第15讲函数的实际应用（知识清单+3典例精讲+5方法技巧+分层训练）-2027届高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数实际应用专题，涵盖一次、二次、指数、对数、幂函数等高考核心模型，按知识清单、典例精讲、方法技巧、分层训练的逻辑架构组织，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破建模难点，体现复习的系统性和针对性。 资料创新设计5大解题大招，如指数模型直接套用增长/衰减公式，二次函数最值用顶点法，培养学生数学思维与模型意识。分层训练含基础、拔高、错题复盘，配合典例变式训练，确保高效突破高频考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第15讲函数的实际应用 （知识清单+3典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 指数增长模型应用，考查增长率建模 ，结合实际情境判断增长趋势 多选题 6分 三种函数模型增速对比，核心结论：，判断实际增长快慢 单选题 5分 二次函数最值建模，利用 求解实际利润、面积最值问题 解答题 12分 指数衰减模型应用，考查折旧、衰减类实际建模 单选题 5分 一次函数线性建模，匀速、定额变化类实际问题求解 填空题 5分 对勾函数最值应用，利用 求解实际成本最值问题 解答题 12分 对数函数模型性质，考查饱和型增长规律，辨析三种模型变化特征 多选题 6分 幂函数模型实际应用，几何面积、体积类建模判断 单选题 5分 综合函数建模，融合指数、二次函数模型，求解实际动态变化与最值问题 解答题 12分 【知识点01】三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0) 在(0,＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随α值的变化而各有不同 【例1】某养殖场家禽数量年增长率为8%，现有家禽500只，建立年后家禽总数的函数模型。 【知识点02】常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k,b为常数,k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0) 【例1】用长度为80m的篱笆围成矩形菜园，求菜园的最大面积。 【题型一】常见的函数模型(1)——二次、分段函数 【例1】（2025·浙江嘉兴·一模）为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过 2.98元 超过但不超过的部分 3.60元 超过的部分 4.50元 若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（    ） A． B． C． D． 【例2】劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元. 【例3】（2026·山东·一模）咖啡店销售一款咖啡，每杯的销售价为10元时，每天可以销售200杯，为提高咖啡加工品质，进行了设备更新，为此咖啡店提高了销售价（规定为1元的整数倍）．经市场调研发现，每杯的销售价每提高1元，每天少销售5杯（不考虑其他因素）．问每杯咖啡的销售价为多少时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少? 【变式1】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（   ）      A．    B．     C．   D．   【变式2】某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为___________元. 【变式3】（2024·全国·模拟预测）某种汉堡是某西餐店火爆的快餐品种之一，该店该种汉堡的成本为每个10元，售价为每个15元，若当天没有售出，则全部销毁．      (1)若该西餐店某天制作该种汉堡（）个，求该西餐店当天该种汉堡的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式； (2)该西餐店某月（按30天算）每天制作该种汉堡90个，并对该月该种汉堡的日需求量（单位：个）进行统计，对统计数据进行分析制成条形图如图所示，求该西餐店该月这种汉堡的平均日利润． 【题型二】常见的函数模型(2)——指数、对数、幂函数 【例4】（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【例5】（2026·湖南长沙·模拟预测）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 【例6】（2024·山西·模拟预测）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数，当一条大西洋鲑鱼静止时，它的耗氧量的单位数______. 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 【变式2】（2025·四川眉山·模拟预测）某工厂生产某零件，2025年8月共生产该零件1万件，根据市场需求，计划这之后每月的产量在前一个月的产量的基础上增加20%，则2025年10月该工厂这种零件的产量为______万件，2026年2月该工厂这种零件的产量______（填“能”或“不能”）超过3万件.（参考数据：，） 【变式3】（2024·广东湛江·一模）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： (1)请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式计算结果四舍五入精确到； (2)在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟． 参考数据：，，是自然对数的底数， 【题型三】函数模型的应用实例 【例7】（2026·浙江绍兴·模拟预测）年某新能源车企搭载AI智能续航系统，汽车匀速行驶时，剩余续航里程与行驶总时间满足函数关系．该车先匀速行驶，之后进入拥堵路段，系统切换能耗模式，剩余续航按衰减（为匀速后的剩余续航，为拥堵行驶时间）．当剩余续航降至时，汽车从出发到此刻的总行驶时长约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【例8】（2025·云南·模拟预测）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为1和11，则___________． 【例9】（2024·吉林长春·模拟预测）某制药厂临床试验一批新药的疗效（-因子是主要成分），根据国家规定：服用新药后100mL血液中-因子含量达到认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中-因子的浓度呈线性增长，当其上升到时，血液中-因子的浓度将会以每小时的速度减少（函数模型如图）．    (1)请写出服用该药后血液中-因子浓度（单位：）随时间（单位：小时）变化的关系式； (2)服用该药后，至少要经过几个小时血液中-因子才能降至无效？（结果取整数）． （参考数据：） 【变式1】（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 【变式2】（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为，第5个月时，浮萍面积就会超过，下列函数模型：①，②，③，④中，最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是______填写序号，若浮萍蔓延到，所经过的时间______. 【变式3】（2025·安徽合肥·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. (1)求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； (2)若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【解题大招01】一次函数建模技巧（匀速线性问题） 解题技巧：实际问题中均匀变化、固定收费、定额增减类问题，统一套用一次函数。固定常量为截距，单位变化量为斜率，无需复杂推导，直接建模。 核心公式： 易错提醒：实际问题必须限定定义域，，人数、数量类需满足。 【例1】某奶茶店外送服务费基础4元，每超出1公里加收1.2元，设超出公里数为，求总服务费解析式。 【解题大招02】指数模型秒杀技巧（增长率/衰减率问题） 解题技巧：题干出现“增长率、降低率、折旧、复利、繁殖、衰变”，直接锁定指数函数模型，是高考最快秒杀技巧。 核心公式 增长模型： 衰减模型： 其中：为初始量，为变化率，为时间/变化次数。 【例2】某基金年化收益率3.5%，存入本金20000元，复利计息，求年后本息和。 【解题大招03】对数模型判性技巧（饱和增长问题） 解题技巧：学习积累、热度推广、技能提升类饱和增长问题，增速先快后慢，选用对数模型，只需判断单调性与增速趋势，简单计算取值。 核心公式： 【例3】学生刷题掌握知识点模型为，求第8天掌握知识点数量。 【解题大招04】二次函数最值解题技巧（高考解答题核心） 解题技巧：利润最大、面积最大、用料最省最值问题，统一用二次函数顶点法；先判开口方向，再求顶点，顶点不在定义域内则用区间单调性求最值。 核心公式 最值横坐标： 开口判定：有最小值，有最大值。 【例4】商品销售利润满足，求最大利润。 【解题大招05】对勾函数最值秒杀技巧（分式最优问题） 解题技巧：题干出现“平均成本最低、用料最省、分式和型最值”，优先对勾函数基本不等式求解，无需单调性讨论。 核心公式 ，当且仅当取最小值 【例5】求函数的最小值。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·吉林·二模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2026·湖南怀化·二模）某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·河南·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，每排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度变为原来的.由检验知该地下车库一氧化碳浓度（ppm）与排气时间（分钟）之间存在函数关系，其中（为常数）.已知空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，人可以安全进入车库.若刚好经过（分钟），人就可以安全进入车库了，则（   ） A． B． C． D．排气12分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为9ppm 三、填空题 5．（2023·贵州铜仁·模拟预测）牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型（t为时间，单位：分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过________分钟水温降为30℃（参考数据：）． 6．（2025·重庆·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过_____个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85） 7．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约__________万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 四、解答题 8．（2024·山东·二模）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米／时）满足下列关系：（，是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时）的关系图，如图所示. (1)求，的值； (2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·贵州贵阳·二模）某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型（其中y为感染人数，为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）．已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人．若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第（   ）天启动．（参考数据：，，） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2026·山东聊城·模拟预测）某新能源汽车研究机构发现，A款电动汽车的保值率（即使用t年后的二手车价格与新车指导价的比值）P随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型：，其中，a和b为常数.已知A款电动汽车使用2年后保值率为，使用4年后保值率为.若该车的保值率低于即被视为“大幅贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?（参考数据：，）（   ） A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 二、多选题 3．（2025·陕西·一模）记等比数列的公比为q，前n项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（   ） A． B．，，成等比数列 C．若，则数列的前n项和为 D．若，则存在正整数M，使得当时， 三、填空题 4．（2024·河南洛阳·模拟预测）在高度为的竖直墙壁面上有一电子眼，已知到天花板的距离为，电子眼的最大可视半径为．某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为0.2m的木棒（木棒竖直下落且保持与地面垂直），则电子眼A记录到木棒通过的时间为______s．（注意：位移与时间的函数关系为，重力加速度取） 5．（2025·云南·一模）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，若在前消除了的污染物，当污染物减少时，所需时间约为_____（精确到，参考数据：，，）． 四、解答题 6．（2024·浙江金华·模拟预测）太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k． (1)若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式； (2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？ 注：①蓄电池电能储存量； ②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·山东烟台·二模）已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（   ） A．3万片 B．4万片 C．5万片 D．6万片 2．（2026·江苏南通·三模）社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.已知日销售量与每盒售价（元）满足关系式：，其中p为每盒售价，为每日销量.若要使每日销售利润最大，则每盒礼盒应定价为（    ） A．17.9元 B．18.9元 C．19.9元 D．20.9元 二、多选题 3．（2026·河南·三模）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 三、填空题 4．（2026·江苏·三模）某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量（单位：拷贝数/升）与时间（小时）的关系为，其中，为初始病毒载量，则病毒载量在_____小时达到峰值，之后病毒载量每经过1小时衰减为原来的倍，当低于时不具传染性，则从起，该病毒具有传染性的总时长为_____小时． 四、解答题 5．（2024·福建泉州·模拟预测）在相同的介质中，人们肉眼看到的光线总是呈直线运动的.由于光在不同的介质中的传播速度不同，因此在不同的介质中光会发生折射现象.在如图所示的平面直角坐标平面中，光在介质Ⅰ内点以入射角，速度在介质1内传播至轴上的点，而后以折射角，速度v在介质Ⅱ内传播至点. (1)将光从点A传播到点B的所需的时间关于x的函数的解析式； (2)费尔马认为：光总是沿着最节省时间的路线传播，设点B在x轴上的射影为C.根据费尔马的结论，解决以下问题： （i）证明：. （ii）若，，，求光线从点A传播到点B所经过路程的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲函数的实际应用 （知识清单+3典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 指数增长模型应用，考查增长率建模 ，结合实际情境判断增长趋势 多选题 6分 三种函数模型增速对比，核心结论：，判断实际增长快慢 单选题 5分 二次函数最值建模，利用 求解实际利润、面积最值问题 解答题 12分 指数衰减模型应用，考查折旧、衰减类实际建模 单选题 5分 一次函数线性建模，匀速、定额变化类实际问题求解 填空题 5分 对勾函数最值应用，利用 求解实际成本最值问题 解答题 12分 对数函数模型性质，考查饱和型增长规律，辨析三种模型变化特征 多选题 6分 幂函数模型实际应用，几何面积、体积类建模判断 单选题 5分 综合函数建模，融合指数、二次函数模型，求解实际动态变化与最值问题 解答题 12分 【知识点01】三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0) 在(0,＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随α值的变化而各有不同 【例1】某养殖场家禽数量年增长率为8%，现有家禽500只，建立年后家禽总数的函数模型。 解析：代入指数增长公式： 【知识点02】常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k,b为常数,k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0) 【例1】用长度为80m的篱笆围成矩形菜园，求菜园的最大面积。 解析：设矩形长为，宽为，面积 即菜园最大面积为。 【题型一】常见的函数模型(1)——二次、分段函数 【例1】（2025·浙江嘉兴·一模）为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过 2.98元 超过但不超过的部分 3.60元 超过的部分 4.50元 若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设天然气费用为使用量的函数，根据题意写出分段函数解析式，先判断对应哪一段，再求解即可. 【详解】设天然气使用量为，天然气费为元， 则， 由于，则, 所以， 解得, 所以天然气使用量为， 故选：B. 【例2】劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元. 【答案】 200 7.94 【分析】将利润表示为关于的一个二次函数，求出该函数的最值即可. 【详解】由题意易得日利润， 故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元， 故答案为：200，7.94. 【例3】（2026·山东·一模）咖啡店销售一款咖啡，每杯的销售价为10元时，每天可以销售200杯，为提高咖啡加工品质，进行了设备更新，为此咖啡店提高了销售价（规定为1元的整数倍）．经市场调研发现，每杯的销售价每提高1元，每天少销售5杯（不考虑其他因素）．问每杯咖啡的销售价为多少时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少? 【答案】每杯咖啡的销售价为25元时，最大销售额是3125元. 【分析】 设销售价为元，销售额为元，写出关于的函数，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设销售价为元，销售额为元， 则，当元时，元， 所以当每杯咖啡的销售价为25元时，最大销售额是3125元. 【变式1】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（   ）      A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】写出的表达式，再根据分段函数性质选出图象即可. 【详解】根据题意可知在梯形中，； 当时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为； 当时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形， 其面积为； 当时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积， 即； 所以可得； 根据函数类型对比图象可得A正确. 故选：A 【变式2】某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为___________元. 【答案】11710 【分析】由题意分析方案一和方案二的单人票价，可得用方案二先购买34张票，剩余13张用方案一，费用最小，从而可求出其最小值 【详解】方案一：满10人可打9折，则单人票价为270元， 方案二：满5000元减1000元，按原价计算，则满5000元至少凑齐17人， ，则单人票价为， 满10000元时，，则需34人，单人票价为241元， 满15000元时，，人数不足， 因为， 所以用方案二先购买34张票，剩余13不满足方案二，但满足方案一， 所以总费用为（元）， 故答案为：11710 【变式3】（2024·全国·模拟预测）某种汉堡是某西餐店火爆的快餐品种之一，该店该种汉堡的成本为每个10元，售价为每个15元，若当天没有售出，则全部销毁．      (1)若该西餐店某天制作该种汉堡（）个，求该西餐店当天该种汉堡的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式； (2)该西餐店某月（按30天算）每天制作该种汉堡90个，并对该月该种汉堡的日需求量（单位：个）进行统计，对统计数据进行分析制成条形图如图所示，求该西餐店该月这种汉堡的平均日利润． 【答案】(1)（） (2)（元） 【分析】（1）分别写出和时的利润，表示为分段函数的形式； （2）由（1）求出的解析式求出利润，再求平均利润即可. 【详解】（1）当时，日利润， 当时，日利润，， 关于的函数解析式为（）. （2）由题及（1）知，日利润为180元的天数为1， 日利润为240元的天数为3， 日利润为300元的天数为4， 日利润为360元的天数为5， 日利润为420元的天数为6， 日利润为450元的天数为11， 该月的平均日利润为 （元）. 故该西餐店该月这种汉堡的平均日利润为（元）. 【题型二】常见的函数模型(2)——指数、对数、幂函数 【例4】（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 【例5】（2026·湖南长沙·模拟预测）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】D 【详解】已知衰减公式，当的质量衰减为最初的时，满足： ，即， 两边取对数得：， 则， 即． 【例6】（2024·山西·模拟预测）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数，当一条大西洋鲑鱼静止时，它的耗氧量的单位数______. 【答案】 【分析】根据题意，令，解简单的对数方程即可得解. 【详解】依题意，可知， 当时，，即，则，即. 故答案为：. 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 【答案】D 【分析】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题推得，将这种火箭发射的声强代入公式结合对数运算即可求得． 【详解】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题意，，则得， 依题意，该火箭发射时的声强约为 W/m²，则其发射的声强级约为： . 【变式2】（2025·四川眉山·模拟预测）某工厂生产某零件，2025年8月共生产该零件1万件，根据市场需求，计划这之后每月的产量在前一个月的产量的基础上增加20%，则2025年10月该工厂这种零件的产量为______万件，2026年2月该工厂这种零件的产量______（填“能”或“不能”）超过3万件.（参考数据：，） 【答案】 1.44/ 不能 【分析】由题可得第n个月产量的表达式，据此可得的结果；求出2026年2月该工厂这种零件的产量，利用指数式和对数式的互化，以及对数的运算，即可求解. 【详解】记2025年8月为第1个月，该工厂这种零件的产量为， 则第个月该工厂这种零件的产量为，由题意可得（万件）. 2025年10月为第3个月， 则2025年10月该工厂这种零件的产量为. 2026年2月为第7个月，， 因为， 所以. 故答案为：1.44；不能 【变式3】（2024·广东湛江·一模）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： (1)请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式计算结果四舍五入精确到； (2)在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟． 参考数据：，，是自然对数的底数， 【答案】(1)，； (2)要等待约分钟. 【分析】（1）将给定数据代入函数模型，求出常数及对应的函数关系. （2）由（1）中关系式，求出时的值. 【详解】（1）依题意，，且当，时，， 则，，解得， 所以. （2）由（1）知，，当时，，即， 整理得，解得， 王大爷要等待约分钟. 【题型三】函数模型的应用实例 【例7】（2026·浙江绍兴·模拟预测）年某新能源车企搭载AI智能续航系统，汽车匀速行驶时，剩余续航里程与行驶总时间满足函数关系．该车先匀速行驶，之后进入拥堵路段，系统切换能耗模式，剩余续航按衰减（为匀速后的剩余续航，为拥堵行驶时间）．当剩余续航降至时，汽车从出发到此刻的总行驶时长约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再令，从而可得所求时间. 【详解】因为为匀速后的剩余续航，所以， 令，即，，故； 当剩余续航降至时，汽车从出发到此刻的总行驶时长约为. 【例8】（2025·云南·模拟预测）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为1和11，则___________． 【答案】 【分析】由题意可得，计算可求得的值. 【详解】依题意，， 即0.2， 即，，则． 故答案为：. 【例9】（2024·吉林长春·模拟预测）某制药厂临床试验一批新药的疗效（-因子是主要成分），根据国家规定：服用新药后100mL血液中-因子含量达到认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中-因子的浓度呈线性增长，当其上升到时，血液中-因子的浓度将会以每小时的速度减少（函数模型如图）．    (1)请写出服用该药后血液中-因子浓度（单位：）随时间（单位：小时）变化的关系式； (2)服用该药后，至少要经过几个小时血液中-因子才能降至无效？（结果取整数）． （参考数据：） 【答案】(1)； (2)9个小时. 【分析】（1）根据给定的条件，结合图象求出与的关系式. （2）利用（1）的结论，结合已知建立不等式，再利用单调性求解即得. 【详解】（1）开始时，血液中-因子浓度呈线性增长时，设， 将代入，得，解得，因此； 当时，，又当-因子浓度上升到时，以每小时的速度减少， 则当时，， 所以所求关系式为. （2）设至少要经过小时血液中-因子降至无效，即， 整理得，两边取常用对数，得， 则，解得， 所以至少要经过9个小时血液中-因子才能降至无效. 【变式1】（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：，） A．9级 B．11级 C．13级 D．15级 【答案】B 【分析】根据给定方程计算瞬时风速对应的风力等级，结合对数运算及指对互化运算即可求解． 【详解】将轮毂高度瞬时风速代入，得， 由知，，则， 所以， 又，所以， 所以． 【变式2】（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为，第5个月时，浮萍面积就会超过，下列函数模型：①，②，③，④中，最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是______填写序号，若浮萍蔓延到，所经过的时间______. 【答案】 ③ 【分析】由已知结合基本初等函数的图象判断函数模型，求出函数解析式，即可求解 【详解】为线性增长，的增长速度会逐渐变慢， 由图象可知，模型①④不符合， 将，代入模型②③，得，，即模型②，模型③， 当时，模型②，不符合， 当时，模型③，，选模型③； 由，解得 故答案为：③； 【变式3】（2025·安徽合肥·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. (1)求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； (2)若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】(1)，人； (2)发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大为元. 【分析】（1）由题设，有当时，，且，，求值，进而写出其分段函数的形式，再求. （2）由（1）写出解析式，讨论、求最大值即可. 【详解】（1）由题设，当时，令， 又发车时间间隔为3分钟时的载客量为333人，10分钟时的载客量为480人， 所以，解得， 所以， 当时，， 所以， 故时，， 所以当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量为人； （2）（2）因为， 所以由（1）可得： 当时，， 当且仅当等号成立， 则时，（元）， 当时，在递减， 则（元） 综上，发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为112元. 【解题大招01】一次函数建模技巧（匀速线性问题） 解题技巧：实际问题中均匀变化、固定收费、定额增减类问题，统一套用一次函数。固定常量为截距，单位变化量为斜率，无需复杂推导，直接建模。 核心公式： 易错提醒：实际问题必须限定定义域，，人数、数量类需满足。 【例1】某奶茶店外送服务费基础4元，每超出1公里加收1.2元，设超出公里数为，求总服务费解析式。 解析： 【解题大招02】指数模型秒杀技巧（增长率/衰减率问题） 解题技巧：题干出现“增长率、降低率、折旧、复利、繁殖、衰变”，直接锁定指数函数模型，是高考最快秒杀技巧。 核心公式 增长模型： 衰减模型： 其中：为初始量，为变化率，为时间/变化次数。 【例2】某基金年化收益率3.5%，存入本金20000元，复利计息，求年后本息和。 解析： 【解题大招03】对数模型判性技巧（饱和增长问题） 解题技巧：学习积累、热度推广、技能提升类饱和增长问题，增速先快后慢，选用对数模型，只需判断单调性与增速趋势，简单计算取值。 核心公式： 【例3】学生刷题掌握知识点模型为，求第8天掌握知识点数量。 解析： 【解题大招04】二次函数最值解题技巧（高考解答题核心） 解题技巧：利润最大、面积最大、用料最省最值问题，统一用二次函数顶点法；先判开口方向，再求顶点，顶点不在定义域内则用区间单调性求最值。 核心公式 最值横坐标： 开口判定：有最小值，有最大值。 【例4】商品销售利润满足，求最大利润。 解析： 最大利润为。 【解题大招05】对勾函数最值秒杀技巧（分式最优问题） 解题技巧：题干出现“平均成本最低、用料最省、分式和型最值”，优先对勾函数基本不等式求解，无需单调性讨论。 核心公式 ，当且仅当取最小值 【例5】求函数的最小值。 解析：，当时， 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·吉林·二模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】由题意可得，解得．令， 即，化简得，解得（舍去）． 2．（2026·湖南怀化·二模）某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】P与t的函数关系式为． 3．（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知在环境温度为时， 的体重为、脉搏率为210次， 故， 的脉搏率是105次，设其体重为t kg，则， 则，即，解得（kg）. 二、多选题 4．（2024·河南·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，每排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度变为原来的.由检验知该地下车库一氧化碳浓度（ppm）与排气时间（分钟）之间存在函数关系，其中（为常数）.已知空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，人可以安全进入车库.若刚好经过（分钟），人就可以安全进入车库了，则（   ） A． B． C． D．排气12分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为9ppm 【答案】ACD 【分析】由题意可设，再由已知列关于，的方程组，求出判断A与B；进一步求出的解析式，算出，判断C与D． 【详解】由题意可设，则，此时为常数， 由题意，，则，即， 所以，故A正确，B错误； 因为刚好经过（分钟），人就可以安全进入车库了， 所以，又由，得， ， 解得，所以，故C正确； ，故排气12分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为9ppm，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 5．（2023·贵州铜仁·模拟预测）牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型（t为时间，单位：分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过________分钟水温降为30℃（参考数据：）． 【答案】 【分析】代入数据，结合指数与对数性质运算即可得. 【详解】由题意，则，所以分钟． 故答案为：. 6．（2025·重庆·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定: 100ml 血液中酒精含量大于或者等于 且小于 认定为饮酒驾车，大于或者等于 80 mg 认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 . 如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少，那么他至少经过_____个小时后才能驾驶？（结果取整数. 参考数据:1g3 ≈ 0.48，1g7 ≈ 0.85） 【答案】 【分析】设至少经过个小时后才能驾驶，由题意有，两边同时取对数得，然后求解即可. 【详解】设至少经过个小时后才能驾驶，则有， 即，两边同时取对数得，即， 因为，所以， 所以，即至少经过个小时才能驾驶. 故答案为：. 7．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约__________万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 【答案】 【分析】把已知数据代入模型，求出对应的值即可． 【详解】根据题意，所给模型中， 则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为， 因为，所以， 所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块. 故答案为：36. 四、解答题 8．（2024·山东·二模）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米／时）满足下列关系：（，是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时）的关系图，如图所示. (1)求，的值； (2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度. 【答案】(1)， (2)行驶的最大速度为70千米时． 【分析】（1）把点，代入函数解析式，求解，的值即可； （2）令求出的取值范围即可． 【详解】（1）由图象可知，点，在函数图象上， ，解得， ，； （2）令，得， 解得， 又，    ， 即行驶的最大速度为70千米时． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·贵州贵阳·二模）某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型（其中y为感染人数，为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）．已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人．若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第（   ）天启动．（参考数据：，，） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】由题意可得，所以，所以. 由，得， 两边取自然对数得，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即. 所以最迟应在发现疫情后第7天启动． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）某新能源汽车研究机构发现，A款电动汽车的保值率（即使用t年后的二手车价格与新车指导价的比值）P随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型：，其中，a和b为常数.已知A款电动汽车使用2年后保值率为，使用4年后保值率为.若该车的保值率低于即被视为“大幅贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?（参考数据：，）（   ） A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 【答案】B 【详解】由题意，当时，， 根据题中数据，可列方程组，则，则， 即，所以，由，则， 所以该车大约在使用6年后会进入“大幅贬值”区间. 二、多选题 3．（2025·陕西·一模）记等比数列的公比为q，前n项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（   ） A． B．，，成等比数列 C．若，则数列的前n项和为 D．若，则存在正整数M，使得当时， 【答案】ACD 【分析】对于A，由，，成等差数列结合题意可判断选项正误； 对于B ，由A分析可得公比，即可判断选项正误； 对于C，由B分析可得，即可判断选项正误； 对于D，由指数函数与一次函数增长速度可判断选项正误. 【详解】对于A，因为，且，，成等差数列，所以，故A正确； 对于B，由，得，解得或，当时，，故B错误； 对于C，若，则，，所以， 所以的前n项和为，故C正确； 对于D，当时，，， 由于呈指数增长，而呈线性增长， 因此当n足够大时，必有，故D正确． 故选：ACD 三、填空题 4．（2024·河南洛阳·模拟预测）在高度为的竖直墙壁面上有一电子眼，已知到天花板的距离为，电子眼的最大可视半径为．某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为0.2m的木棒（木棒竖直下落且保持与地面垂直），则电子眼A记录到木棒通过的时间为______s．（注意：位移与时间的函数关系为，重力加速度取） 【答案】 【分析】由题意中的函数关系建立方程组，解之即可求解. 【详解】由已知得，木棒做自由落体运动， 设从开始下落到木棒的下端开始进入电子眼的视线和木棒的上端开始离开电子眼的视线所需要的时间分别为， 位移分别为， 所以，则， 所以电子眼A记录到木棒通过的时间为． 故答案为： 5．（2025·云南·一模）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，若在前消除了的污染物，当污染物减少时，所需时间约为_____（精确到，参考数据：，，）． 【答案】33 【分析】由题意列式，再根据指数化成对数，利用对数的运算即可得出结果. 【详解】由题意可知，当时，， 所以当污染物减少时，， 解得. 故答案为：33 四、解答题 6．（2024·浙江金华·模拟预测）太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k． (1)若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式； (2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？ 注：①蓄电池电能储存量； ②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用题目所给公式及数据计算即可得； （2）用S，k，Q表示出两种蓄电池的放电量后作差比大小即可得. 【详解】（1）， 若平方米，则； （2）由，即， 铅酸蓄电池的放电量为：， 锂离子蓄电池的放电量为：， 则 ， 令，可得， 即时，，此时应选择铅酸蓄电池， 当时，，此时应选择锂离子蓄电池， 当时，，两种电池都可以. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·山东烟台·二模）已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（   ） A．3万片 B．4万片 C．5万片 D．6万片 【答案】B 【详解】，将代入， 得， 整理得：， 两边取自然对数：， 解得：， 所以， 由，得， 即芯片投入量至少为4万片. 2．（2026·江苏南通·三模）社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.已知日销售量与每盒售价（元）满足关系式：，其中p为每盒售价，为每日销量.若要使每日销售利润最大，则每盒礼盒应定价为（    ） A．17.9元 B．18.9元 C．19.9元 D．20.9元 【答案】B 【分析】每日销售利润等于每盒利润乘以每日销量．先写出利润函数，对利润函数取对数，再利用导数判断最大值的位置，最后结合四个选项进行判断． 【详解】由题意，每盒进货成本为10元，每盒售价为元，所以每盒利润为 元． 每日销量为，且 ． 因此每日销售利润为． 因为 ，所以 ． 令，则 ． 求导得．令 ，得 ． 两边同乘，得 ． 整理得 ，解得或． 因为 ，所以只取 ． 当时， ，利润函数递增；当 时， ，利润函数递减． 所以利润函数在 时取得最大值． 在选项中，17.9元和18.9元都小于19.18元，且利润函数在此区间递增， 所以18.9元优于17.9元；19.9元和20.9元都大于19.18元，且利润函数在此区间递减， 所以19.9元优于20.9元．再比较18.9元和19.9元，代入利润函数可得18.9元对应的利润更大，故每盒礼盒应定价为18.9元． 二、多选题 3．（2026·河南·三模）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 【答案】ABD 【分析】对于A，根据分段函数定义可得当时，，，结合函数单调性即可判断；对于B，对每段函数分别求最大值即可判断；对于C，将代入函数计算函数值即可判断；对于D根据“运动后活跃期”定义求得满足的值即可判断. 【详解】对于A，当时，，则，其中，为正整数， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 因为单调递减，且为正整数，所以，故A正确； 对于B，当且时，， 所以当时，取得最大值：， 当且时，，， 因为在上单调递减，所以， 所以当时，取得最大值：， 综上，的最大值为124，故B正确； 对于C，当时，， 所以该运动员第9分钟时没有恢复到静息心率，故C错误； 对于D，当且时，， 当时，取得最小值，，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”， 当且时，， ，即， 所以，即，解得，所以有，， 综上，当且时，， 因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟，故D正确. 三、填空题 4．（2026·江苏·三模）某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量（单位：拷贝数/升）与时间（小时）的关系为，其中，为初始病毒载量，则病毒载量在_____小时达到峰值，之后病毒载量每经过1小时衰减为原来的倍，当低于时不具传染性，则从起，该病毒具有传染性的总时长为_____小时． 【答案】 4 32 【分析】分类讨论的范围得出的增减性，即可得出病毒载量达到峰值的时间；再分类讨论的范围，结合指数函数的单调性解不等式即可求解该病毒具有传染性的总时长． 【详解】当时，此时， 代入原函数指数部分：， 所以，， 已知，则， 所以当时，指数是关于的减函数， 因此在上单调递减， 当时，此时，代入原函数指数部分： ， 所以，， 同理得在上单调递增， 综合以上两种情况，在时单调递增，在时单调递减， 因此，病毒载量在时达到峰值． 在时，， 根据题意，对于任意，有：， 代入表达式：， 整理得，，， 所以， 病毒具有传染性的条件是，即， 整理得，， 当时，不等式变为：， 结合前提，得到； 当时，不等式变为：， 结合前提，得到， 综合两种情况，病毒具有传染性的时间段为， 题干要求计算从起的传染时长，即时间区间的长度， 故总时长为小时． 四、解答题 5．（2024·福建泉州·模拟预测）在相同的介质中，人们肉眼看到的光线总是呈直线运动的.由于光在不同的介质中的传播速度不同，因此在不同的介质中光会发生折射现象.在如图所示的平面直角坐标平面中，光在介质Ⅰ内点以入射角，速度在介质1内传播至轴上的点，而后以折射角，速度v在介质Ⅱ内传播至点. (1)将光从点A传播到点B的所需的时间关于x的函数的解析式； (2)费尔马认为：光总是沿着最节省时间的路线传播，设点B在x轴上的射影为C.根据费尔马的结论，解决以下问题： （i）证明：. （ii）若，，，求光线从点A传播到点B所经过路程的取值范围. 【答案】(1)，， (2)（i）证明过程见解析；（ii） 【分析】（1）由勾股定理得到，，表达出，； （2）（i）求导，结合零点存在性定理得到函数单调性，及存在唯一的，使得，结合费尔马的结论，当时，光线所经过的时间最短，由得到方程，结合，证明出结论； （ii）代入化简得到，，得到点的轨迹，光线从运动到点所经过的路程为. 【详解】（1）由勾股定理得，， 所以，， （2）（i）， 由于在上为增函数，在上为减函数， 故在上为增函数， 又，， 由零点存在性定理得，存在唯一的，使得， 且在上单调递减，在上单调递增， 据此，并运用费尔马的结论，当时，光线所经过的时间最短， 令得，， 故， 又，故； （ii）当，，时，， 整理得，， 故点的轨迹为长轴长为4，短轴长为的椭圆在坐标轴第四象限的部分， 光线从运动到点所经过的路程为， 其中，代入得 ； 故光线从点A传播到点B所经过路程的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标表示相关点的坐标，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标之间的直接关系难以找到时，往往先寻找与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； 1 学科网（北京）股份有限公司 $