4.6.2作垂直平分线和角平分线 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，通过“公共汽车站位置”等实际问题导入，结合SSS全等原理与中垂线判定定理，搭建从现实情境到几何作图的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以推理意识为核心，通过“标准步骤+原理剖析+易错必记”体系，如例2在直线上找点使PA=PB，培养学生几何直观与规范表达。口诀记忆和分层练习助力学生掌握作图技能，教师可直接用于课堂教学，提升效率。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 4.6.2作垂直平分线和角平分线 第4章 三角形 湘教版数学八年级下册4.6.2 作垂直平分线和角平分线同步讲义与练习 本节核心考点：熟练掌握两大必考尺规作图——作线段的垂直平分线、作角的平分线，熟记标准作图步骤、作图原理，严格保留作图痕迹，能利用作图解决找点、平分、对称相关基础几何问题，是中考基础作图必考题型。 一、核心知识点精讲 1. 本节作图核心工具与通用规范 工具：仅限无刻度直尺、圆规，禁止刻度尺、量角器。 硬性要求：所有作图圆弧、交点痕迹必须保留，不得擦除；作图结尾必须书写总结语句，步骤有序、线条清晰。 核心原理：两类作图均依托SSS全等与距离相等定点的几何性质，作图精准、结果唯一。 2. 尺规作图一：作线段的垂直平分线（中垂线） 已知：线段AB 求作：线段AB的垂直平分线 标准满分作图步骤： 1. 分别以点A、B为圆心，大于AB一半长为半径画弧； 2. 两弧在线段AB上下方各交于一个点，记为M、N； 3. 作直线MN。 则直线MN即为线段AB的垂直平分线。 关键细节：半径必须大于线段一半长度，否则两弧无交点，无法作图。 作图原理：由作图可知MA=MB、NA=NB，根据中垂线判定定理，两点确定一条直线，直线MN为AB的垂直平分线。 衍生作用：该作图可直接找出线段中点，无需测量。 3. 尺规作图二：作角的平分线（角平分线作图） 已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线 标准满分作图步骤： 1. 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； 2. 分别以C、D为圆心，大于CD一半长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E； 3. 作射线OE。 则射线OE即为∠AOB的角平分线。 作图原理：通过截取OC=OD、CE=DE、OE公共边，证△OCE≌△ODE（SSS），得对应角相等，即OE平分∠AOB。 核心性质延伸：角平分线上的点到角两边的距离相等（后续课时重点）。 4. 两大作图核心对比与易错点 1. 线段垂直平分线：最终作直线，平分线段且垂直，有两个上下交点； 2. 角平分线：最终作射线，仅平分角度，无垂直关系，交点在角内部； 3. 两次画弧半径均需大于对应线段一半，是作图成功的关键。 5. 常见作图应用场景 1. 作线段中垂线：找线段中点、构造等腰三角形、对称找点； 2. 作角平分线：平分任意角、构造等角、结合平行线出等腰三角形。 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 作线段垂直平分线用到的核心判定依据是（） A. 等角对等边 B. 到线段两端距离相等的点在中垂线上 C. 三线合一 D. 平行线性质 2. 作角平分线的作图原理是（） A. SSS全等 B. SAS全等 C. ASA全等 D. AAS全等 3. 作线段垂直平分线时，画弧半径需满足（） A. 小于AB一半 B. 大于AB一半 C. 任意长度 D. 等于AB长度 4. 角平分线作图最终得到的是一条（） A. 直线 B. 射线 C. 线段 D. 曲线 5. 下列关于中垂线作图说法正确的是（） A. 只需画一侧圆弧 B. 无需保留作图痕迹 C. 可同时得到线段中点 D. 可用量角器辅助 6. 尺规作图的唯一工具是（） A. 刻度尺、圆规 B. 无刻度直尺、圆规 C. 三角板、圆规 D. 量角器、直尺 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 作线段垂直平分线时，需分别以线段两端点为圆心，________线段一半的长度为半径画弧。 8. 角平分线作图的原理是________判定三角形全等。 9. 线段垂直平分线是一条________，角平分线是一条________。 10. 尺规作图必须完整保留________，否则考试扣分。 11. 作角平分线时，两弧交点必须在角的________。 12. 线段垂直平分线可以精准找出线段的________。 四、解答题（共52分） 13.（26分）基础作图：尺规作线段AB的垂直平分线。（保留作图痕迹，书写完整步骤） 14.（26分）基础作图：尺规作∠AOB的角平分线。（保留作图痕迹，书写完整步骤） 五、参考答案与详细解析 一、选择题 1.B（中垂线作图依托距离相等定点的判定定理）； 2.A（截取三边相等，SSS证全等得到等角）； 3.B（半径大于线段一半，才能相交出交点）； 4.B（角平分线是从顶点出发的射线）； 5.C（中垂线与线段交点即为线段中点）； 6.B（尺规作图标准工具：无刻度直尺+圆规）。 二、填空题 7. 大于 8. SSS 9. 直线；射线 10. 作图痕迹（圆弧、交点） 11. 内部 12. 中点 三、解答题 13. 作图步骤： ① 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在线段AB上下方分别交于两点； ② 连接上下两个交点，作直线； ∴ 所作直线即为线段AB的垂直平分线。 14. 作图步骤： ① 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； ② 分别以C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E； ③ 作射线OE； ∴ 射线OE即为∠AOB的平分线。 本节易错必记（高频扣分点） 1. 画弧半径必须大于线段一半，半径过小无交点，是最基础错误； 2. 中垂线是直线、角平分线是射线，线条类型严禁混淆； 3. 作图痕迹必须全部保留，圆弧、交点不可擦拭，无痕迹直接扣分； 4. 角平分线交点必须在角内部，不可在外部； 5. 严禁使用量角器、刻度尺作图，违背尺规作图规则。 本节核心背诵口诀 中垂线作两端弧，半径过半交点出； 两点连线成直线，垂直平分中点露； 角分先画顶点弧，再取交点向内筑； 射线一出平分角，SSS理记牢固； 痕迹不擦步骤全，尺规作图稳得分。 第四章尺规作图终极汇总 1. 基础作图：作等角、作三边三角形、作SAS/ASA三角形； 2. 进阶作图：作线段垂直平分线、作角平分线； 3. 通用核心：所有尺规作图原理均为SSS全等，必须保留作图痕迹，步骤完整。 学习目标 1.掌握线段垂直平分线、过点作垂线及角平分线的尺规作图方法，理解其几何性质. 2.能根据已知底边和高线，通过作垂线或垂直平分线定位顶点 3.综合运用几何作图解决实际问题 学习目标 线段垂直平分线的尺规作图 1 已知线段 AB，如果要作线段 AB 的垂直平分线，可以怎样作？根据是什么？ 说一说 根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知，若能找出到线段 AB 两端距离相等的两个点，则这两点确定的直线就是线段 AB 的垂直平分线. 例1 作一条线段的垂直平分线. 如图，已知线段 AB. 求作线段 AB 的垂直平分线. 作法： ① 分别以点 A，B 为圆心， 以相同长度(大于 AB 的长)为半径画弧， 两弧相交于点 C 和点 D； ② 过点 C，D 作直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线. 典例精析 · B C D · A 也可用此法作 线段的中点. E 例2 如图，已知点 A、点 B 以及直线 l. 用尺规作图的方法在直线 l 上求作一点 P，使 PA＝PB (保留作图痕迹，不要求写出作法). 解：如图所示. M N A B l P 典例精析 引例 如图，A，B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段 AB 的垂直平分线上，又要在公路边上，所以 AB 的垂直平分线与公路的交点便是. 公共汽车站 若能找到直线 l 上的一条线段 AB，使 AB 的垂直平分线经过点 P，则该垂直平分线就是所求作的直线. 由于点 P 与已知直线 l 的位置关系有两种，于是需分情况来作图. 如何用尺规过一点 P 作已知直线 l 的垂线呢？ 思考 ① 以点 P 为圆心，以任意长为半径画圆弧，交直线 l 于点A，B. (1) 点 P 在直线 l 上时. ② 分别以 A，B 为圆心，以相同长度(大于 AB 的长)为半径画弧，两弧交于点 C. ③ 过点 C，P 作直线 CP，则直线 CP 为所求作的直线. A B C l 这一步的目的是什么？ · P (2) 当点 P 在直线 l 外时. ① 以点 P 为圆心，以大于点 P 到直线 l 的距离的长度为半径画弧，交直线 l 于点 A，B； ② 分别以 A，B 为圆心，以相同长度(大 于 AB 的长)为半径画弧，两弧相交于点 C； ③ 过点 C，P 作直线 CP， 则直线 CP 为所求作的直线. · P A B C l 问题：第一步的目的是什么？画弧的半径为什么要大于 P 到 l 的距离？ 如图，已知线段 a，h． 求作△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h． 思考： ① 所作的图形是什么？满足哪些条件？ ② 根据条件，你认为先作出等腰三角形的哪部分？ ③ 如何作底边上的高？底边上的高在什么线上？ 底边 BC = a 底边的垂直平分线 · · · · h a 例3 已知底边及底边上的高线作等腰三角形. (1) 作线段 BC＝a； (2) 作线段 BC 的垂直平分线 MN 交 BC 于点 D； (3) 在射线 DM (或 DN) 上截取线段 DA，使 DA = h； (4) 连接 AB，AC， 则△ABC 为所求作的三角形. 作法： A D C B N M · · · · h a 思考：本题应用了哪几种基本作图法？ 分析：由于等腰三角形的顶角平分线也是底边上的垂直平分线，故先以∠AOB 的顶点 O 为顶点，两腰分别在射线 OA，OB 上，构造等腰△ODE，然后过点 O 作底边 DE 的垂直平分线 OC，则射线 OC 就是∠AOB 的平分线. 如图，已知∠AOB，求作∠AOB 的平分线. A B O 例4 求作一个角的平分线. 角平分线的尺规作图 2 (2) 分别以 D、E 为圆心，以相同长度(大于 DE 的长)为半径画弧，在∠AOB 内两弧交于点 C； A B O (1) 以点 O 为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别与 OA，OB 交于点 D、E，连接 DE； 1 2 (3) 作射线 OC， D E C 作法：　　　 说一说：为什么 OC 是∠AOB 的平分线？ 则 OC 为所求的∠AOB 的平分线. 1. 如图，已知 ，用尺规在 上确定一点，使 ，则下列 四种不同的作图方法中正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 14 返回 2．[湘潭市模拟] 如图，在 中，按 以下步骤作图：①分别以， 为圆心，以大 于 的长为半径作弧，两弧相交于两点 ，；②作直线交于点，连接 . 若， ，则 ( ) B A. B. C. D. 考试考法 15 返回 3．[北京市西城区期末]已知：如图，∠BAC＝45°. 求作：线段,使得 . 作法：①分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧， 两弧分别交于点和点 ; ②作直线,交于点 ; ③连接，线段 即为所求作的线段. 考试考法 16 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）. 【解】如图. 考试考法 17 （2）求证： . 【证明】因为是线段 的垂直平分线， 所以 , 所以 . 因为 , 所以 , 所以 . 返回 考试考法 18 返回 4. 如图，下列是四种用无刻度直尺和圆规 作角平分线的方法，其中不正确的个数是( ) A A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考试考法 19 5．如图，已知四边形ABCD，AB＝AD，在DC边上求作一点P，使得△ABP≌△ADP.(保留作图痕迹，不要求写作法) 【解】如图所示，点P即为所求． 考试考法 20 （第4题） 6. 如图，在四边形中， , ,.按下列步骤作图：①以点 为 圆心，适当长度为半径画弧，分别交, 于,两点；②分别以点, 为圆心，以大于 A A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 的长为半径画弧，两弧交于点;③连接并延长交 于 点 . 则 的长是( ) 考试考法 21 7. 如图，已知线段和线段 ,某个等腰三角形底边 长为,底边上的高为 . （1）请用直尺、圆规作出等腰三角 形，不写作法，保留作 图痕迹； 【解】如图, 即为所求. 考试考法 22 （2）当与 满足什么数量关系时，这个等腰三角形的底角 是 . 考试考法 23 当与满足 时，这个等腰三 角形的底角是 .因为 垂直平分 ,所以 , . 因为 ,所以 , 所以,即 . 返回 考试考法 24 方法与步骤 线段垂直平分线的作法 点在直线上 过一点作已知直线的垂线 点在直线外 应用作图 作角平分线 已知底边及底边上的高作等腰三角形 课堂小结 $