第01讲 集合的概念与表示（知识详解+9典例精讲+课后作业）讲义-2026年暑假新高一预习数学苏教版必修第一册

第01讲 集合的概念与表示（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：集合的相关概念 知识点02：集合的表示 知识点03：集合相等及分类、集合元素的特性 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断元素能否构成集合 题型02：元素与集合关系判断 题型03：利用集合元素的互异性求参数 题型04：描述法表示集合 题型05：列举法表示集合 题型06：根据集合相等关系进行计算 题型07：集合的分类 题型08：常用数集或数集关系 题型09：空集的概念以及判断 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】集合的相关概念 1.集合:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.通常用大写拉丁字母来表示集合. 元素:集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.通常用小写拉丁字母来表示集合的元素. 2.常用数集及表示符号 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数 集 记法 N N*或N+ Z Q R 3.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A a∈A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A a∉A 或aA a不属 于A 温馨提示　元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写. 【例1】判断下列关系是否正确，并说明理由： 1. 2. 3. 4. 【知识点02】集合的表示 1.列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{　}”内的表示集合的方法称为列举法. 温馨提示　(1)集合中的元素之间用逗号分隔,元素不重复,元素无顺序. (2)元素个数较少时,把元素一一列举并用“{　}”括起来即可;元素个数较多且有明显规律时,可用列举法,但必须把规律显示清楚,然后加省略号. 2.描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式,这样表示集合的方法称为描述法. 温馨提示　(1)用描述法表示集合时,应写清楚该集合中元素的代表符号,并用简明、准确的语言描述集合的特征性质. (2)从上下文的关系来看,若元素的取值(或变化)范围是明确的,则可省略不写. 3.为了直观地表示集合,我们常画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn图. 【例2】分别用列举法和描述法表示下列集合：大于-3且小于4的所有整数构成的集合。 【知识点03】集合相等及分类、集合元素的特性 1.集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素),那么称这两个集合相等. 2.集合的分类 含有有限个元素的集合称为有限集,含有无限个元素的集合称为无限集,不含任何元素的集合称为空集,记作⌀. 3.集合元素的三大特性 确定性:集合中的元素都是确定的. 互异性:集合中的任两个元素都不相同. 无序性:集合中的元素没有顺序. 【例3】已知集合，集合，若，求实数的值。 【题型01】判断元素能否构成集合 【典例1-1】（25-26高一上·江苏盐城·期中）下列集合表示正确的是（    ） A． B． C． D．是高个子的男生 【变式1-1】（2024高一上·江苏·专题练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 【变式1-2】（25-26高一·江苏·寒假作业）下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【变式1-3】（多选）（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）考察下列每组对象，能构成集合的是（    ） A．中国各地的美丽乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．方程的根 【题型02】元素与集合关系判断 【典例2-1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知集合M是由平面直角坐标系中所有第二象限的点组成的集合，则2________M；________M；________M.(填“”或“”) 【变式2-2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，下列的取值满足的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知下面的两个实例： （1）用A表示高一（3）班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 【题型03】利用集合元素的互异性求参数 【典例3-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3-2】若集合，则________． 【变式3-3】已知集合，若，求实数a的取值集合． 【题型04】描述法表示集合 【典例4-1】由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（    ） A．{x|-3<x<11，x∈Z} B．{x|-3<x<11} C．{x|-3<x<11，x=2k} D．{x|-3<x<11，x=2k，k∈Z} 【变式4-1】（23-24高一上·江苏·课后作业）用描述法表示下列集合 （1）所有正偶数组成的集合_____________； （2）被9除余2的数组成的集合_______． 【变式4-2】（多选）（23-24高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式4-3】试用描述法表示下列集合. (1)大于3的全体偶数构成的集合； (2)平面直角坐标系中，轴上的所有点. 【题型05】列举法表示集合 【典例5-1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）集合，用列举法表示集合___________． 【变式5-3】（23-24高一·江苏·暑假作业）已知集合关于的方程有唯一实数解，试用列举法表示集合． 【题型06】根据集合相等关系进行计算 【典例6-1】已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 【变式6-1】（24-25高一上·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【变式6-2】设，集合，若，则__________. 【变式6-3】已知集合，，若，求的值． 【题型07】集合的分类 【典例7-1】设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【变式7-1】设集合M＝{大于0小于1的有理数}， N＝{小于1050的正整数}， P＝{定圆C的内接三角形}， Q＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是（    ） A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q 【变式7-2】（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 【变式7-3】判断下列集合是有限集还是无限集． （1）年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人组成的集合；______ （2）所有正方形组成的集合；______ （3）直线上的所有点组合的集合；______ （4）不大于9的所有非负整数组成的集合．______ 【题型08】常用数集或数集关系 【典例8-1】（25-26高一上·浙江台州·期中）下列关系中正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-1】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-2】（多选）（24-25高一上·四川成都·阶段检测）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知①；②；③④，其中正确的为______（填序号）. 【题型09】空集的概念以及判断 【典例9-1】下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B．，且 C． D． 【变式9-1】下列集合中，结果是空集的是(    ) A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1} C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1} 【变式9-2】下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若A为空集，求实数a的取值范围； 知识点01核心基础概念 1. 元素与集合定义 元素：研究对象，用小写字母 表示 集合：元素组成的总体，用大写字母 表示 2. 元素与集合的关系（必考） 关系 符号 读法 示例 属于 属于 不属于 不属于 关键提醒：元素和集合之间只有属于、不属于两种关系，不存在大小、包含关系 知识点02集合中元素的三大特性（考试核心考点） 确定性：判断标准清晰，一个对象要么属于集合，要么不属于集合。 反例：好看的风景、个子高的同学（无标准，不能构成集合） 互异性：集合中任意两个元素互不相同，无重复元素。 应用：含参数集合求出参数后，必须检验互异性，考试高频扣分点 无序性：集合元素排列无先后顺序，。 应用：判断集合相等无需看元素顺序 知识点03常用数集符号（必背，不可写错） 自然数集（非负整数集）： （包含数字0） 正整数集： 或 （不包含数字0） 整数集： 有理数集： 实数集： 易错区分： 有0， 无0；分数、有限小数属于有理数，无限不循环小数属于无理数。 知识点04集合的两种表示方法（考试必考互换） 1. 列举法 格式： 适用场景：元素个数有限、数量较少的集合 示例：小于4的正整数构成的集合： 2. 描述法 标准格式： 适用场景：元素无限多、无法一一列举的集合 示例：大于2的实数组成的集合： 书写规范禁忌 花括号内禁止加“全体、所有”字样 描述法必须标注元素范围（如、） 知识点05集合相等与集合分类 1. 集合相等 若集合与集合所含全部元素完全相同，则。 核心要点：与元素排列顺序无关，只看元素本身。 2. 集合分类 有限集：元素个数有限 无限集：元素个数无限 空集：不含任何元素的集合，记作； 知识点06本节高频易错点汇总（预习避坑） 易错1：混淆和，切记自然数集包含0 易错2：误写，空集没有任何元素，0不属于空集 易错3：忽略集合互异性，含参题目算出参数后不检验，导致答案错误 易错4：描述法书写不规范，缺少元素取值范围，集合含义模糊 易错5：认为集合元素有序，判断集合相等时纠结元素前后位置 一、单选题 1．（24-25高一上·福建莆田·阶段检测）下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 4．（24-25高一上·江苏泰州·阶段检测）已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中的元素是的两条边的边长，则（    ） A．一定不是等腰三角形 B．一定不是直角三角形 C．一定不是等边三角形 D．一定不是钝角三角形 6．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 7．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 9．（25-26高一上·广东清远·阶段检测）下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知集合A中元素满足，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏盐城·阶段检测）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 三、填空题 12．下列集合中________是有限集，________是无限集(填序号). （1）由小于8的正奇数组成的集合； （2）大于5小于20的实数组成的集合. 13．若集合是空集，则实数的值为________ 14．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知集合，，若，则实数的值为______. 四、解答题 15．（25-26高一上·河南信阳·开学考试）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合. 16．若某含有三个元素的集合可表示为，也可表示为，求实数a和b的值． 17．（25-26高一上·全国·课堂例题）不包含， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，用列举法表示集合A. 18．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 19．（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合的概念与表示（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：集合的相关概念 知识点02：集合的表示 知识点03：集合相等及分类、集合元素的特性 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断元素能否构成集合 题型02：元素与集合关系判断 题型03：利用集合元素的互异性求参数 题型04：描述法表示集合 题型05：列举法表示集合 题型06：根据集合相等关系进行计算 题型07：集合的分类 题型08：常用数集或数集关系 题型09：空集的概念以及判断 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】集合的相关概念 1.集合:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.通常用大写拉丁字母来表示集合. 元素:集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.通常用小写拉丁字母来表示集合的元素. 2.常用数集及表示符号 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数 集 记法 N N*或N+ Z Q R 3.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A a∈A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A a∉A 或aA a不属 于A 温馨提示　元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写. 【例1】判断下列关系是否正确，并说明理由： 1. 2. 3. 4. 解：1.：正确，自然数集包含0和所有正整数，0属于自然数集。 2.：错误，代表正整数集，只包含1,2,3…，负数不属于正整数集。 3.：正确，有理数为整数和分数统称，是无限不循环小数，属于无理数，不属于有理数集。 4.：正确，实数集包含有理数和无理数，是无理数，属于实数集。 【知识点02】集合的表示 1.列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{　}”内的表示集合的方法称为列举法. 温馨提示　(1)集合中的元素之间用逗号分隔,元素不重复,元素无顺序. (2)元素个数较少时,把元素一一列举并用“{　}”括起来即可;元素个数较多且有明显规律时,可用列举法,但必须把规律显示清楚,然后加省略号. 2.描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式,这样表示集合的方法称为描述法. 温馨提示　(1)用描述法表示集合时,应写清楚该集合中元素的代表符号,并用简明、准确的语言描述集合的特征性质. (2)从上下文的关系来看,若元素的取值(或变化)范围是明确的,则可省略不写. 3.为了直观地表示集合,我们常画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn图. 【例2】分别用列举法和描述法表示下列集合：大于-3且小于4的所有整数构成的集合。 解：步骤1：筛选符合条件的整数 满足的整数为： 步骤2：列举法表示 直接罗列全部元素： 步骤3：描述法表示 明确元素为整数，写出约束条件： 【知识点03】集合相等及分类、集合元素的特性 1.集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素),那么称这两个集合相等. 2.集合的分类 含有有限个元素的集合称为有限集,含有无限个元素的集合称为无限集,不含任何元素的集合称为空集,记作⌀. 3.集合元素的三大特性 确定性:集合中的元素都是确定的. 互异性:集合中的任两个元素都不相同. 无序性:集合中的元素没有顺序. 【例3】已知集合，集合，若，求实数的值。 解：步骤1：根据集合相等列等式 因为，两集合元素完全相同，集合已有元素2、4，因此剩余元素满足： 步骤2：解一元二次方程 由求根公式可得： 步骤3：检验集合元素互异性 将两个根代入，结果均为3，集合，无重复元素，符合互异性要求。 【题型01】判断元素能否构成集合 【典例1-1】（25-26高一上·江苏盐城·期中）下列集合表示正确的是（    ） A． B． C． D．是高个子的男生 【答案】A 【分析】根据集合的定义，以及集合中元素的互异性，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】根据集合的定义，以及集合中元素的互异性，可得： 对于A，可以表示为一个集合； 对于B，不能表示为一个集合； 对于C，不能表示为一个集合； 对于D，是高个子的男生中的元素不确定，所以不能表示为一个集合. 故选：A. 【变式1-1】（2024高一上·江苏·专题练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 【答案】C 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体电竞选手是确定的，可以构成集合； 对于B，小于的正整数是确定的，可以构成集合； 对于C，2023年高考数学难题，难题的标准是不确定的，不能构成集合； 对于D，所有无理数都是确定的，能构成集合， 故选：C 【变式1-2】（25-26高一·江苏·寒假作业）下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【答案】C 【分析】根据集合元素的特点判断即可． 【详解】对于ABD，羽毛球打得好，幽默的学生，学生感兴趣的学科， 都没有一个标准，对象不确定，故ABD错误； 对于C，2025级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确． 故选：C． 【变式1-3】（多选）（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）考察下列每组对象，能构成集合的是（    ） A．中国各地的美丽乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．方程的根 【答案】BCD 【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可. 【详解】对于A，美丽乡村不具有确定性，错误， 对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点，是确定的，正确， 对于C，不小于3的自然数，是确定的，正确， 对于D，解方程， 平方可得：， 移项平方可得：，即，元素确定，正确， 故选：BCD 【题型02】元素与集合关系判断 【典例2-1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得集合，再根据元素与集合关系即可求解． 【详解】由题可知，， 所以，故A正确；，故B错误； 因为集合中元素为，而非集合，故CD错误． 【变式2-1】已知集合M是由平面直角坐标系中所有第二象限的点组成的集合，则2________M；________M；________M.(填“”或“”) 【答案】 【分析】由集合中元素的特征，判断元素与集合的关系. 【详解】集合M中的元素是第二象限的点，而2是实数，故. 点是第二象限内的点，故. 而在第一象限，故. 故答案为：；；. 【变式2-2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，下列的取值满足的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的表示方法，逐一分析选项，根据是否属于判定是否满足集合的条件，从而确定的选项． 【详解】选项A：当时，，解得，，； 选项B：当时，，解得，，； 选项C：当时，，解得，，； 选项D：当时，，解得，，． 故选：A． 【变式2-3】已知下面的两个实例： （1）用A表示高一（3）班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 【答案】a是集合A中的元素，b不是集合A中的元素. 【分析】根据元素与集合的关系进行判断. 【详解】因为A表示高一（3）班全体学生组成的集合，a表示高一（3）班的一位同学，所以a是集合A中的元素； 因为b表示高一（4）班的一位同学，所以b不是集合A中的元素. 【题型03】利用集合元素的互异性求参数 【典例3-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 【变式3-1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】ABD 【分析】将四个选项逐一代入验证是否满足集合的三个特性即可. 【详解】当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，A错； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，B错； 当时，对应的值分别为，元素满足的互异性，能构成集合，C对； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，D错. 故选：ABD 【变式3-2】若集合，则________． 【答案】 【分析】根据元素的互异性原则即可求解. 【详解】解：由题意得： 集合 显然，， 故答案为： 【变式3-3】已知集合，若，求实数a的取值集合． 【答案】 【分析】让集合中每个元素等于1，求出值，然后检验是否符合互异性即可得 【详解】解：因为，所以 ①若，解得，此时集合为，元素重复，所以不成立，即 ②若，解得或，当时，集合为，满足条件，即成立． 当时，集合为，元素重复，所以不成立，即 ③若，解得或，由①②知都不成立． 所以满足条件的实数的取值集合为 【题型04】描述法表示集合 【典例4-1】由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（    ） A．{x|-3<x<11，x∈Z} B．{x|-3<x<11} C．{x|-3<x<11，x=2k} D．{x|-3<x<11，x=2k，k∈Z} 【答案】D 【分析】逐一分析各个选项，用不等式表示题中描述的内容，在利用描述法即可得出答案. 【详解】解：大于-3且小于11的偶数，可表示为-3<x<11，x=2k，k∈Z， 所以由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是{x|-3<x<11，x=2k，k∈Z}，故D符合题意； 对于A，集合表示的是大于-3且小于11的整数，不符题意； 对于B，集合表示的是大于-3且小于11的数，不符题意； 对于C，集合表示的是大于-3且小于11的数，，但不一定是整数，不符题意. 故选：D. 【变式4-1】（23-24高一上·江苏·课后作业）用描述法表示下列集合 （1）所有正偶数组成的集合_____________； （2）被9除余2的数组成的集合_______． 【答案】 【分析】（1）（2）根据描述写出所有正偶数、被9除余2的数，即可得对应集合. 【详解】（1）令，则所有正偶数为，故所有正偶数组成的集合为； （2）令，则被9除余2的数为，故被9除余2的数组成的集合为. 故答案为：；. 【变式4-2】（多选）（23-24高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】AC 【分析】根据题意依次讨论当为时，集合中的元素个数. 【详解】当时，满足的有，即集合中有8个元素，符合题意，故A正确； 当时，满足的有，即集合中有4个元素，不符合题意，故B错误； 当时，满足的有，即集合中有8个元素，符合题意，故C正确； 当时，满足的有，即集合中有6个元素，不符合题意，故D错误. 故选：AC. 【变式4-3】试用描述法表示下列集合. (1)大于3的全体偶数构成的集合； (2)平面直角坐标系中，轴上的所有点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用描述法得到答案. （2）直接利用描述法得到答案. 【详解】（1）大于3的全体偶数构成的集合为. （2）平面直角坐标系中，轴上的所有点为 【题型05】列举法表示集合 【典例5-1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合得的值即可求解. 【详解】由得，，即， 又，∴ 故. 故选：C. 【变式5-1】方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集. 【详解】由，解得， 所以方程组的解构成的集合是. 故选：D 【变式5-2】（25-26高一上·江苏泰州·阶段检测）集合，用列举法表示集合___________． 【答案】 【分析】由求得，结合条件求得答案. 【详解】由，得，所以，又，且， 的取值为. . 故答案为：. 【变式5-3】（23-24高一·江苏·暑假作业）已知集合关于的方程有唯一实数解，试用列举法表示集合． 【答案】.，， 【分析】当时化方程为．由判别式为0得，当时，当时，验证有唯一实数解，由此能求出结果． 【详解】当时，化方程为． 方程有唯一实数根， 由判别式为零可得，得， 此时的解为，符合题意． 当时，有唯一实数解． 当时，有唯一实数解． ，，． 【题型06】根据集合相等关系进行计算 【典例6-1】已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】根据求得，由此求得. 【详解】由于， 所以对于集合有或. 若，则，此时符合题意，. 若，则集合不满足互异性，不符合. 所以的值为. 故选：A 【变式6-1】（24-25高一上·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 【变式6-2】设，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. 【变式6-3】已知集合，，若，求的值． 【答案】 【分析】结合，寻找元素的对应关系，显然不成立，故只能，化简集合，解得参数即可求解的值． 【详解】因为，集合中有一元素为0，显然不成立，故只能，此时，，故满足，解得，经检验，故. 【题型07】集合的分类 【典例7-1】设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【答案】D 【分析】先依据集合A限制条件判定其为是有限集；再依据集合B限制条件判定其为无限集，进而得到正确答案. 【详解】集合A：周长为4cm的正方形，可以解得边长1cm，这样的正方形只有1个． 所以为有限集． 集合B：面积为4cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个， 所以为无限集． 故选：D． 【变式7-1】设集合M＝{大于0小于1的有理数}， N＝{小于1050的正整数}， P＝{定圆C的内接三角形}， Q＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是（    ） A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q 【答案】B 【分析】利用集合中元素的个数有限与无限进行判断，即可得出结论． 【详解】解：集合M＝{大于0小于1的有理数}，是无限集， N＝{小于1050的正整数}，是有限集， P＝{定圆C的内接三角形}，是无限集， Q＝{所有能被7整除的数}，是无限集， 故选：B． 【变式7-2】（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 【答案】ABC 【分析】不超过的正整数有1，2，3，据此可以判断A；平方后等于自身的数有0和1，据此可以判断B；高一（2）班体重在55以上的同学个数一定，据此可以判断C；所有小于2的整数有无数个，据此可以判断D. 【详解】对于A，不超过的正整数有1，2，3，构成的集合是有限集，A对； 对于B，平方后等于自身的数有0和1，构成的集集合是有限集，B对； 对于C，高一（2）班中体重在以上的同学人数一定，构成的集合是有限集，C对； 对于D，所有小于2的整数有无数个，因此构成的集合属于无限集. 故选：ABC. 【变式7-3】判断下列集合是有限集还是无限集． （1）年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人组成的集合；______ （2）所有正方形组成的集合；______ （3）直线上的所有点组合的集合；______ （4）不大于9的所有非负整数组成的集合．______ 【答案】 有限集 无限集 无限集 有限集 【分析】根据集合的元素一一判断即可； 【详解】解：（1）年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人只有有限个，故年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人组成的集合为有限集； （2）正方形有无数多个，故所有正方形组成的集合为无限集； （3）直线上有无数个点，故直线上的所有点组合的集合为无限集； （4）不大于9的所有非负整数组成的集合，故不大于9的所有非负整数组成的集合为有限集； 故答案为：有限集；无限集；无限集；有限集； 【题型08】常用数集或数集关系 【典例8-1】（25-26高一上·浙江台州·期中）下列关系中正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用常用数集的意义逐一判断即可. 【详解】依题意，，①正确；，②错误；，③错误；，④错误， 因此正确命题的个数是1. 故选：A 【变式8-1】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①：是实数，是实数集，所以，①正确； 对于②：是整数，是整数集，所以，②正确； 对于③：是负整数，是正整数集，所以，③正确； 对于④：是无理数，是有理数集，所以，④错误. 故选：C. 【变式8-2】（多选）（24-25高一上·四川成都·阶段检测）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据常用数集的符号判断元素是否属于集合. 【详解】对于选项，为实数，即，则正确； 对于选项，为无理数，不是有理数，即，则正确； 对于选项，为负整数，不是正整数，即，则错误； 对于选项，是无理数，不是整数，即，则错误； 故选： . 【变式8-3】已知①；②；③④，其中正确的为______（填序号）. 【答案】①③ 【分析】由元素与集合的关系直接判断即可. 【详解】；；；，故①③正确. 故答案为：①③ 【题型09】空集的概念以及判断 【典例9-1】下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B．，且 C． D． 【答案】B 【解析】根据空集的定义判断． 【详解】A中有元素0，B中集合没有任何元素，为空集，C中有元素1，D中集合，大于4的实数都是其中的元素． 故选：B． 【变式9-1】下列集合中，结果是空集的是(    ) A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1} C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1} 【答案】D 【分析】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断. 【详解】A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集； C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数， 即：{x|x>6且x<1}=. 故选：D 【变式9-2】下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断. 【详解】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 【变式9-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若A为空集，求实数a的取值范围； 【答案】； 【分析】根据给定条件，利用空集的意义列式作答； 【详解】因是空集，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 知识点01核心基础概念 1. 元素与集合定义 元素：研究对象，用小写字母 表示 集合：元素组成的总体，用大写字母 表示 2. 元素与集合的关系（必考） 关系 符号 读法 示例 属于 属于 不属于 不属于 关键提醒：元素和集合之间只有属于、不属于两种关系，不存在大小、包含关系 知识点02集合中元素的三大特性（考试核心考点） 确定性：判断标准清晰，一个对象要么属于集合，要么不属于集合。 反例：好看的风景、个子高的同学（无标准，不能构成集合） 互异性：集合中任意两个元素互不相同，无重复元素。 应用：含参数集合求出参数后，必须检验互异性，考试高频扣分点 无序性：集合元素排列无先后顺序，。 应用：判断集合相等无需看元素顺序 知识点03常用数集符号（必背，不可写错） 自然数集（非负整数集）： （包含数字0） 正整数集： 或 （不包含数字0） 整数集： 有理数集： 实数集： 易错区分： 有0， 无0；分数、有限小数属于有理数，无限不循环小数属于无理数。 知识点04集合的两种表示方法（考试必考互换） 1. 列举法 格式： 适用场景：元素个数有限、数量较少的集合 示例：小于4的正整数构成的集合： 2. 描述法 标准格式： 适用场景：元素无限多、无法一一列举的集合 示例：大于2的实数组成的集合： 书写规范禁忌 花括号内禁止加“全体、所有”字样 描述法必须标注元素范围（如、） 知识点05集合相等与集合分类 1. 集合相等 若集合与集合所含全部元素完全相同，则。 核心要点：与元素排列顺序无关，只看元素本身。 2. 集合分类 有限集：元素个数有限 无限集：元素个数无限 空集：不含任何元素的集合，记作； 知识点06本节高频易错点汇总（预习避坑） 易错1：混淆和，切记自然数集包含0 易错2：误写，空集没有任何元素，0不属于空集 易错3：忽略集合互异性，含参题目算出参数后不检验，导致答案错误 易错4：描述法书写不规范，缺少元素取值范围，集合含义模糊 易错5：认为集合元素有序，判断集合相等时纠结元素前后位置 一、单选题 1．（24-25高一上·福建莆田·阶段检测）下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据自然数集、整数集、有理数集、正整数集的定义判断各选项中元素与集合的关系. 【详解】对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为是无理数，所以，故B错误； 对于C，因为0是自然数，所以，故C正确； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【分析】根据集合的概念逐项分析即可得结论. 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 4．（24-25高一上·江苏泰州·阶段检测）已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 【答案】A 【分析】由题意得或，解方程，由集合元素的互异性即可求. 【详解】因为， 所以或， 当即时，，不符合集合元素的互异性， 故不符合题意，舍； 当即（舍）或时，，符合题意， 故的值为. 故选：A 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中的元素是的两条边的边长，则（    ） A．一定不是等腰三角形 B．一定不是直角三角形 C．一定不是等边三角形 D．一定不是钝角三角形 【答案】C 【分析】由集合中元素的互异性即可得解. 【详解】由集合中元素的互异性可得，故一定不是等边三角形，故C正确； 可取，设中，，另一边为， 若，则，此时是等腰三角形，故A错误； 若，则有，即，此时是直角三角形，故B错误； 若，则有，即，此时是钝角三角形，故D错误. 故选：C. 6．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】分类讨论，得到方程组，结合元素互异性，得到，求出答案. 【详解】由， 若，解得，此时中元素不满足互异性，舍去； 若，解得或， 当时，中元素不满足互异性，舍去； 当时，中元素满足互异性，所以. 故选：A 7．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合，求解中的元素，即可求出集合. 【详解】因为，所以. 故选：C. 8．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等结合集合的互异性求，代入即可得结果. 【详解】因为， 可知，且，可得， 即，可得，且，解得， 代入，检验符合题意，所以. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一上·广东清远·阶段检测）下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据，，及的范围，对各选项进行判定即可． 【详解】表示实数集，故，故A正确； 表示有理数集，，故B错误； 表示正整数集，，故C错误； 表示整数集，，故D正确． 故选：BC 10．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知集合A中元素满足，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】逐一代入检验，验证是否存在即可. 【详解】令，解得，，，A正确； 令，解得，，，B正确； ，，故C正确； 令，解得，，，D错误. 故选：ABC. 11．（23-24高一上·江苏盐城·阶段检测）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可. 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 三、填空题 12．下列集合中________是有限集，________是无限集(填序号). （1）由小于8的正奇数组成的集合； （2）大于5小于20的实数组成的集合. 【答案】 （1） （2） 【分析】根据有限集和无限集的概念可得答案. 【详解】（1）因为小于8的正奇数有1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集. （2）因为大于5小于20的实数包括整数、小数等，有无数个，所以其组成的集合是无限集. 故答案为：（1）；（2）. 【点睛】本题考查了有限集和无限集的概念，属于基础题. 13．若集合是空集，则实数的值为________ 【答案】0 【分析】根据题意可知：方程无解即可. 【详解】由题意可得： 方程无解， 所以. 故答案为：0 【点睛】本题考查了空集的概念，属于基础题. 14．（25-26高一上·甘肃白银·期中）已知集合，，若，则实数的值为______. 【答案】1 【分析】由有，解出即可. 【详解】若，则，解得.故实数的值为1. 故答案为：1. 四、解答题 15．（25-26高一上·河南信阳·开学考试）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表述集合用列举法即可表示； （2）根据表述集合用描述法即可表示； （3）根据表述集合用描述法即可表示. 【详解】（1）用列举法：. （2）用描述法：. （3）用描述法：. 16．若某含有三个元素的集合可表示为，也可表示为，求实数a和b的值． 【答案】a＝－1，b＝0． 【分析】由可得，则，进而可得，即，最后根据集合中元素的互异性分析即可得. 【详解】解：由题意，则有或， 又由可得，则， 所以，， 所以，即， 若，则，与集合中元素互异性相矛盾，不合题意； 若，则，，，符合题意. 综上，a＝－1，b＝0． 17．（25-26高一上·全国·课堂例题）不包含， 0， 1的实数集A满足条件：若，则．如果，用列举法表示集合A. 【答案】 【分析】利用迭代法，将所得的数依次代入，即可求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 开始循环， 综上，． 18．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 【答案】(1)和； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据集合的定义验证； （2）由，证明且即可． 【详解】（1）由已知,,0,均是集合中元素， 又，，无意义， ， 所以和属于； （2）因为，则， 设， 则， 而，，所以， 又，所以, 所以． 19．（24-25高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $