测）如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可抽象成一个正四棱台．现有一个上、下底面边长分别为和的“升”，侧棱长为，要做成一个该“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为_________． 【答案】 【分析】根据棱台的几何性质确定斜高，再根据侧面性质确定面积即可. 【详解】 如图，由题意知该“升”的各侧面为上底、下底长分别为，腰长为的等腰梯形， 取中点为， 所以其侧面的高为． 若将各侧面展开，可拼接成一个一条边长为，另一条边长为的平行四边形， 该平行四边形的高为，所以所求面积为． 故答案为：. 【变式3】（2026·浙江金华·三模）已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为______． 【答案】 【分析】根据题意得到圆台上下底面半径及母线长，再利用圆台侧面积公式求解． 【详解】 易知上底面圆的半径，下底面圆的半径， 母线长， 所以该圆台的侧面积． 【题型四】柱、锥、台的体积 【例6】（2026·江苏·三模）在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（ ） A．4∶5 B．5∶7 C．10∶17 D．8∶19 【答案】D 【分析】根据，确定点的位置，经过，，三点的平面将三棱柱分为两部分，通过补形确定经过三点的平面，利用棱柱、棱台的体积计算方法，得到，两部分的体积，最终求得比值. 【详解】取的中点，连接，； ，，即点在线段上，. 过点作，分别交，于点，. 平面是过点，，三点的平面. 设，直三棱柱的高为. . ，，； ； 直三棱柱被平面分成，两部分的体积较小）， ，则； . 【例7】（2026·河北张家口·二模）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周与正方形的四边都相切，另一个底面圆周与四棱锥的四条侧棱都相交，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径． 【详解】设圆柱的上底面圆周与分别交于点中点为交于点， 因为四边形是边长为2的正方形，所以， 由，得. 由题意，圆柱的底面圆与正方形的四边都相切，故其半径. 又， 所以，圆柱的高， 所以圆柱的体积为. 【例8】（2026·甘肃兰州·模拟预测）在正四棱台中，，该正四棱台的侧面积为，则该正四棱台的体积为____________． 【答案】 【分析】根据棱台的侧面积求出棱台的侧棱长，再根据棱台的体积公式计算即可. 【详解】设，则， 由正棱台的结构特征可知四边形，均为等腰梯形， 如图，在等腰梯形中，过点作于点，则， 所以由勾股定理知， 由该正四棱台的侧面积为，得，解得， 则． 连接，在等腰梯形中，过点作于点，则为该正四棱台的高，且， 所以，则该正四棱台的体积． 【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则余下部分的体积与所截出棱锥的体积的比值是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】设长方体的长、宽、高分别为，根据长方体的几何特征，我们可得两两垂直，代入棱锥体积公式及长方体体积公式，求出三棱锥的体积与剩下的几何体体积，进而得到答案． 【详解】 设长方体的长、宽、高分别为，易知长方体的体积为. 不妨令. 由长方体，易知两两垂直， 所以， 于是. 故剩下几何体的体积， 因此， . 故选：B. 【变式2】（2026·福建漳州·三模）已知圆台的上底面和下底面的半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为___________． 【答案】 【详解】因为圆台上、下底面半径分别为，母线长， 可得圆台的高， 所以． 【变式3】（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则此圆锥的体积为___． 【答案】 【分析】先利用圆锥侧面积公式结合已知条件求出母线长，再借助勾股定理算出圆锥的高，最后代入圆锥体积公式即可求得结果. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为，体积为. 已知，侧面积. 由圆锥侧面积公式，代入得，解得. 由勾股定理，代入得. 由圆锥体积公式，代入得. 【题型五】球的体积和表面积 【例9】（2026·重庆江北·模拟预测）已知球的半径为R，圆锥的底面半径也为R，母线长为2R，则球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别利用球的体积公式、圆锥的体积公式计算对应体积，再求比值即可得到结果. 【详解】根据球的体积公式，可得，已知圆锥底面半径为，母线长， 可得圆锥的高， 所以，得， ，即球与圆锥的体积之比为. 【变式1】（2026·江西宜春·模拟预测）若球与球的体积之比为，表面积之比为，且棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设球与球的半径分别为，， 球的体积为，表面积为， 球的体积为，表面积为， 所以，，所以， 因为棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上， 所以，则， 所以球的表面积为. 【变式2】（多选）（2025·河北张家口·一模）已知球O的表面积为，点P，A，B，C均在球面上，且，，，则（   ） A．球O的半径为2 B．平面截球面所得小圆的面积为 C．点到平面的距离为 D．球体挖去四面体后余下部分的体积为 【答案】AB 【分析】根据已知条件，判定三棱锥为正三棱锥.根据正三棱锥的性质，确定球心的位置，然后利用球的面积公式计算得到球的半径，判定A；利用圆的面积公式计算判定B；利用勾股定理计算得到球心到底面的距离，进而分情况讨论求得顶点到底面的距离，从而判定C；利用球的体积公式和棱锥的体积公式计算对比，判定D. 【详解】 由已知条件，且，，所以三棱锥为正三棱锥. 点P，A，B，C均在球面上，所以球为正三棱锥的外接球，球心为， 设底面三角形的中心为，顶点在底面中的射影为底面正三角形的中心，外接球的球心位于射线上，如图所示：    选项A：设球的半径为， 球的表面积公式为 ，解得半径 ，故选项A正确； 选项 B：平面 是一个等边三角形，边长为 3. 等边三角形的外接圆半径为：， 这就是平面截球面所得小圆的半径， 此小圆面积为：，故选项 B 正确； 选项C：球心到平面的距离， 点到平面的距离为(当球心在线段上时)， 或（当球心位于的延长线上时). 当球心位于的延长线上时，， 于矛盾，舍去. 当球心在线段上时，，符合题意， 所以点到平面的距离为，故选项C错误； 选项D：四面体的体积为：， 其中底面积为等边三角形的面积：， 高为点到平面的距离， 因此：， 球体挖去四面体后余下部分的体积为： ， 但根据选项 D 的描述，余下部分的体积为，因此选项 D 错误. 故选：AB. 【点睛】一般求正棱锥或正棱台的外接球的球心位置，要考虑球心在下底面上方和下底面下方两种情况，再结合其他已知条件进行取舍. 【变式3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知轴截面为等边三角形的圆锥的体积与球的体积的比值是，则该圆锥的底面半径与球的半径的比值为______． 【答案】 【分析】由轴截面为等边三角形求出圆锥底面半径与圆锥高的关系，求出圆锥的体积、球的体积即可得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，球的半径为， 因为圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高， 所以圆锥的体积为，球的体积， 所以，解得． 【题型六】组合体的表面积和体积 【例10】已知某简单组合体的三视图如图所示，则其表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三视图还原几何体的直观图，该组合体由一个半圆柱和一个三棱柱组成，求其表面积即可. 【详解】由三视图得，该组合体由一个半圆柱和一个三棱柱组成， 其中半圆柱的底面圆的半径为2，高为3； 三棱柱的底面为直角三角形（两直角边分别为3和4），高为3， 其表面积为. 故选：C.    【变式1】（2026·云南·模拟预测）太空舱储液罐从早期的金属贮箱逐渐发展成不锈钢复用贮箱，从铝合金到碳纤维复合材料，实现减重30%～50%．太空舱储液罐由一个圆柱和两个半球构成（如图所示），已知圆柱的高是底面外圈半径的8倍，若球外圈半径为4m，内部容积为，则它使用材料的体积（近似为3）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，， 所以. 【变式2】如图，正四棱锥底面边长和高均为，分别是其所在棱的中点，则几何体的体积为______.    【答案】 【分析】分别计算和，作差得到答案. 【详解】正四棱锥底面边长和高均为，分别是其所在棱的中点， 则正四棱锥的底面边长和高均为， 则，， 故几何体的体积为. 【变式3】（2025·宁夏银川·三模）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过34，则该塔形中正方体的个数至少是__________. 【答案】5 【分析】根据已知依次确定从底部到顶部正方体的棱长，根据几何体的特征及正方体表面积的求法，应用等比数列前n项和公式得个正方体的表面积，列不等式求最小参数值. 【详解】由题设，从底部到顶部正方体的棱长依次为，， 所以各正方体四个侧面的面积为， 除顶部正方体，第个正方体上底面可见的表面积为，，， 顶部正方体上底面面积为， 所以个正方体的表面积为 ， 令，可得，则，， 故该塔形中正方体的个数至少是5个. 故答案为：5 【解题大招01】几何体结构辨析秒杀法 核心解题技巧 1. 棱柱判定：两底平行全等+侧棱平行相等，仅有“两面平行、其余为平行四边形”不能判定棱柱； 2. 棱台判定：必须满足上下底相似平行+侧棱延长线交于一点，不交于一点为伪棱台，不能用台体公式； 3. 旋转体判定：严格区分旋转轴，直角三角形绕直角边旋转为圆锥，绕斜边旋转为双圆锥组合体。 【例1】下列命题正确的是（） ① 所有侧棱相等的棱柱是直棱柱；② 棱台的上下底面一定相似；③ 矩形绕任意一边旋转均可得到圆柱 解析：① 错误：斜棱柱侧棱也可全部相等，直棱柱核心条件为侧棱垂直底面； ② 正确：棱台由棱锥截取得到，上下底面必然相似； ③ 正确：矩形绕任意一条边旋转一周，均可形成标准圆柱。 答案：②③ 【解题大招02】斜二测直观图面积换算公式法 核心技巧与微软公式 无需画图、无需找点换算，直接套用固定倍数关系，高考必考秒杀结论： 口诀：原图更大，直观缩小，倍数根二倍根号二 【例2】水平放置的平面图形直观图为等腰直角三角形，直角边长为2，求原图形面积。 解析：1. 计算直观图面积： 2. 代入秒杀公式： 答案： 【解题大招03】旋转体侧面展开图转化法（空间转平面） 核心解题原理 所有旋转体展开图问题，核心等量关系：几何体底面周长 = 展开图形弧长 核心秒杀公式 圆锥侧面展开圆心角： 其中：为底面半径，为圆锥母线长 【例3】已知圆锥底面半径，高，求侧面展开图圆心角和侧面积。 解析：1. 求母线长： 2. 侧面积计算： 3. 圆心角计算： 答案：侧面积，圆心角 【解题大招04】单一几何体表面积快速计算法 核心解题技巧 1. 区分母线与高：圆锥、圆台公式只用母线，绝对不能代入高； 2. 看清题意：有无底面、有无顶盖，题目求“侧面积”不加大底，求“表面积”全加； 3. 公式速记：柱体双面、锥体单面、球体无底面。 核心公式（微软标准） 圆柱： 圆锥： 球： 【例4】已知圆锥底面半径，母线，求圆锥全面积。 解析： 答案： 【解题大招05】几何体体积通用速算法 核心技巧口诀 柱体直接底乘高，锥体三分底乘高，台体三分之一和积开方，球体四三派R方 标准体积公式 柱体： 锥体： 台体： 球体： 【例5】正四棱锥底面边长为4，高为3，求体积。 解析：底面面积： 锥体体积： 答案： 【解题大招06】组合体拆分法 核心解题思路 1. 体积计算：整体拆分、直接相加，无损耗、无扣除； 2. 表面积计算：总表面积 = 各几何体表面积之和− 2倍重叠贴合面积（贴合两面均被遮挡）； 3. 解题步骤：先拆分、再算单个体积/面积、最后合并修正。 【例6】组合体由半球+同底圆柱拼接而成，底面半径，圆柱高，求组合体表面积与体积。 解析：1. 体积计算 2. 表面积计算（扣除半球与圆柱贴合底面，保留圆柱下底、圆柱侧面、半球曲面） 答案：体积，表面积 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·浙江金华·二模）如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项中的图形旋转得到的是同心球，外面一个大球，里面一个小球； B选项中的图形旋转得到的是空心环状几何体； C选项中的图形旋转得到的是内胎； D选项中的图形旋转得到的是球. 2．（2026·江苏泰州·模拟预测）正六棱柱的底面边长为6，高为4.若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点，正六棱柱下底面为底面的正六棱锥，则剩余部分几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】剩余几何体体积等于正六棱柱体积减去挖去的正六棱锥体积，分别计算体积相减即得. 【详解】因正六棱柱的底面正六边形是由6个边长为6的全等正三角形组成， 故其面积为，其体积为， 挖去的正六棱锥底面与棱柱下底面重合，高等于棱柱的高4， 故其体积为， 故剩余几何体的体积. 3．（2026·山西晋城·模拟预测）某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的体积公式，结合已知条件，求得上下底面圆半径，再利用勾股定理，求得母线长即可. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为2r，    则圆台的体积为，解得， 所以母线的长是. 二、多选题 4．（2026·云南红河·模拟预测）如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD 【分析】根据给定的几何体，利用圆锥、圆柱的结构特征，结合体积公式、侧面积公式逐项求解判断. 【详解】对于A，由勾股定理得圆锥母线长，A正确； 对于B，圆锥的体积为，圆柱的体积为， 因此圆锥与圆柱的体积比为，B正确； 对于C，该几何体的表面积为，C错误； 对于D，设圆锥侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得，圆心角，D正确． 故选：ABD 三、填空题 5．（2026·河南·模拟预测）若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为__________． 【答案】/ 【分析】由棱台体积公式进行求解． 【详解】由正四棱台得，上底面和下底面都为正方形， 则体积． 6．（2026·上海静安·模拟预测）一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，得到的新圆柱的体积是_________． 【答案】 【分析】由题意可得新圆柱的高和底面半径，由圆柱的体积公式计算即可得解． 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则， 若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，则得到的新圆柱的高为，底面半径为， 所以得到的新圆柱的体积为. 四、解答题 7．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm. (1)求“浮球”的体积； (2)求“浮球”的表面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得球的半径和圆柱底面半径相等都是，圆柱母线为， 因此“浮球”的体积. （2）“浮球”的表面积. 8.（2024·全国·模拟预测）已知在正四面体中，棱的中点分别为． (1)若，求的面积； (2)平面将正四面体划分成两部分，求这两部分的体积之比． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用三角形中位线及勾股定理计算即可； （2）利用割补法、等体积法、相似的性质计算即可. 【详解】（1）    如图所示，由三角形中位线得， 则， 由勾股定理，在边上的高为， 所以. （2）   如图所示取中点，连接， 显然平面截正四面体形成的其中一部分可由四个四面体：，组成， 易知正四面体与正四面体相似，故， 由题意及中位线性质可知， 且， 所以四面体：，的体积均相等，故， 所以两部分的体积之比为1． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2024·山东·一模）某几何体的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的左视图可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把几何体的正视图和俯视图置于长方体中，作出原几何体即可. 【详解】在长方体中，由俯视图为正方形及一条对角线知， 4条侧棱上各有一个点为几何体的顶点，则左视图不可能为圆，A不是； 正视图为直角三角形，则棱上各有一个点为几何体的顶点， 左视图若为B选项对应图形，则俯视图没有正方形的那条对角线，B不是； 左视图若为D选项对应图形，则棱上各有一个点为几何体的顶点，此时正视图不符合要求，D不是； 当点都为几何体的顶点时，几何体为四棱锥，其正视图和俯视图都符合题意， 左视图为选项C对应的三角形. 故选：C 2．（2026·山西忻州·模拟预测）在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据面面垂直的性质，结合直角三角形的性质判断球心的位置，进而列方程求得半径，再利用球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以是以为斜边的等腰直角三角形， 设的中点为，连接， 因为是边长为2的等边三角形， 所以，且. 又因为二面角的大小为， 所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 所以三棱锥外接球的球心在上，设为， 如图，连接，设球的半径为， 所以有， 所以三棱锥外接球的表面积为. 二、多选题 3．（2026·湖北十堰·模拟预测）将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体．则（   ） A．该几何体的体积为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的外接球半径为 D．该几何体有7个面 【答案】ACD 【详解】正方体的体积，截去三棱锥体积， 几何体，故A正确； 正方体的表面积， 截去3个直角三角形面积， 新增1个边长为的正三角形面积为， 该几何体的表面积为，故B错误； 该几何体与原正方体外接球相同，正方体外接球直径为， 解得，故C正确； 正方体有6个面，截去一个角后，每个截面多出一条边，整体新增1个面，共7个面， 故D正确． 三、填空题 4．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在几何体中，侧棱，，均垂直于底面，已知，，，则该几何体的体积是______． 【答案】 【分析】先将该几何体补成一个正三棱柱，再根据几何体与补形后的正三棱柱的体积的关系求出该几何体的体积. 【详解】因为在几何体中，侧棱，，均垂直于底面， 已知，，， 所以构造一个底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为6的正三棱柱， 其中，，，， 因此，即， 根据三棱柱体积公式， 所以该几何体的体积是. 四、解答题 5．如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等. (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积与表面积. 【答案】(1)3 (2)， 【分析】（1）根据圆柱的体积公式求圆柱的底面半径； （2）根据三棱柱的体积和表面积公式求解即可. 【详解】（1）设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为. 由题意. 即圆柱的底面半径为3. （2）因为为等边三角形，且其外接圆半径为3， 由正弦定理。，解得，则， 又三棱柱的高即圆柱的高为6，所以； 则三棱柱的表面积为. 6.如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的中点，，垂足分别是D，H，G，将绕AD所在直线旋转． (1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V； (2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题中所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱的组合体，计算即可； （2）结合特殊几何体的结构特征计算阴影部分不规则几何体的表面积即可. 【详解】（1）阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为，圆柱的底面半径为1，高为． ，， 因此阴影部分形成的几何体的体积为． （2）圆锥侧面积， 圆柱的侧面积， 底面面积， 表面积为． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如），另外两条相对的侧棱交于一点（如）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意用两个柱体体积减去重叠部分体积，计算即可. 【详解】如图，两个正四棱柱重叠部分为多面体， 取的中点I，则多面体可以分成8个全等小三棱锥， 例如三棱锥， 则，且平面， 则， 所以“垂直贯穿”构成多面体的体积为 .    2．（2026·江苏扬州·三模）一个棱长为6的正四面体状封闭玻璃容器（壁厚忽略不计）内装有少量液体．如图，当容器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为2，3，4．若将该容器放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为（     ）． （参考数据：，） A．0.1 B．0.2 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【分析】设原正四面体的体积为，液体体积为，正四面体的高为，放正后液面的高度为，由题意可得，计算正四面体的高，根据水平放置后，液面上方的正四面体与原正四面体相似，列式计算求解. 【详解】设原正四面体的体积为，液体体积为，正四面体的高为，放正后液面的高度为， 由题意可得， 如图所示，正四面体高， 水平放置后，液面上方的正四面体与原正四面体相似， 则，即， 所以. 二、多选题 3．（2026·辽宁沈阳·三模）如图，AC为圆锥SO底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为4 C．圆锥SO外接球的表面积为 D．若，为线段AB上的动点，则的最小值为 【答案】AC 【分析】先求母线，利用侧面积公式可判断A，利用体积公式可判断B，利用勾股定理求出球的半径可判断C，利用展开图结合余弦定理可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以,其侧面积为，A正确； 对于B，三棱锥的底面积最大为，所以三棱锥体积的最大值为，B不正确； 对于C，设外接球的球心为，半径为，因为圆锥的外接球球心在高上，所以,因为，所以,解得， 所以圆锥SO外接球的表面积为，C正确； 对于D，因为，，所以，把绕边旋转，使其与共面，如图，连接，交于点，此时取得最小值， 在中，,所以， 所以, 由余弦定理， 所以的最小值为，D不正确. 三、填空题 4．（2024·陕西·模拟预测）已知某四棱锥的三视图如图所示，若该四棱锥外接球的表面积为，则该四棱锥的体积为______． 【答案】/ 【分析】先由四棱锥的三视图得到四棱锥的直观图，再利用补形法，结合该四棱锥外接球的表面积求得，从而利用四棱锥的体积公式即可得解. 【详解】依题意，该四棱锥的直观图，如图①所示，    根据三视图，知平面平面， 点到平面的距离为，如图②， 过点作，交于点， 则为的中点，， 如图③，将该四棱锥补成一个直三棱柱， 易知该四棱锥的外接球与直三棱柱的外接球是同一个外接球， 在图③，分别取和的外心， 连接，取的中点，连接， 由直三棱柱的结构特征知为三棱柱的外接球的球心，    设的外接圆半径为，则， ，解得， 设三棱柱的外接球的半径为，则，得， ，即，解得， . 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法： ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可； ④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径. 四、解答题 5．如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米． (1)求该漏斗的表面积和体积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，根据面积公式，求得该漏斗的表面积，再由漏斗锥体部分的高米，结合体积公式，即可求解； （2）将漏斗表面展开，过点作，连接，在直角中，结合勾股定理，即可求解. 【详解】（1）由题意得，该漏斗的表面积（平方米）． 其中漏斗锥体部分的高米， 所以该漏斗的体积（立方米）． （2）将漏斗表面展开，如图所示，由两点间距离最短可得线段为蚂蚁爬行最短路径， 过点作，交的延长线于点，连接， 则米，米． 在直角中， 可得（米）， 所以蚂蚁爬过的最短路径的长为（米）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $