精品解析：2026年河南平顶山市鲁山县第三协作区九年级中考第三次阶段测试数学试题

2026年中考学科第三次调研考试 数学 考生注意： 1．答题前，请将姓名和准考证号用黑色字迹的签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共8页，考试时间100分钟，满分120分． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，用黑色字迹的签字笔将答案写在答题卡指定区域内，作图可用2B铅笔．写在本试卷或草稿纸上的答案一律无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的) 1. 下列四个实数中，比2大的无理数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：不是无理数， ∵， ∴， 即比2大的无理数为． 2. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图是从几何体的左面看到的图形，进行分析，即可作答． 【详解】解：该几何体的左视图是． 3. 据测算，2026年河南省首批20项“揭榜挂帅”项目全部完成后，可新增年销售收入亿元．数据亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：亿． 4. 如图，直线相交于点，平分，平分，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到，根据平角的定义得到，继而根据角平分线的定义得到． 【详解】解：平分， ， 直线相交于点， ， 平分， ． 5. 一元二次方程．的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 根的个数与m的值有关 【答案】D 【解析】 【分析】求出判别式，进行判断即可. 【详解】解：由题意，， 故判别式的大小与m的值有关， 故一元二次方程根的情况也与m的值有关． 6. 如图，在中，是的中位线，的外角平分线交的延长线于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位线的性质得出，，，根据平行线的性质，结合角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，进而得出，根据中位线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴，，， ∴， ∵的外角平分线交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 若，，且，则代数式可化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先处理第一个括号内的分式，因为分母为且，所以可以对分子因式分解后约分，得到化简结果，再处理中括号内的分式乘法，因为x≠0，所以可以约去分子分母的公因式，同时注意和互为相反数，计算出乘积结果，最后将除法转化为乘法，得到最终化简结果． 【详解】 ． 8. 开封有5个著名景区：开封市博物馆、清明上河园、万岁山武侠城、龙亭景区、朱仙镇启封故园．某游客计划从这5个景区中随机选择2个游玩，每个景区被选中的机会均等．则选中的这2个景区恰好是“清明上河园”与“万岁山武侠城”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意画出树状图，得到所有等可能结果数以及满足题意的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：将开封市博物馆、清明上河园、万岁山武侠城、龙亭景区、朱仙镇启封故园分别记为A、B、C、D、E．从这5个中随机选择2个，根据题意画树状图如下： 共有20种等可能的结果，选到“清明上河园”与“万岁山武侠城”（B与C）有2种结果、则概率为． 9. 如图，扇形中，，点C在半径上，沿折叠，圆心O落在上，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，然后证明是等腰直角三角形，最后根据求解即可． 【详解】连接，如图， 由折叠可得， ∴， 是等边三角形， ， ∵ ， 由折叠可得，，， 是等腰直角三角形， ， ． 10. 如图，为等边三角形，边长为，矩形的长和宽分别为和点C和点E重合，点A，，F在同一条直线上，令矩形不动，等边三角形以每秒1cm的速度向右移动，当点C与点F重合时停止移动，设移动x秒后，等边三角形与矩形重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. E. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移可知：，分三种状态讨论：①设与交于点H，画出图形，表示出，即可表示出，再求出此时自变量的取值范围，此时y与x的函数图象可得；②设交于点K，过点K作于点J，画出图形，先求出，，即可表示出，，当点D在线段上时，求出临界条件下的值，即可得出自变量的取值范围，根据梯形的面积公式可得此时y与x的函数图象；③结合②中自变量的范围，可直接得出此时自变量的取值范围，画出图形，设与交于点M，与交于点N，交于点P，过点N作于点Q，先求出，，即有，表示出，即有，根据，此时y与x的函数图象可得，问题得解． 【详解】根据平移可知：， ①如图1，设与交于点H， 是等边三角形， ， ， ， 如图可知：， ∴，即， ∴此时y与x的函数图象是开口向上的抛物线且； ②如图2，当时，设交于点K，过点K作于点J， 是等边三角形， ， ， ，， ，， 当点D在线段上时， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 此时 ， ， ，即：， 根据梯形的面积公式有：， ∴此时y与x的函数图象是一条线段且； ③如图3，当时，设与交于点M，与交于点N，交于点P，过点N作于点Q， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ，，，， ， ， ， ∴此时y与x的函数图象是开口向下的抛物线且． 故选D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，满分15分) 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，的：， ∴； 故答案为：． 12. 满足不等式组的整数解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，然后在解集中确定整数解即可． 【详解】解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴不等式组的解集为． ∴满足不等式组的整数解为． 13. 河南省“校园非遗文化展演”评比中，评分项目“队列展示”、“精神风貌”、“非遗创意”依次按照计算综合成绩．郑州某中学代表队这三项分别得了85分、90分和92分，则该代表队的综合成绩是_______分． 【答案】90 【解析】 【分析】根据各项目的权重和得分，代入加权平均数=求解．． 【详解】解：综合成绩为（分）． 14. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且，，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于点C，轴于点D，则，在中，，证明，得到，即，进而可知k的值． 【详解】解：如图，作轴于点C，轴于点D，则． 在中，， ，， ， ， ， ， ， 或16（舍去）． 15. 如图，四边形是正方形，点在边的延长线上，点在边上，以点为中心将绕点顺时针旋转与恰好完全重合，连接交于点，连接交于点，连接，若则__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由旋转得，，，进而得到，，再根据四边形是正方形且是对角线，得出，由，判定点、、、在同一个圆上，进而得到，，接着计算得出，，所以，再根据正方形性质得出、互相垂直平分，结合点在对角线上，得出，因此，然后由，，推出，结合，证明，得出比例式，即，最后根据，，由勾股定理得出，代入，得出，即可得． 【详解】解：连接，如图， 绕点顺时针旋转与完全重合， ，，， ，， ∵四边形是正方形，是对角线， ， ， 是同一个圆内弦所对的圆周角，即点、、、在同一个圆上（四点共圆）， ，， ，， ， ∵四边形是正方形， ∴、互相垂直平分， ∵点在对角线上， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ∴， ． 三、解答题(本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 解答下列各题： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）4 （2）9 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及零指数幂，再计算加减即可； （2）先利用完全平方公式及单项式乘以多项式的运算法则计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 为了解学生掌握“校园安全知识”的情况，增强学生安全意识，某学校举行了“校园安全，人人有责”的知识测试活动．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩(满分10分，6分及6分以上为合格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． 七、八年级抽取的学生测试成绩统计表格 年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 7.5 a 7 45% 八年级 7.5 8 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的a，b，c的值； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“校园安全知识”较好?请说明理由(写出一条理由即可)； （3）该校七、八年级共1000名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少? 【答案】（1），， （2）八年级学生掌握校园安全知识较好，理由：根据以上数据，七、八年级的平均数相同，八年级的众数、中位数、8分及以上人数所占百分比比七年级的高． （3）900人 【解析】 【分析】（1）根据出现次数最多的数据是众数a，一组数据中间两个数的平均数是这组数据的中位数b，用8分以上的人数除以总人数再乘以百分比即可得到c的值； （2）由七、八年级的平均数相同，再根据八年级的众数、中位数、8分及以上人数所占百分比比七年级的高可得答案． （3）用成绩合格的人数与抽查人数的比乘以总人数即可得到答案 【小问1详解】 解：七年级20名学生的测试成绩最多的是7，即众数为7， ， 由条形统计图可得，八年级抽取的学生的测试成绩的中位数是：， ， 八年级8分及以上人数有10人，所占百分比为：， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 七年级合格人数：18人， 八年级合格人数：18人， 人． 答：估计参加此次测试活动成绩合格的人数有900人． 18. 如图，在中，，以中点O为圆心，长为半径作，交于点D，交于点E． （1）①请用无刻度的直尺和圆规过点C作的切线l，连接并延长交直线l于点F；(要求：不写作法，保留作图痕迹) ②证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）①过点C作的切线l，如图1即为所求； ②证明：以中点O为圆心，长为半径作，如图2，连接． ∵为的直径， ∴， ∴， ∵在中，， ， ∵， ， ∵与相切， ， ， ， 即． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作垂线的尺规作图、切线的性质、相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识． （1）①将作圆的切线转化为过点C作的垂线的问题，问题即可作答；②连接，根据直径所对圆周角为直角证明，结合等腰三角形的性质有，再根据相切的性质有，再利用直角三角形中锐角互余，即可证明； （2）连接，．利用勾股定理求出，再证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图3，连接，． ∵为的直径，，， °，即， ，， ， ∴E为中点， 又∵点O为中点， ， ， ， ， ， ． 19. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于、两点． （1）结合图象直接写出的解集； （2）过点A作x轴的垂线，垂足为点C，若，求一次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若在第一象限内，反比例函数上存在一点D，使得，请求出点D的坐标． 【答案】（1）或； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）结合图象直接写出解集即可； （2）由，可得，进而得到点的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）设点D的坐标为，过D作轴交直线于点E，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：、 由图象可以看出的解集为或． 【小问2详解】 解：， ，即， 、， 将A、B两点坐标代入得，，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问3详解】 解：设点D的坐标为， 过D作轴交直线于点E， 将代入，得， ， ， ， ， 或， 解得或（负值舍去）， ∴点D的坐标为或． 【点睛】本题考查了函数图象与不等式的数形结合、反比例与一次函数解析式的确定，以及坐标系中三角形面积的计算，解题关键在于利用已知面积条件求出交点坐标，进而得到函数解析式，在第（3）问中，巧妙运用“水平宽乘铅垂高”将动点面积问题转化为含绝对值的方程求解． 20. 新郑市是中国红枣之乡，全市拥有众多红枣专业村，种植面积达10万亩，2025年产值达6亿元．某水果商到红枣产地收购“灰枣”和“鸡心枣”两个品种，已知每箱的收购价“灰枣”比“鸡心枣”贵10元，收购7箱“鸡心枣”的总价比收购6箱“灰枣”的总价多5元（两个品种每箱均装红枣10斤）． （1）问“灰枣”与“鸡心枣”每箱的收购价各是多少元？ （2）若水果商对外销售“鸡心枣”每斤为10元，“灰枣”每斤的售价为12元．现水果商购进两种红枣共200箱，水果商计划两天将全部红枣售完后总利润不低于8500元，则该水果商应如何设计购进方案？ 【答案】（1）“鸡心枣”每箱的收购价为65元，“灰枣”每箱的收购价为75元； （2）水果商购进“灰枣”不能低于150箱，且不能超过200箱． 【解析】 【分析】（1）根据“总价=单价×数量”，利用“7箱鸡心枣总价=6箱灰枣总价+5元”的等量关系列出方程即可求解； （2）根据“总利润=（售价－进价）×销售量”，结合“总利润元”列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设“鸡心枣”每箱的收购价为x元，则“灰枣”每箱的收购价为元， 由题意，得， 解得，则， 答：“鸡心枣”每箱的收购价为65元，“灰枣”每箱的收购价为75元． 【小问2详解】 解：设水果商购进“灰枣”m箱，则购进“鸡心枣”箱， 根据题意，得 化简，得， 解得， 且m为整数． 答：水果商购进“灰枣”不能低于150箱，且不能超过200箱． 21. 河南省郑州市地处中国中部，地势西高东低、整体平缓，位于北纬，东经之间，这里四季分明，夏季炎热多雨，冬季寒冷干燥，春季干旱多风，秋季天高气爽且温度适中．此地一年中冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小约为，夏至这一天正午时刻太阳光与地面的夹角最大约为．河南省郑州市某居民住户的窗户朝南，窗户高度为2米．现要求设计遮阳棚，能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，同时还希望有一定的观赏性．某数学课题研究小组针对“如何设计遮阳棚”这一课题进行了探究，如下表所示： 项目内容：设计遮阳棚 方案一：平面型 方案二：圆弧型 根据直角形遮阳棚样品图，抽象数学模型，画出如图1所示的示意图．代表窗户的高，，A，B，C三点共线，代表遮阳棚的宽，，为一年中正午时刻太阳光线与地面产生最大夹角时的光线，为一年中正午时刻太阳光线与地面产生最小夹角时的光线． 设计成以点B为圆心，图中的长为半径的伸缩圆弧形遮阳棚，如图2．在圆弧形遮阳棚点H处牵引绳子（其中点H是的中点)，绳子由图中和两部分组成，． （参考数据：，，，，，，，，） 根据以上数据 （1）计算方案一中的遮阳棚的宽的长；（结果精确到0.01米） （2）计算方案二中牵引绳子的总长度． 【答案】（1）遮阳棚的宽约为0.42米 （2）牵引绳子的总长度为2.68米 【解析】 【分析】（1）在中，由得，设，则．求出．在中，由得，求出即可． （2）在中，先求出，连接，则，求出．由H为的中点可求出．求出、的长即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意，知米，，． ， ， 在中，，， ． 设，则． ． 在中，，， ，即． 解得． 答：遮阳棚的宽约为0.42米． 【小问2详解】 解：由（1）得在中，， ， 如图2，连接． ． 由题意，得． ∵H为的中点． ． ． ， ， 在中，，， ，． ， ， 答：牵引绳子的总长度为2.68米． 22. 【项目背景】 河南是我国小麦主产区，素有“中原粮仓”之称．无人机喷洒农药在河南小麦病虫害防治中高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 【实际问题】 如何使无人机在河南麦田喷洒农药更高效、经济，助力中原粮仓稳产增收? 【建立模型】 如图1是无人机的示意图，其中点O为无人机的摄像头，A，B是喷药口，A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷药口A和点B到点O的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）求点B所在抛物线的函数表达式； （2）【问题解决】 启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻麦田之间的田埂(宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计)恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度： （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口M和N，M在A左侧，N在B右侧，，当无人机上升到距地面的高度为时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 【答案】（1） （2）无人机应该下降的高度为 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点B的坐标为，点C的坐标为，然后用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设点F的坐标为，将点代入求出，得出点F的坐标为，即可得出答案； （3）N所在抛物线表达式为，代入到中，求出，根据两个点关于y轴对称，即可得出答案． 【小问1详解】 解：，点A与点B到点O的距离相等， ， ∴点B的坐标为， ， ∴点C的坐标为． 设点B所在抛物线的函数表达式为， 将点代入，得． 解得：， ∴点B所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：以无人机摄像头所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系， ∴喷药口B喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变， ，由题可知点E和点F关于y轴对称， ∴可以设点F的坐标为， 将点代入， 得． ∴点F的坐标为． ∴此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答：无人机应该下降的高度为． 【小问3详解】 解：，B点坐标为， ∴N点坐标为． ∵N所在抛物线形状与B所在抛物线相同，二次项系数相同， ∴N所在抛物线表达式为， ∵无人机高度为， ∴代入到中，得， 解得，． ， ∵关于y轴对称， ， ∴长． 23. 综合与实践： 【新知定义】如图1，若则．小明称图1中的和互为“共顶孪生三角形”． 【新知探究】 （1）在图1中，连接，求证：； （2）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“共顶孪生三角形”，连接，则的长为_______； （3）【变式应用】 如图3，在中，，，D为的中点，以为一边在右侧作，使得，，连接，求的长； （4）【综合应用】 如图4，若，，，若D点在线段上运动(，且点D不与点B重合)，以为一边在右侧作，且和互为“共顶孪生三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， 即， ， ． （2） （3） （4）面积的最大值为，此时的长度为． 【解析】 【分析】（1）利用两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，根据新定义得到，进而推出，列出比例式进行求解即可； （3）作，，垂足分别为点M、点N，根据，得到，进而得到，再证明，列出比例式进行求解即可； （4）先推出点在的垂线上运动，过F作，，分别交直线于点P、Q，设，求出，根据面积公式列出二次函数关系式，求最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，，， ， 由勾股定理可得，， ∵点D为的中点， ， 由题意可知，， ，， ，， ， ， ，即， ． 【小问3详解】 解：在中，，，D为的中点， ，，即， 由勾股定理可得，， 如图3，作，，垂足分别为点M、点N， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 【小问4详解】 解：在中，，， ， 由勾股定理可得，， 和互为“共顶孪生三角形”， ， ，，， ， ， ， ，， ， ，即， ∴点E就在的垂线上运动， 如图4，过F作，，分别交直线于点P、Q，设，则， 在中，，， ， 由勾股定理可得，， ， ∵四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴当时，取得最大值，此时， 面积的最大值为，此时的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研考试 数学 考生注意： 1．答题前，请将姓名和准考证号用黑色字迹的签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共8页，考试时间100分钟，满分120分． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，用黑色字迹的签字笔将答案写在答题卡指定区域内，作图可用2B铅笔．写在本试卷或草稿纸上的答案一律无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的) 1. 下列四个实数中，比2大的无理数为（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据测算，2026年河南省首批20项“揭榜挂帅”项目全部完成后，可新增年销售收入亿元．数据亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线相交于点，平分，平分，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 5. 一元二次方程．的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 根的个数与m的值有关 6. 如图，在中，是的中位线，的外角平分线交的延长线于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，且，则代数式可化简为（ ） A. B. C. D. 8. 开封有5个著名景区：开封市博物馆、清明上河园、万岁山武侠城、龙亭景区、朱仙镇启封故园．某游客计划从这5个景区中随机选择2个游玩，每个景区被选中的机会均等．则选中的这2个景区恰好是“清明上河园”与“万岁山武侠城”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，扇形中，，点C在半径上，沿折叠，圆心O落在上，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为等边三角形，边长为，矩形的长和宽分别为和点C和点E重合，点A，，F在同一条直线上，令矩形不动，等边三角形以每秒1cm的速度向右移动，当点C与点F重合时停止移动，设移动x秒后，等边三角形与矩形重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. E. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，满分15分) 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 满足不等式组的整数解为_______． 13. 河南省“校园非遗文化展演”评比中，评分项目“队列展示”、“精神风貌”、“非遗创意”依次按照计算综合成绩．郑州某中学代表队这三项分别得了85分、90分和92分，则该代表队的综合成绩是_______分． 14. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且，，则k的值为_______． 15. 如图，四边形是正方形，点在边的延长线上，点在边上，以点为中心将绕点顺时针旋转与恰好完全重合，连接交于点，连接交于点，连接，若则__________． 三、解答题(本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 解答下列各题： （1）计算：； （2）化简：． 17. 为了解学生掌握“校园安全知识”的情况，增强学生安全意识，某学校举行了“校园安全，人人有责”的知识测试活动．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩(满分10分，6分及6分以上为合格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． 七、八年级抽取的学生测试成绩统计表格 年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 七年级 7.5 a 7 45% 八年级 7.5 8 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中的a，b，c的值； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“校园安全知识”较好?请说明理由(写出一条理由即可)； （3）该校七、八年级共1000名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少? 18. 如图，在中，，以中点O为圆心，长为半径作，交于点D，交于点E． （1）①请用无刻度的直尺和圆规过点C作的切线l，连接并延长交直线l于点F；(要求：不写作法，保留作图痕迹) ②证明：； （2）若，，求的长． 19. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于、两点． （1）结合图象直接写出的解集； （2）过点A作x轴的垂线，垂足为点C，若，求一次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若在第一象限内，反比例函数上存在一点D，使得，请求出点D的坐标． 20. 新郑市是中国红枣之乡，全市拥有众多红枣专业村，种植面积达10万亩，2025年产值达6亿元．某水果商到红枣产地收购“灰枣”和“鸡心枣”两个品种，已知每箱的收购价“灰枣”比“鸡心枣”贵10元，收购7箱“鸡心枣”的总价比收购6箱“灰枣”的总价多5元（两个品种每箱均装红枣10斤）． （1）问“灰枣”与“鸡心枣”每箱的收购价各是多少元？ （2）若水果商对外销售“鸡心枣”每斤为10元，“灰枣”每斤的售价为12元．现水果商购进两种红枣共200箱，水果商计划两天将全部红枣售完后总利润不低于8500元，则该水果商应如何设计购进方案？ 21. 河南省郑州市地处中国中部，地势西高东低、整体平缓，位于北纬，东经之间，这里四季分明，夏季炎热多雨，冬季寒冷干燥，春季干旱多风，秋季天高气爽且温度适中．此地一年中冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小约为，夏至这一天正午时刻太阳光与地面的夹角最大约为．河南省郑州市某居民住户的窗户朝南，窗户高度为2米．现要求设计遮阳棚，能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，同时还希望有一定的观赏性．某数学课题研究小组针对“如何设计遮阳棚”这一课题进行了探究，如下表所示： 项目内容：设计遮阳棚 方案一：平面型 方案二：圆弧型 根据直角形遮阳棚样品图，抽象数学模型，画出如图1所示的示意图．代表窗户的高，，A，B，C三点共线，代表遮阳棚的宽，，为一年中正午时刻太阳光线与地面产生最大夹角时的光线，为一年中正午时刻太阳光线与地面产生最小夹角时的光线． 设计成以点B为圆心，图中的长为半径的伸缩圆弧形遮阳棚，如图2．在圆弧形遮阳棚点H处牵引绳子（其中点H是的中点)，绳子由图中和两部分组成，． （参考数据：，，，，，，，，） 根据以上数据 （1）计算方案一中的遮阳棚的宽的长；（结果精确到0.01米） （2）计算方案二中牵引绳子的总长度． 22. 【项目背景】 河南是我国小麦主产区，素有“中原粮仓”之称．无人机喷洒农药在河南小麦病虫害防治中高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性． 【实际问题】 如何使无人机在河南麦田喷洒农药更高效、经济，助力中原粮仓稳产增收? 【建立模型】 如图1是无人机的示意图，其中点O为无人机的摄像头，A，B是喷药口，A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷药口A和点B到点O的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）求点B所在抛物线的函数表达式； （2）【问题解决】 启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻麦田之间的田埂(宽度为的区域，且时，田埂高度忽略不计)恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度： （3）如图4，在直线上再增加2个喷药口M和N，M在A左侧，N在B右侧，，当无人机上升到距地面的高度为时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长． 23. 综合与实践： 【新知定义】如图1，若则．小明称图1中的和互为“共顶孪生三角形”． 【新知探究】 （1）在图1中，连接，求证：； （2）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“共顶孪生三角形”，连接，则的长为_______； （3）【变式应用】 如图3，在中，，，D为的中点，以为一边在右侧作，使得，，连接，求的长； （4）【综合应用】 如图4，若，，，若D点在线段上运动(，且点D不与点B重合)，以为一边在右侧作，且和互为“共顶孪生三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $