精品解析：吉林省长春市二道区长春五十二中赫行实验学校2025-2026学年九年级下学期5月中考模拟数学

数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】温度上升是在原气温基础上做加法运算，直接计算即可得到结果． 【详解】因为早上气温为，中午温度上升 ， 所以中午温度为． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，积的乘方法则判断各选项运算是否正确． 【详解】解A、∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变，∴，A运算正确； B、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，B运算错误； C、∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，∴，C运算错误； D、∵积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，∴，D运算错误． 3. 下列图形中，是正方体展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】正方体展开图有11种情况，主要分为“”型、“”型、“”型、“”型．判断时可根据口诀“一线不过四，田凹应弃之”进行筛选． 【详解】A．第一行4个正方形，第二行2个正方形，属于“”型，折叠后会有两个面重合，不是正方体展开图； B．含有“田”字格结构，根据“田凹应弃之”，不是正方体展开图； C．折叠后会有两个面重合，不是正方体展开图； D．中间一行4个正方形，上下各1个，属于“”型，是正方体展开图． 故选D． 4. 如图，，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． 5. 如图，一部电梯的额定载重量为，两名体重分别为和的工人师傅要利用电梯搬运货物，每箱货物，两名工人师傅需要同时跟随货物一起乘坐电梯上楼，在保证安全的情况下，每次最多可以搬运货物的数量是（ ） A. 27箱 B. 28箱 C. 30箱 D. 33箱 【答案】B 【解析】 【分析】设每次搬运货物箱，根据两名工人的体重加上货物的总重量不超过电梯额定载重量列出一元一次不等式，求出的最大整数解即可． 【详解】解：设每次最多可以搬运货物箱． 根据题意，得． 解得． 为正整数， 的最大值为． 即每次最多可以搬运货物箱． 6. 快递员往卡车上装载较重的货物时，常常会在车尾斜搭一块木板，将货物沿着木板往上推，这样比直接向上抬起货物省力很多．如图所示，木板与水平面夹角，车尾距地面高米，则木板长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断为直角三角形，为直角，这是解题的突破口．根据正弦函数公式​，变形即可得到的表达式． 【详解】由题意可知，是直角三角形，， ， 米​． 7. 如图，，，．若，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 8. 【新情境·区间测速】如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图象性质以及路程公式．根据反比例函数的图象性质和路程与速度、时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为， 最高车速为， 在最高车速下的行驶时间（分钟）， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为（分钟）， 通过段限速区间的行驶时间应该在分钟之间． 选项符合题意． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 11. 若正n边形的中心角为，则_____． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的中心角，由正n边形的中心角为，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：∵正n边形的中心角为， ∴， ∴． 故答案为：15． 12. 如图，直线与的交点坐标为，若，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由函数图象可知，若，则x的取值范围是． 13. 如图，是的直径，是的切线，点B为切点．连接交于点D，连接，若，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据切线的性质得出，进而得到．在中利用直角三角形两锐角互余求出的度数，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：是的切线，是的直径， ， ． ， ， ∴． 14. 如图，在中，，，在上取一点，连结，使．点是上一动点，连结，将绕着点顺时针旋转得到，连结交于点．给出下面四个结论： ①； ②当时，； ③； ④在点的运动过程中，的最小值是． 上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正切函数的定义求出的长，进而求出的长即可判断①；当时，利用旋转的性质和等腰三角形的性质求出相关角的度数，利用两角对应相等证明三角形相似即可判断②；根据旋转的性质和勾股定理表示出和，结合点的运动状态判断③；根据垂线段最短求出的最小值，进而得到的最小值即可判断④． 【详解】解：①在中， ，故①正确； ②当时，为等腰三角形 由旋转的性质可知 为等腰直角三角形 在中， ，故②正确； ③由旋转的性质可知 在中， 是上一动点，的长度不确定 不一定成立，故③错误； ④由旋转的性质可知当时，最短，即最短在中， 的最小值是， 故正确故答案为①②④ 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 化简并求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则化简原式，再代入已知的的值计算结果． 【详解】解： ， 将代入化简后的式子得： 原式 ． 16. 如图，正方体的顶点E处有一只蚂蚁．假设蚂蚁每次爬行时，都是从它所在的顶点出发，在以该顶点为端点的三条棱中，随机地选择一条爬到这条棱的另一个端点．用画树状图（或列表）的方法，求蚂蚁经过两次爬行后到点B的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图求出所有情况，进而根据概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 可知共9种情况，其中蚂蚁经过两次爬行后到点B的情况有2种， 即蚂蚁经过两次爬行后到点B的概率． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： （1）在图①中，以为斜边作等腰直角三角形； （2）在图②中画出以O为对称中心的平行四边形． 【答案】（1）如图，等腰直角三角形即为所求： （2）如图：以O为对称中心的平行四边形即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得，，再由勾股定理逆定理即可证明； （2）根据平行四边形的判定以及正方形网格即可作图． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 长春某滑雪场需要清点540副滑雪装备，安排两位工作人员各自清点一遍．已知甲的清点速度是乙的1.5倍，结果甲比乙少用3小时完成清点．求这两位工作人员每小时各能清点的装备数量． 【答案】 甲每小时清点90副，乙每小时清点60副 【解析】 【分析】设乙每小时清点的装备数量为未知数，根据甲的速度是乙的1.5倍表示出甲的速度，再利用甲比乙少用3小时的等量关系列分式方程求解. 【详解】解：设乙每小时清点副滑雪装备，则甲每小时清点副滑雪装备， 根据题意，得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴，  答：甲每小时清点90副滑雪装备，乙每小时清点60副滑雪装备. 19. 如图，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结C′E． 求证：四边形CDC′E是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【详解】分析：依题意∠C′DE=∠CDE，CD=C′D，CE=C′E，又AD∥BC，∴∠C′DE=∠DEC，∴∠DEC=∠CDE，∴CD=CE，则四边相等，可得四边形CDC′E是菱形. 详解： 证明：∠ADE＝∠1,∠CED＝∠2,∠CDE＝∠3 ∵AD‖BC ∴∠1＝∠2 又∵∠1＝∠3 ∴∠2＝∠3 ∴CE＝CD 又∵CD＝C'D ∴CE＝C'D 又∵CE‖C'D ∴四边形CEC'D是平行四边形 又∵CE＝CD ∴四边形CEC'D是菱形 点睛：本题主要考查四边形的知识，考查学生的论证能力及思维逻辑能力. 20. 雷达图，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图，可用于对研究对象进行多维分析，并能够直观地描述研究对象的优势和不足．某高中将学生在高一期间各学科的综合表现分为1至5五个等级，等级越高，表现越好．甲、乙、丙三位同学各学科表现评级分别如下： a．甲和乙两位同学各学科表现评级雷达图： （以O为中心的五个正六边形分别代表各学科的五个等级，由低到高分别为1分至5分，由原点出发的六条线段分别指向六个学科．） b．丙同学六个学科的表现评级如表： 学科 物理 化学 政治 历史 地理 生物 表现评级 4 3 4 3 2 5 请根据以上图表回答下列问题： （1）从雷达图中可知，甲同学表现最好的三个学科为________； （2）请根据表中数据将丙同学的学科表现评级画在雷达图中，代表各学科的表现评级的点之间依次用线段连结； （3）该高中所在省份的高考模式为“”选考科目组合，“1”为首选科目，考生须在物理和历史中选择1门：“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物学中任选2门．如果根据高一期间各学科的综合表现评级来选择“”的组合，则乙同学应该选择________；（填写选项） A．物理、化学、生物 B．物理、化学、地理 C．历史、政治、地理 D．历史、政治、生物 （4）若甲、乙、丙三名同学都根据自己综合表现评级最高的三个学科选择“”的组合，且全班40名同学中有10名同学（包括甲）和甲的“”组合相同，有10名同学（包括乙）和乙的“”组合相同，有10名同学（包括丙）和丙的“”组合相同，剩下10名同学“”组合为物理、化学、生物，请用该班级40名同学的数据估计全年级400名学生中“”组合包含生物学科的学生人数． 【答案】（1）政治、历史、生物 （2）如图，点线连接的即为所求； （3）B （4）300 【解析】 【分析】（1）根据雷达图即可求解； （2）根据丙的成绩即可在雷达图用点线连起来，形成闭合六边形； （3）根据雷达图即可求解； （4）先确定40 中有生物的人数，再求出占比，再用400乘以占比即可． 【小问1详解】 解：从雷达图中可知，甲同学政治、历史、生物的成绩最高为分， ∴表现最好的三个学科为政治、历史、生物； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：首选科目(物理/历史二选一) ∵乙物理5分(满分)，历史1分(最低)，选物理； 再选科目(政治/地理/化学/生物，四选二) 剩余科目最高分是地理5分、其次是化学4分， 故选地理、化学； ∴最终组合：物理、化学、地理，对应选项B； 【小问4详解】 解：甲的三科为：历史、政治、生物（含生物），10人； 乙的三科为：物理、化学、地理（不含生物），10人； 丙的三科为：物理、政治、生物（含生物），10人， 剩余10人：物理、化学、生物（含生物） ∴（人） 答：全年级400名学生中“”组合包含生物学科的学生人数为300人． 21. 随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视节约用水．某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示，图中x表示人均月生活用水的吨数，y表示收取的人均月生活用水费（元）．请根据图象信息，回答下列问题： （1）当时，求y与x的函数关系式； （2）若某个家庭有5人，五月份的生活用水费共76元，则该家庭这个月用了多少吨生活用水？ 【答案】（1） （2）40吨 【解析】 【分析】（1）图象为一次函数，提取图象两点坐标，用待定系数法列方程组求k、b，得到函数关系式． （2）先算人均水费，对比5吨基准水费8元，判定人均用水超5吨，代入解析式求人均用水量，再乘人数得总用水量． 【小问1详解】 解：设当时，一次函数解析式为． 由图象可知，直线过，两点， 将两点代入解析式得： 解得， 当时，． 【小问2详解】 解：家庭共5人，总水费76元， 人均水费：（元）． ， 人均用水量， ， ， 解得． 全家总用水量：（吨）． 答：该家庭这个月用水吨． 22. 【问题背景】小明遇到了这样一个问题：如图①，的顶点、、、分别在的四条边、、、上，证明：． 【问题探究】 （1）首先，小明连结，如图②，接下来，小明想通过证明，进而得出，请你帮助小明补全下面的证明过程． 证明：连结，在中，，， ． 在中，，， ． ． ． 【结论应用】 （2）如图③，的顶点、、、分别在矩形的四条边、、、上，连结．若，，，当时，________． 【拓展提升】 （3）如图④，的顶点、、、分别在矩形的四条边、、、上，连结．若为菱形，且，，，则菱形的面积为________． 【答案】（1）∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用角相等，相减推出一组等角，结合已知边、角条件，AAS证三角形全等，实现线段等量转化； ​（2）作垂线构造直角三角形，用未知数表示各边，借助勾股定理列一元二次方程，结合取值取舍得到边长； ​（3）建立坐标系设未知数，依托菱形四边相等列式，搭配矩形边长关系联立方程组，矩形总面积减去四周四个直角三角形面积，算出菱形面积． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 过点作于点，如图： ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 由（1）知，， ∴， 即，， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍）， ∴当时，； 【小问3详解】 如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， ∵，且在上， ∴， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， 由（1）知，， ∴， 解，得， ∴，， ∴， ， ， ， ， ∴ ． 【点睛】全等换边，斜线构造直角三角形用勾股定理是矩形内嵌四边形通用解题套路． 23. 如图，是半圆O的直径，．点C是半圆O上一动点，连结、、，过点A作直线的垂线，交直线于点D． （1）求的大小； （2）求证：； （3）当时，求的值； （4）当与相似时，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）证明：， ， ． 由（1）可知：， ， ． ， ， ． （3）或 （4）3或 【解析】 【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角，直接得答案． （2）由、，同角余角相等得；再由等边对等角，等量代换证得结论． （3）设，分在上、在延长线两种位置，结合列方程求；用勾股定理算，正切定义求值． （4）由直径得，由垂线得，两角相等，两直角三角形相似．按相似字母分两类讨论，，再分点两种位置在和上在延长线，求． 【小问1详解】 为半圆直径， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，分两种情况： ①在线段上： ∵， ∴， ∴， ， ， 解得． ， ， ， 在中， ， ． ②在延长线： ， ， ， 解得． ， 在中， ， ． 或． 【小问4详解】 是半圆的直径， ， 与相似，直角为对应角，分两种对应关系： 当时 ， ①点在线段上， 根据三角形外角定理， 可得，，不符合实际，舍去． ②点在延长线上， 设，则 在中， ， ， 在中， 故 ，即 在中，角所对直角边等于斜边一半 ； 当时 ， ①点在线段上，与重合， 为等边三角形， 在中 ； ②点在延长线上， 根据三角形外角定理， ，与矛盾，不符合实际，舍去． 综上，的长为或． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线过点，点是该抛物线上的点且横坐标为，点是该抛物线上的点且位于第二象限，点为抛物线对称轴上的点，连结、，． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）若，，求点的坐标； （3）若， ①用含的式子表示线段的长； ②作射线交轴于点，连接，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①线段的长为；②的取值范围为： 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据题意得出，求得，根据得出设直线的解析式为，则，进而根据勾股定理求得的长，根据得出方程，求得点的横坐标，进而代入抛物线表达式，即可求解； ②同①的方法分别求得，根据，得出，即可求得的长，即可求解； （3）设直线的解析式为，代入，求得直线的解析式为，进而可得，根据得出，建立不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴ ∴ ∴该抛物线所对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点是该抛物线上的点且横坐标为，， ∴， ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴， ∴直线的解析式为 ∵ ∴设直线的解析式为， ∵点为抛物线对称轴上的点， ∴的横坐标为 ∴， ∵点是该抛物线上的点且位于第二象限 设， ∴ ∵ ∴ 解得： 当时， ∴ 【小问3详解】 解：①∵抛物线所对应的函数表达式为，点是该抛物线上的点且横坐标为， ∴， ∴ 同（1）可得直线的解析式为， 设直线的解析式为 ∵点为抛物线对称轴上的点， ∴的横坐标为 ∴， ∵点是该抛物线上的点且位于第二象限 设， ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴ 代入得， 解得： ∴，直线的解析式为， 即线段的长为； ②由①可得， 设直线的解析式为，代入 得 解得： ∴直线的解析式为 ∵射线交轴于点， 当时， ∴， ∴， 又 ∵ ∴， ∴ 解得： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是正方体展开图的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一部电梯的额定载重量为，两名体重分别为和的工人师傅要利用电梯搬运货物，每箱货物，两名工人师傅需要同时跟随货物一起乘坐电梯上楼，在保证安全的情况下，每次最多可以搬运货物的数量是（ ） A. 27箱 B. 28箱 C. 30箱 D. 33箱 6. 快递员往卡车上装载较重的货物时，常常会在车尾斜搭一块木板，将货物沿着木板往上推，这样比直接向上抬起货物省力很多．如图所示，木板与水平面夹角，车尾距地面高米，则木板长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，，，．若，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8. 【新情境·区间测速】如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：________． 10. 分解因式：________． 11. 若正n边形的中心角为，则_____． 12. 如图，直线与的交点坐标为，若，则x的取值范围是________． 13. 如图，是的直径，是的切线，点B为切点．连接交于点D，连接，若，则的度数是________． 14. 如图，在中，，，在上取一点，连结，使．点是上一动点，连结，将绕着点顺时针旋转得到，连结交于点．给出下面四个结论： ①； ②当时，； ③； ④在点的运动过程中，的最小值是． 上述结论中，正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 化简并求值：，其中． 16. 如图，正方体的顶点E处有一只蚂蚁．假设蚂蚁每次爬行时，都是从它所在的顶点出发，在以该顶点为端点的三条棱中，随机地选择一条爬到这条棱的另一个端点．用画树状图（或列表）的方法，求蚂蚁经过两次爬行后到点B的概率． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： （1）在图①中，以为斜边作等腰直角三角形； （2）在图②中画出以O为对称中心的平行四边形． 18. 长春某滑雪场需要清点540副滑雪装备，安排两位工作人员各自清点一遍．已知甲的清点速度是乙的1.5倍，结果甲比乙少用3小时完成清点．求这两位工作人员每小时各能清点的装备数量． 19. 如图，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结C′E． 求证：四边形CDC′E是菱形． 20. 雷达图，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图，可用于对研究对象进行多维分析，并能够直观地描述研究对象的优势和不足．某高中将学生在高一期间各学科的综合表现分为1至5五个等级，等级越高，表现越好．甲、乙、丙三位同学各学科表现评级分别如下： a．甲和乙两位同学各学科表现评级雷达图： （以O为中心的五个正六边形分别代表各学科的五个等级，由低到高分别为1分至5分，由原点出发的六条线段分别指向六个学科．） b．丙同学六个学科的表现评级如表： 学科 物理 化学 政治 历史 地理 生物 表现评级 4 3 4 3 2 5 请根据以上图表回答下列问题： （1）从雷达图中可知，甲同学表现最好的三个学科为________； （2）请根据表中数据将丙同学的学科表现评级画在雷达图中，代表各学科的表现评级的点之间依次用线段连结； （3）该高中所在省份的高考模式为“”选考科目组合，“1”为首选科目，考生须在物理和历史中选择1门：“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物学中任选2门．如果根据高一期间各学科的综合表现评级来选择“”的组合，则乙同学应该选择________；（填写选项） A．物理、化学、生物 B．物理、化学、地理 C．历史、政治、地理 D．历史、政治、生物 （4）若甲、乙、丙三名同学都根据自己综合表现评级最高的三个学科选择“”的组合，且全班40名同学中有10名同学（包括甲）和甲的“”组合相同，有10名同学（包括乙）和乙的“”组合相同，有10名同学（包括丙）和丙的“”组合相同，剩下10名同学“”组合为物理、化学、生物，请用该班级40名同学的数据估计全年级400名学生中“”组合包含生物学科的学生人数． 21. 随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视节约用水．某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示，图中x表示人均月生活用水的吨数，y表示收取的人均月生活用水费（元）．请根据图象信息，回答下列问题： （1）当时，求y与x的函数关系式； （2）若某个家庭有5人，五月份的生活用水费共76元，则该家庭这个月用了多少吨生活用水？ 22. 【问题背景】小明遇到了这样一个问题：如图①，的顶点、、、分别在的四条边、、、上，证明：． 【问题探究】 （1）首先，小明连结，如图②，接下来，小明想通过证明，进而得出，请你帮助小明补全下面的证明过程． 证明：连结，在中，，， ． 在中，，， ． ． ． 【结论应用】 （2）如图③，的顶点、、、分别在矩形的四条边、、、上，连结．若，，，当时，________． 【拓展提升】 （3）如图④，的顶点、、、分别在矩形的四条边、、、上，连结．若为菱形，且，，，则菱形的面积为________． 23. 如图，是半圆O的直径，．点C是半圆O上一动点，连结、、，过点A作直线的垂线，交直线于点D． （1）求的大小； （2）求证：； （3）当时，求的值； （4）当与相似时，直接写出线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线过点，点是该抛物线上的点且横坐标为，点是该抛物线上的点且位于第二象限，点为抛物线对称轴上的点，连结、，． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）若，，求点的坐标； （3）若， ①用含的式子表示线段的长； ②作射线交轴于点，连接，当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $