《5.3正方形》同步练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步练，通过基础巩固、中档应用、拔高拓展三层设计，覆盖正方形性质与判定、综合推理及动态问题，培养抽象能力、推理意识与创新思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正方形定义、性质（对角线、面积计算）|单选1-4题考查菱形判定正方形条件，填空9-12题直接应用性质，夯实概念理解| |中档|性质应用与简单推理（全等、勾股定理）|单选5-7题结合等边三角形、坐标系，解答20-22题证明正方形及周长计算，培养推理能力| |拔高|综合探究与动态问题（旋转、动点最值）|单选8题多结论判断，解答24-25题涉及旋转构造全等、面积探究，发展创新意识与应用能力|

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．已知菱形的对角线相交于点O，则添加下列条件，能判定菱形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图：正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的边长为6，E是的中点，，与交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D．9 4．如图，在正方形中，点在对角线上，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形的外侧，作等边，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标为，，，则正方形的面积是（   ） A．13 B．20 C．25 D．34 7．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的四边形学具，他先调整学具成为图1所示的图形，并测得，对角线，接着调整学具成为图2所示的图形，测得，则图2中对角线的长为（   ）． A． B． C． D． 8．如图，在中，，于点，交于点，，四边形和都是正方形（正方形的四边相等，四个内角都是直角），下列四个说法：（1）；（2）若连接，，则；（3）；（4）的面积为18，且被直线平分；其中正确的说法个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（满分24分） 9．若正方形对角线的长为，则面积为___________． 10．如图，在中，．再添加一个条件，就能判定四边形是正方形．这个条件可以是__________．（只填一个条件即可） 11．如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为144，，则的长为____． 12．如图，等边的顶点,分别在正方形的边，上，则_____． 13．如图，已知正方形的边长为8，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，，则的最小值为____． 14．如图，正方形中，，连接，则之间的数量关系为____________． 15．如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 16．如图，在矩形中，，，为中点，为上动点且，连接、，则的最小值为__________． 三、解答题（满分72分） 17．（6分）如图，在正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、．求证：． 18．（8分）如图，点是正方形纸张对角线上一点． (1)请用圆规在上取点，使得．（保留作图痕迹） (2)连接，结合（1）中画的，求证：四边形是菱形． 19．（6分）如图，在正方形内部取一点，连接、，使．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点．试判断四边形的形状，并说明理由． 20．（8分）如图，，，，分别是正方形四条边上的点，且． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，求四边形的周长． 21．（8分）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，则的长是______． 22．（8分）已知正方形和等腰Rt，，，按图放置，使点在上，取的中点，连接、． (1)请添加一条辅助线，构造一个和全等的三角形，并证明它们全等． (2)探索、的数量关系和位置关系，并证明． 23．（8分）如图，四边形是正方形，是边上任意一点，于点，且交于点． (1)求证：； (2)连接，，探究线段与的关系并证明． 24．（10分）如图，在四边形中，，． (1)已知四边形是正方形． ①如图1，E，F分别是边，上的点，则线段，和之间的数量关系为______． ②如图2，点E，F分别在，的延长线上，则线段，和之间有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并证明． (2)如图3，，E，F分别是边，延长线上的点，②中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间新的数量关系，并证明． 25．（10分）【问题呈现】已知正方形中，点F为对角线上一点，点E在的延长线上，连接． （1）如图1，连接，若，求的最小值； 【类比探究】 （2）如图2，在正方形中，点F为对角线上一点，点G在边上，，若，，求四边形的面积； 【拓展运用】 （3）如图3，将绕点F逆时针旋转得到，连接交于点H，试探索、满足怎样的数量关系时，点H恰为的中点； 参考答案 1．解：如图，    A、由菱形可得，那么，则A选项多余，不能判定菱形是正方形，故不符合题意； B、由菱形可得，则B选项多余，不能判定菱形是正方形，故不符合题意； C、不能判定菱形是正方形，故不符合题意； D、由菱形可得，而，则，因为菱形对角线平分一组对角，则，故菱形是正方形，故符合题意； 故选：D． 2．D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，正方形的对角线互相垂直平分且相等，正方形的一条对角线平分正方形的一组对角，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O， ∴，，， ∴， ∴说法不正确的只有D选项， 故选：D． 3．B 【分析】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由正方形的性质得出，，由E是的中点，得出，由勾股定理得出，证明，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，由正方形的性质可推出的度数，再证明得到的度数，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．A 【分析】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决此题的关键是判断出是等腰三角形；根据正方形和等边三角形的性质，得到，判断出是等腰三角形，算出其底角的度数，进而利用得到答案即可． 【详解】解：∵在正方形的外侧，作等边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明是关键．过点B作轴于点，证明，求出，得到，由此即可得出正方形的面积． 【详解】解：过点B作轴于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 正方形的顶点坐标为，， ∴ ∴ ， 即正方形的面积是． 故选：B． 7．B 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，连接．在图1中，证是等边三角形，得出．在图2中，由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图1，图2中，连接． 图1中，四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 在图2中，四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ； 故选：B． 8．D 【分析】由正方形的性质可得，再由，，即可判断（1）；证明即可得到，再根据角之间的关系可得，即可判断（2）（3）；作交于，交于，证明，，，得到三角形之间的面积关系，即可判断（4）． 【详解】解：四边形和都是正方形， ，，， ，， ，故（1）正确，符合题意； 在和中， ， ， ，，故（2）正确，符合题意； 如图，令和交于点，和交于点， ，， ， ， ， ，故（3）正确，符合题意； 作交于，交于， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可得：， ，， ， ， ， ， ，， ， ，故（4）正确，符合题意； 综上所述，正确的有（1）（2）（3）（4），共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握正方形的性质以及三角形全等的判定与性质，找准各个图形之间的面积关系，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 9．9 【分析】本题考查了勾股定理和正方形面积的知识，解题的关键在于发现正方形的对角线与边的关系； 本题根据对角线的长，可由勾股定理求出其边长，面积又等于边长边长，通过作图可以使题目更加清晰明了； 【详解】解：如下图所示：下图为对角线的正方形， ， 设正方形的边长为：， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得，； ∴该正方形的面积为：． 故答案为：9； 10．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：由在中，，可知四边形是矩形，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：或或或或． 故答案为：（答案不唯一）． 11．5 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，根据旋转的性质可得出，根据等式的性质可得出，根据正方形的面积公式可求出边长，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转到， ∴， ∴，即， 又四边形的面积为144， ∴， ∴边长， 又，， ∴， 故答案为：5． 12．/75度 【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据正方形的性质和等边三角形的性质，易证得，进而得到，利用求解即可 【详解】解：四边形是正方形， 、， 是等边三角形， 、， ， 在和中， ， ， ， ． 13． 【分析】连接，由正方形可得，，再可得四边形是矩形，则的最小值即为的最小值，当时，最短，利用等面积法求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形的边长为8， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∵P是对角线上一点， ∴当时，最短，此时， ∴， ∴的最小值为． 14． 【分析】本题主要考查的正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用等知识点，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 将逆时针旋转得．在中依据勾股定理可证明，接下来证明得到，再由，然后代入即可解答． 【详解】解：如图：将逆时针旋转得， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 15．9 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质得出，推出，证出可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 16． 【分析】先利用轴对称的性质说明，，再利用矩形的性质得出，，，从而可得，再利用勾股定理求得，再说明当、、在同一直线上时，有最小值，从而可得的最小值为． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，， 则，， ∵四边形是矩形，， ，，， ，， 在的延长线上， ， ， ，为中点， ， ， 。 当、、在同一直线上时，有最小值，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，矩形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 17．见解析 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，要证明，只要证明即可． 【详解】证明：四边形是正方形， ，， 点E、F分别是边、的中点， ． 在和中， ，，， ， ． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作线段等于已知线段的尺规作图，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，通过证明三角形全等得到边相等是解题的关键． （1）以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点F，则点F为所求； （2）根据正方形的性质得到，，即可证明，得到，根据菱形的判定即可证明． 【详解】（1）解：如图，点F为所求． （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 19．四边形是正方形，理由见解析． 【分析】本题考查正方形的判定与旋转的性质，结合全等三角形的判定与性质是解题关键．通过旋转得到线段与角的等量关系，利用正方形的性质证明三角形全等，进而推出四边形的角为直角且邻边相等，以此判定四边形形状． 【详解】解：判断：四边形是正方形． 理由：将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 在正方形中，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 20．(1)见解析 (2)20 【分析】（1）先利用正方形的边相等、角为直角的性质，结合已知线段相等，证明四个三角形全等，得出四边形的四边相等，再通过角的关系证明其有一个直角，从而判定为正方形； （2）根据和的长度，算出的长度，用勾股定理求出四边形的边长，再计算其周长． 【详解】（1）（1）证明：四边形是正方形， ，． ， ， ， ，， 四边形是菱形． ， ， ， 四边形是正方形． （2）解：，， ， ． 四边形是正方形， 四边形的周长． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握正方形的边与角的性质、全等三角形的判定方法，及勾股定理的应用是解题的关键． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，结合正方形的性质和折叠的性质证明，即可解题； （2）设，则，结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 22．(1)图见解析，，证明见解析 (2)，，证明见解析 【分析】（1）通过添加辅助线（延长交于点H），构造出，利用平行线性质（）得到角相等，结合中点定义和对顶角定理，证明； （2）利用全等三角形的性质转移线段长度（，），结合正方形和等腰直角三角形的性质，推导出，从而证明是等腰直角三角形．最后应用斜边中线定理，得出且． 【详解】（1）解：延长交于点，如图， 则． 证明：∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2），． 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， 即，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，用（）证明三角形全等（或者），全等三角形综合问题，三线合一，斜边的中线等于斜边的一半，根据正方形的性质证明等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 23．(1)见解析； (2)且，证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键． （1）根据垂直的定义和平行线的性质求出，根据正方形的性质可得，，再利用同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得； （2）根据同角的余角相等求出，根据全等三角形对应边相等可得，根据正方形的性质可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再求出，然后根据垂直的定义证明即可． 【详解】（1）证明：，， ． ． ∵四边形是正方形， ，． ． ， ． ． ． （2）且． 证明：，， ． ， ． 又∵四边形是正方形， ． ． ，． ， ． ． 综上所述，且． 24．(1)①；②，理由见解析 (2)不成立，它们的数量关系为，理由见解析 【分析】（1）①延长至G点，使，连接．先根据证明 ，则可得，．由，，可得，即．再根据证明，则可得，进而可得． ②在上截取，连接．先根据证明，则可得，，进而可得．再根据证明，则可得． （2）延长至点G，使得，连接．先根据证明，则可得，，进而可得．由可得，进而可得．根据证明，则可得．由此可得②中结论不成立． 【详解】（1）① 如图，延长至G点，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． ②． 证明：如图1，在上截取，连接． 由题意，得， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）解：②中结论不成立，它们的数量关系为． 证明：如图2，延长至点G，使得，连接． ∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴，． ∴， 即， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题的关键． 25．（1）10；（2）16；（3） 【分析】（1）延长至点，使，连接，此时最小，根据正方形的性质可得，最后在中运用勾股定理即可求解； （2）过点作于点，作于点，根据正方形的性质和等腰直角三角形的判定和性质证明四边形是正方形，利用证明，则，进而可得，在中运用勾股定理求出，进而可得，最后运用等腰直角三角形的性质即可求解； （3）过作于点，交于点，连接，先根据正方形的性质可得，再运用勾股定理可得，进而可得，则可证明，可得，进而可证明，即可得到点恰为的中点． 【详解】解：（1）延长至点，使，连接，此时最小，如图， 四边形是正方形， ，， ， ， 在中，，，， ； （2）过点作于点，作于点，如图， ， 四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 四边形是正方形， ，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ． ； （3）当时，点恰为的中点，理由如下： 过作于点，交于点，连接，如图， ， ， ， 四边形是正方形，， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点恰为的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $