精品解析：2026年河南商丘市睢阳区包公庙初级中学等学校初中学业水平模拟数学试卷

2026年河南初中学业水平模拟 数学 注意事项：共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 分别观察下列几何体，其中不含曲面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可． 【详解】解：A．选项图形只有曲面，不符合题意； B．选项图形有曲面也有平面，不符合题意； C．选项图形有曲面也有平面，不符合题意； D．选项图形只有平面，符合题意． 3. 2026年3月20日，以“回河南•寻味中国年”为主题的“春满中原•老家河南”活动正式落幕，为广大群众奉上一场兼具文化底蕴与节日氛围的文旅盛宴，某地区分会场检测到一段时间内人流量达到6万人次．数据“6万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：万． 4. 一个杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角为α，支持力与重力G方向的夹角为β，当β的度数为时，α的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，求出，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【详解】解：作，则，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 即：α的度数为． 5. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，直接利用根的判别式判断即可． 【详解】解：∵ ∴一元二次方程没有实数根. 故选：C． 6. 根据二元一次方程组，判断x与y的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题无需分别求出和的值，只需将方程组中两个方程作差，得到的结果，即可判断和的大小关系． 【详解】解： ，得 整理得 ∴ 即． 7. 三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（ ）种． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断三角形四心在任意三角形中的位置，统计满足“任意三角形中都在内部”的心的个数即可得到答案． 【详解】解：内心是三角形内角平分线的交点，任意三角形的内心都在三角形内部； 重心是三角形中线的交点，任意三角形的重心都在三角形内部； 外心是三角形三边垂直平分线的交点，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点，因此外心不满足条件； 垂心是三角形高线所在直线的交点，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心在直角顶点，因此垂心不满足条件． 综上所述，满足条件的心共有种． 8. 定义：十位上的数字比个位、百位上的数字都要小的三位数叫作“凹数”，如：213就是一个“凹数”．已知一个三位数“□4□”，则从3，4，5，6中任取两数填入“□”中，能组成“凹数”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画树状图找出所有等可能的填数结果，再结合“凹数”的定义找出符合条件的结果，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中能组成“凹数”的情况有，，共2种， ∴能组成“凹数”的概率为． 9. 如图，将正方形放置在平面直角坐标系中，其中点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，边交x轴正半轴于点P，若，，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】勾股定理求出，证明，利用余弦的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 正方形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 10. 如图1，时，向盛有水的甲、乙两个烧杯中，分别加入50克的M，N两种固体物质，使其充分溶解．M，N两种物质在水中的溶解度曲线如图2所示，下列说法正确的是（ ） 信息窗 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫作这种物质在这种溶剂中的溶解度，此时的溶液称为饱和溶液． A. 在～时，N物质的溶解度可能随温度的升高而降低 B. 时，M物质的溶解度为0 C. N物质的溶解度曲线对应曲线① D. 在时，再取等质量的M，N物质分别配制成饱和溶液，M物质需要的水的质量更少 【答案】D 【解析】 【分析】结合图1的溶解现象，判断时M、N的溶解度和的大小关系：因为时水中加入M有固体剩余，加入N无剩余，所以时M的溶解度小于，N的溶解度大于等于，以此为突破口对应图2的两条溶解度曲线．分析A选项时，观察到两条曲线的变化趋势，根据曲线走向判断溶解度随温度的变化情况．分析B选项时，根据溶解度曲线的起点含义，判断时M的溶解度是否为0．分析D选项时，先确定时M、N的溶解度大小，再根据饱和溶液中溶质、溶剂、溶解度的关系，判断配制等质量溶质的饱和溶液时所需水的质量关系． 【详解】先结合题目信息推导： 时，水中加入M，M有剩余固体，说明时M的溶解度；加入N，N完全溶解，说明时N的溶解度． 结合溶解度曲线，时曲线①溶解度，曲线②溶解度， 所以对应曲线①，对应曲线②． 选项A：N对应曲线②，~范围内曲线②的溶解度随温度升高而增大，不是降低，A错误． 选项B：时曲线①（M）的溶解度大于0，不可能为0，B错误． 选项C：由推导可知，N对应曲线②，不是曲线①，C错误． 选项D：时，曲线①（M）的溶解度大于曲线②（N）的溶解度；配制饱和溶液时，溶解度越大，溶解等质量的溶质需要的水更少，因此M需要水的质量更少，D正确． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识，利用二次根式的被开方数是非负数得出关于x的不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图．根据统计图表中的信息，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了从统计图中获取信息，由选择中支付方式有人占，可求出总人数，即可求解． 【详解】解：由图得：选择种支付方式有人占， 调查总人数为：（人）， 在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为： ， 故答案为：． 13. 按一定规律排列的一列单项式：，，，，…，则第7个单项式是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别观察单项式的符号根号内的数分母以及y的指数的变化规律，推导出第个单项式为 ，再代入即可得到结果． 【详解】解：观察已知单项式可得规律： ①符号规律：第奇数个单项式的符号为正，第偶数个单项式的符号为负，即； ②根号内的数的规律：第个单项式根号内的数为； ③分母规律：所有单项式的分母均为； ④的指数规律：第个单项式的指数为． 第个单项式为 ∴第7个单项式为． 14. 如图，是的直径，为弦，在上取点D使得，且、延长交于点E，若，则图中阴影部分（由弦和组成的弓形）的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，求得，在中，求出，在中，得，求出，得，由勾股定理得，由弧长公式得的长为，从而可得结论． 【详解】解：连接，， ∵是的直径，且， ∴； 在中，∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵点D在上，点E在的延长线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 的长为， ∴阴影部分（由弦和组成的弓形）的周长为． 15. 在中，，，是平面内一点，满足，，则点到直线的距离为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况分析：当在左侧时，当在右侧时，分别求解即可得出答案． 【详解】解：当在左侧时，过点作于点，于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在右侧时，过点作于点，于， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，点到直线的距离为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简 （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 少林武术、龙门石刻、云台丹霞、汴京梦华……河南17处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．某校随机抽取了七八年级的部分同学进行了“河南景区知多少”的测试，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 【数据整理】李丽同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的条形统计图： 【数据分析】李丽同学对两个年级的成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 a 8 c 八年级 7.925 b 9 d 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________，________． （2）若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请你估计七年级测试成绩高于平均数的人数． 【答案】（1）8.075，8，8， （2）估计七年级测试成绩高于平均数的人数为人． 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义直接求解即可； （2）利用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：， 八年级共抽取了（人）， 将八年级名学生的成绩从低到高排列，则中位数为第和第两个成绩的平均值， 因为， 所以成绩排在第和第的两个成绩都为分， 所以中位数， 因为七年级数据中，分出现15次，出现次数最多， 所以这组数据的众数是8，即， 由统计图数据得； 【小问2详解】 解：七年级成绩高于平均数8.075分的分数为9分和10分，对应的人数为（人）， 则（人）， 答：估计七年级测试成绩高于平均数的人数为人． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格坐标系中，菱形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数的图象经过的中点． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点P的另外3个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将菱形在图示初始位置，向上或向下或向左或向右进行一次平移，当恰好有两个顶点同时落在反比例函数的图象上时，直接写出平移的方向和距离． 【答案】（1） （2）解：画反比例函数图象如图所示： （3）向左平移3个单位长度 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分别取，代入（1）中解析式求出对应值，描点，再用光滑的曲线连接即可； （3）由菱形在图示初始位置可得，设平移后点的对应点为，根据点的平移规律，设出平移后点的坐标，代入反比例函数解析式即可解答． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴， ∴这个反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，，当时，，当时，， 画出反比例函数图象略 【小问3详解】 解：由图知， 设平移后点的对应点为， 将菱形向左平移个单位， 此时，点的对应点为， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 当时，则， ∴将菱形向左平移个单位，点和点同时落在反比例函数的图象上； 将菱形向上平移个单位， 此时，点的对应点为， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 当时，则， ∴点中，不可能同时有两个点同时落在反比例函数的图象上； 综上，将菱形向左平移个单位，恰好有两个顶点同时落在反比例函数的图象上． 19. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等均为，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同． （1）在图1中，求拉杆把手A点距离地面的高度（用含a的代数式表示）． （2）结合图2，求a的值．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】（1）拉杆把手A点距离地面的高度为 （2） 【解析】 【分析】（1）过点A作于N，在Rt△ACN中，利用，即可作答； （2）过点A作于点H，在Rt△ACH中，利用，表示出，再结合（1）的结果列等式，解方程即可作答． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于N， 在中，，， ∵， ∴， 即拉杆把手A点距离地面的高度为． 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点H， 在Rt△ACH中，，， ∵， ∴， 结合（1）中，， 则由题意，得， 解得（）． 20. 如图，在中，，以为直径的与边相切，且交边于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，且交线段于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）如图，即为所作； （2） 【解析】 【分析】（1）尺规作图即可． （2）勾股定理求边长，再利用面积列等式求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， 在中，，，， 根据勾股定理得， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，，， ， ∴，即 ∴ 在中，， 根据勾股定理可得，， 在中，， ∴，即， 解得． 21. 汝南特产五香大头菜是河南酱菜非遗技艺的代表性腌渍食品，汝南五香鸡汁豆腐干是源于唐代的河南驻马店传统名吃．某商家计划从汝南购进五香大头菜和鸡汁豆腐干两种特产．已知每箱鸡汁豆腐干的价格比每箱五香大头菜的价格贵8元，用1200元购买鸡汁豆腐干的数量恰好与用1000元购买五香大头菜的数量相同． （1）求五香大头菜和鸡汁豆腐干每箱的价格． （2）该商家计划购买这两种特产共60箱．为推广汝南农产品，供应商对两种特产进行了优惠：鸡汁豆腐干每箱降价5元，五香大头菜每箱打九折．若要求鸡汁豆腐干的数量不得少于五香大头菜数量的一半，则购买这批特产最少需要花费多少元？ 【答案】（1）五香大头菜每箱的价格为40元，鸡汁豆腐干每箱的价格为48元 （2）购买这批特产最少需要花费2300元 【解析】 【分析】（1）设五香大头菜每箱的价格为x元，则鸡汁豆腐干每箱的价格为元，根据“用1200元购买鸡汁豆腐干的数量恰好与用1000元购买五香大头菜的数量相同”列出分式方程，解方程即可； （2）设购买这批特产花费w元，其中购买鸡汁豆腐干m箱，则购买五香大头菜箱，由鸡汁豆腐干的数量不得少于五香大头菜数量的一半，可得，由题意得，由一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设五香大头菜每箱的价格为x元，则鸡汁豆腐干每箱的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际， ∴， ∴五香大头菜每箱的价格为40元，鸡汁豆腐干每箱的价格为48元； 【小问2详解】 解：设购买这批特产花费w元，其中购买鸡汁豆腐干m箱，则购买五香大头菜箱， 由题意得：， 由题意得：， 解得：， ∴且m为整数， ∵， ∴w随着m的增大而增大， ∴当时，w取最小值，最小值为2300， ∴购买这批特产最少需要花费2300元． 22. 已知抛物线关于直线对称． （1）求a的值． （2）若点在此抛物线上，当时，求的最大值与最小值的差． （3）若点，都在此抛物线上，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）1 （2）16 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称轴的公式直接列式作答即可； （2）先得出抛物线的解析式，根据抛物线开口确定的值随x的大小而变化的情况，问题即可求解； （3）抛物线的开口向上，且距离抛物线对称轴越近的点，其函数值越小，根据可知点距离对称轴的距离更远，据此列出带绝对值的不等式，再分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意有：，解得：； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线解析式为：； ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，的最大值为，,最小值为， ∴的最大值与最小值的差：； 【小问3详解】 点，都在此抛物线上，且， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的开口向上，且距离抛物线对称轴越近的点，其函数值越小， ∵， ∴， 即：， 当时，去绝对值为：， ∴恒成立，即此时满足要求； 当时，去绝对值为：， 解得：， ∴当时，满足要求； 当时，去绝对值为：， 即此时不等式无解，故此种情况舍去； 综上：的取值范围为：． 23. 在平行四边形中，是其对角线，将沿折叠得到，交于点F，连接． （1）如图1，若，线段，，的数量关系是__________，与的位置关系是_________； （2）如图2，若，（1）中的结论是否仍然成立？请仅就图2说明理由； （3）在（1）的基础上，若，，将绕点A在平面内旋转，点B的对应点为，点E的对应点为，连接，设．当时，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）成立 ∵四边形为平行四边形， ∴，，， 由折叠的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）先证明平行四边形是矩形，由折叠的性质得，，再证明，得到，从而得到；再证明，可得； （2）成立，思路方法同（1）;; （3）分点在上和点在的延长线上两种情况：当点在上时，求出，过点作于点，则；在上取一点，使，求出，设，则，，，可求出，点在的延长线上时，同理可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∵是沿折叠得到的， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）知，四边形是矩形，，，， ∴，，， ∴， ∴， 由折叠得， ∴, ∵， ∴， ∴； 当点在上时，如图， 由旋转得：，， 则， 过点作于点，则；在上取一点，使， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，即； ∴； 当点在的延长线上时，如图，过点作交的延长线于点， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南初中学业水平模拟 数学 注意事项：共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 分别观察下列几何体，其中不含曲面的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年3月20日，以“回河南•寻味中国年”为主题的“春满中原•老家河南”活动正式落幕，为广大群众奉上一场兼具文化底蕴与节日氛围的文旅盛宴，某地区分会场检测到一段时间内人流量达到6万人次．数据“6万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一个杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角为α，支持力与重力G方向的夹角为β，当β的度数为时，α的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 6. 根据二元一次方程组，判断x与y的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（ ）种． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 定义：十位上的数字比个位、百位上的数字都要小的三位数叫作“凹数”，如：213就是一个“凹数”．已知一个三位数“□4□”，则从3，4，5，6中任取两数填入“□”中，能组成“凹数”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将正方形放置在平面直角坐标系中，其中点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，边交x轴正半轴于点P，若，，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，时，向盛有水的甲、乙两个烧杯中，分别加入50克的M，N两种固体物质，使其充分溶解．M，N两种物质在水中的溶解度曲线如图2所示，下列说法正确的是（ ） 信息窗 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫作这种物质在这种溶剂中的溶解度，此时的溶液称为饱和溶液． A. 在～时，N物质的溶解度可能随温度的升高而降低 B. 时，M物质的溶解度为0 C. N物质的溶解度曲线对应曲线① D. 在时，再取等质量的M，N物质分别配制成饱和溶液，M物质需要的水的质量更少 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图．根据统计图表中的信息，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度． 13. 按一定规律排列的一列单项式：，，，，…，则第7个单项式是______． 14. 如图，是的直径，为弦，在上取点D使得，且、延长交于点E，若，则图中阴影部分（由弦和组成的弓形）的周长为_______． 15. 在中，，，是平面内一点，满足，，则点到直线的距离为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算及化简 （1）计算：． （2）化简：． 17. 少林武术、龙门石刻、云台丹霞、汴京梦华……河南17处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．某校随机抽取了七八年级的部分同学进行了“河南景区知多少”的测试，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 【数据整理】李丽同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的条形统计图： 【数据分析】李丽同学对两个年级的成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 a 8 c 八年级 7.925 b 9 d 请根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________，________． （2）若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请你估计七年级测试成绩高于平均数的人数． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格坐标系中，菱形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数的图象经过的中点． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点P的另外3个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将菱形在图示初始位置，向上或向下或向左或向右进行一次平移，当恰好有两个顶点同时落在反比例函数的图象上时，直接写出平移的方向和距离． 19. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等均为，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同． （1）在图1中，求拉杆把手A点距离地面的高度（用含a的代数式表示）． （2）结合图2，求a的值．（结果保留整数．参考数据：） 20. 如图，在中，，以为直径的与边相切，且交边于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，且交线段于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若，，求线段的长． 21. 汝南特产五香大头菜是河南酱菜非遗技艺的代表性腌渍食品，汝南五香鸡汁豆腐干是源于唐代的河南驻马店传统名吃．某商家计划从汝南购进五香大头菜和鸡汁豆腐干两种特产．已知每箱鸡汁豆腐干的价格比每箱五香大头菜的价格贵8元，用1200元购买鸡汁豆腐干的数量恰好与用1000元购买五香大头菜的数量相同． （1）求五香大头菜和鸡汁豆腐干每箱的价格． （2）该商家计划购买这两种特产共60箱．为推广汝南农产品，供应商对两种特产进行了优惠：鸡汁豆腐干每箱降价5元，五香大头菜每箱打九折．若要求鸡汁豆腐干的数量不得少于五香大头菜数量的一半，则购买这批特产最少需要花费多少元？ 22. 已知抛物线关于直线对称． （1）求a的值． （2）若点在此抛物线上，当时，求的最大值与最小值的差． （3）若点，都在此抛物线上，且，请直接写出m的取值范围． 23. 在平行四边形中，是其对角线，将沿折叠得到，交于点F，连接． （1）如图1，若，线段，，的数量关系是__________，与的位置关系是_________； （2）如图2，若，（1）中的结论是否仍然成立？请仅就图2说明理由； （3）在（1）的基础上，若，，将绕点A在平面内旋转，点B的对应点为，点E的对应点为，连接，设．当时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $