上海市静安区2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷

高二数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 请注意： 1.本资料共21道题目. 2.本资料包括题目和答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，请在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，其中1——6题每题正确得4分,7——12题每题正确得5分，否则一律得零分. 1．一组数据10.22,10.24,10.25,10.35,10.35,10.50,10.53,10.80,10.90的中位数是 ． 2．已知圆的一般方程为，则圆的半径为 ． 3．已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的方程是 ． 4．若复数）（其中是虚数单位）的实部、虚部均为0~9 十个数字中的一个，则该复数为纯虚数的概率是 ． 5．已知6个球，其中3个白球，红、黄、黑球各1个，除了颜色外，球的形状大小材质等都一样.现将这6个球排成一排，则任意2个白球不排在一起的排法总数是 ． 6．已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则 的最小值为 ． 7．已知双曲线的标准方程为（其中，.若过两点（，0）、（0，）的直线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为 ． 8．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中取两个不同的数作为对数的真数N和底数，共可得 个不同的对数值． 9．已知单位圆与x轴相交于A、B两点，点M是直线上的任意一点，若，则实数的取值范围是 ． 10. 已知函数(常数)在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为 ． 11．若曲线与圆（>0）有且仅有一个交点，则= ． 12．若对任意、，函数都有，则的最小值为 ． 二、选择题(本大题满分18分)本大题共4题，每题有且只有一个正确答案，请在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，其中第13——14题选对得4分，第15——16题选对得5分，否则一律得零分. 13．求函数的导数，下列四个选项中正确的一项是（ ） A． B． C． D． 14．已知函数（）的导函数是，导函数的图像如图所示，则在内只有（ ） A．1个驻点 B．1个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 15．如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为、、、，其大小关系为（ ） A． B． C． D． 16．以连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标（m,n），，则点P落在直线和两坐标轴所围成的三角形区域（包括边界）的概率是（ ） A. B. C. D. . 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题4分，第3小题4分. 某高中学校高一年级有600人，高二年级有400人，高三年级有300人.为了了解该校高中学生课外阅读达标情况，统计该校高中学生每周用于课外阅读的时长.现按照年级分层随机抽取130名学生开展抽样调查. （1）在这项抽样调查中，总体是什么？样本量是多少？ （2）从高一、高二、高三各年级抽取的学生数分别是多少？ （3）经调查，抽取的高一年级学生中50人课外阅读达标，求从抽取的高一年级学生中随机抽取3人，这3名同学课外阅读全部达标的概率.（结果保留三位小数） 18．（本题满分14分）第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分. （1）若二项式的展开式中的系数是84，求实数的值； （3）若（其中为正整数）的展开式中含有常数项，求的最小值； （2）设，已知，求展开式中的常数项. 19．（本题满分14分）第1小题4分，第2小题10分. 已知椭圆：（）. （1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； （2）若=2，过点P（2,1）作斜率为的直线l，依次交椭圆于M、N两点，且点M在第一象限.设A（0,1），连接AM延长交x轴于T点，记△ANT的面积为，△OMT的面积为（O为坐标原点），求. 20．（本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为.设直线与双曲线相交于不同两点、. （1）求双曲线的方程； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，且、两点都在双曲线的右支上，设线段AB的中点为M，斜率为的直线经过点M.试将直线在轴上的截距m表示成关于的函数，求出该函数表达式并求出函数的值域. 21．（本题满分18分） 第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 设函数在区间I上可导，若对任意，都有，则称函数在区间I上具有“非负增长性质” . （1）设，若函数在上具有“非负增长性质”，求实数的取值范围； （2）设，试判断函数在区间上是否具有“非负增长性质” ？并说明理由； （3）设，已知函数在其定义域上具有“非负增长性质”.设、（）是曲线上的两点，过点、分别作曲线的切线，设两条切线的交点为，若点的纵坐标大于2，求的最小整数值. 参考答案 1．10.35 2．1 3． 4． 5． 6．4 7．2 8．53 9． 10． 11． 12． 13．A 14．C 15．B 16．D 17．解：（1）该高中学校每名学生每周用于课外阅读的时长组成该项抽样调查的总体，……3分 样本量是130．……6分 （对总体的描述只要意思正确都对。例如将“学校每名学生”写成“学校所有学生”“该校高中学生”等。该小题得分是0，3，6，应没有其他得分情况） （2）抽取高一年级学生60名，高二年级学生40名，高三年级学生30名．10分 （3），抽取的这3名同学课外阅读全部达标的概率是0.573……14分 （0.5727644652）（式子和结果分步骤给分，各2分） 18．解：（1）．…2分 当时，． 由的系数是84得，，所以．……4分 （2），……6分 展开式中含有常数项，则存在r使得，……7分 ，由于n为正整数且关于r递增，当时，n最小，值为5．……9分 （3），即，所以，……11分 此时，按照乘法运算的分配律，的常数项由两部分构成：x与展开式中含项的乘积，与展开式中含x项的乘积．……12分 的通项， 展开式中含项为；展开式中含x项为． 于是展开式中的常数项为．……14分 19．解：（1）：因为，所以焦点在x轴上，，……2分 所以椭圆的方程为；……4分 （2）直线l方程为，……6分 代入椭圆方程，得，……8分 解得两点的坐标分别为，…10分 ，所以．……14分 20．解：（1）因为是双曲线，所以，两条渐近线的法向量分别可取，夹角为或， 由向量夹角公式，解得或．……3分 所以双曲线的方程为或；……4分 （2）若，则双曲线的方程为，将直线代入双曲线方程得，，……6分 方程有两不号实数根，所以，……8分 所以．……10分 （3）设，由假设两点都在双曲线的右支上，所以且，解得……12分 设中点M坐标，则， 于是直线的方程为：，……14分 令得在y轴上的截距，所以截距m表示成关于k的函数表达式为，……16分 ，得驻点，当时，m关于k递增，且当时，；当时，，所以此函数的值域为，……18分 21．略 学科网（北京）股份有限公司 $