精品解析：2026年河南省商丘市多校联考初中学业水平调研数学试卷

2026年初中学业水平调研数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ） A. 10℃ B. 0℃ C. -10 ℃ D. -20℃ 2. 图①是正方体的表面展开图，该正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体，在图①标注的顶点A、B、C、D中，与点P重合的顶点是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 3. 2024年清明节假期，洛阳地铁客流刷新历史最高记录，4月5日地铁日客运量54.32万人次，创历史新高．数据“54.32万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图为一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可量出此扇形零件的圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的方程有实数根，则下列的值中，不符合要求的是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 如图，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点（网格线的交点）上，是的高线，则的长为（     ） A. B. C. D. 7. 若分式□的运算结果是，则在“□”中添加的符号是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 为了准备第八届中国诗歌节，某校组织了一次诗歌比赛，有名女生和名男生获得一等奖，现准备从这名获奖学生中随机选出名学生进行培训，将来代表学校参加第八届中国诗歌节比赛，则选出的结果是“一男一女”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 电池能量最多可充 B. 摩托车每行驶消耗能量 C. 一次性充满电后，摩托车最多行驶 D. 摩托车充满电后，行驶将自动报警 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的x的值：______． 12. 新郑红枣是河南省郑州市新郑市的特色地方品种，为全国农产品地理标志．某果农种植的红枣在采摘完后，发现大果、中果和小果的产量比为，若每斤的售价大果定为12元，中果定为8元，小果定为6元，则该批红枣的平均售价为每斤______元． 13. 观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 14. 《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载了勾股定理这一重要的数学原理，吴国数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“赵爽弦图（也称勾股圆方图），在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形．分别以，为圆心，长为半径作弧，若，为的中点，则图中阴影部分的面积为____________． 15. 若一个三角形的三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”，如图，在矩形中，，点G在边上，将沿所在直线折叠，得到，再将沿过点A的直线折叠，使与重合，点的对应点为点E，折痕与交于点F，若是“勾股三角形”，则的长为_______． 三、解答题（8题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解不等式：并把解集表示在数轴上． 17. 小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了A，B，C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下： （1）数据分析： ①求B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数； ②若将车辆的外观造型，舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按的比例统计，求A款新能原汽车四项评分数据的平均数． （2）合理建议： 请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由． 18. 在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上． （1）确定反比例函数的关系式； （2）现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点的对应点的坐标． 19. 如图，中，． （1）尺规作图：请在图1的内作一点P，使点P在以为直径的圆上，且点P到的距离相等；（请保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）在（1）的条件下，若，，求直径、弦、围成的封闭图形的面积．（如需画草图，请使用备用图） 20. 洛阳牡丹甲天下，洛阳的牡丹饼也深受广大消费者的喜爱．已知某品牌牡丹饼销售A种20盒和B种30盒的利润为1200元，销售A种40盒和B种10盒的利润为900元． （1）求每盒A种牡丹饼和每盒B种牡丹饼的销售利润各为多少元； （2）春节期间，某经销商打算一次性购进两种牡丹饼共200盒，其中B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，请你帮该经销商设计一种进货方案，使销售总利润最大，并求出最大利润． 21. 由于建筑前种植有绿化区，无法到建筑物底部测量建筑物的影长．某综合与实践小组开展测量建筑物高度的活动，记录如下． 活动主题 测量建筑物的高度 测量示意图 测量说明 如图，在太阳光下，建筑物顶端D的影子落在点B处，同一时刻，竖直放置的标杆BE顶端E的影子落在点A处，小组成员在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上． 测量数据 ． 备注 点F，A，B，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． 任务1：小明说：“若没有绿化区的影响，直接测量出的长度，就可以测出建筑物的高度”，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； 任务2：求建筑物的高是多少？ 任务3：该小组在查找资料时，发现住建部门登记的建筑物的高度为，请写出一条测量结果有误差的原因． 22. 在平面直角坐标系中，，在二次函数的图象上． （1）当时，求该函数图象的顶点坐标． （2）若，求的取值范围． （3）若，且当时，有最小值，求的值． 23. 综合实践 在中，点是边的中点． （1）如图①，延长到点，使，连接，可得出，其依据是______．（填序号） ① ② ③ ④ ⑤ （2）如图②，在边上任取点，（不与两点重合）连接，并延长到点，使．连接，在图②中画出相应的图形，并观察四边形是特殊的四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由． 解决问题 如图③，在中，，点为平面内一点，，将线段绕点顺时针旋转得，点为中点，当时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平调研数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（ ） A. 10℃ B. 0℃ C. -10 ℃ D. -20℃ 【答案】C 【解析】 【分析】零上温度记为正，则零下温度就记为负，则可得出结论． 【详解】解：若零上记作，则零下可记作：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 2. 图①是正方体的表面展开图，该正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体，在图①标注的顶点A、B、C、D中，与点P重合的顶点是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】先找出下面，然后折叠，找出正方形位于正方体的哪个面上，点P所在正方形位于正方体的哪个面上，即可找出与点P重合的顶点． 【详解】如图 以正方形1为下面，将正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体时，正方形位于正方形的上面，点P所在正方形在前面，点B与点P重合． 故选B 【点睛】本题考查正方形的展开图和空间想象能力，关键是找出或想象出折叠前后图形的关系． 3. 2024年清明节假期，洛阳地铁客流刷新历史最高记录，4月5日地铁日客运量54.32万人次，创历史新高．数据“54.32万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可． 【详解】解：54.32万， 故选：C． 4. 如图为一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可量出此扇形零件的圆心角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查对顶角，根据对顶角相等，结合量角器求出圆心角的度数即可． 【详解】解：由图和对顶角相等，可得：这个扇形零件圆心角的度数为； 故选A． 5. 若关于的方程有实数根，则下列的值中，不符合要求的是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，一元二次方程的定义，掌握分类讨论思想是关键．由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令，即可求出的取值范围，要注意，．再令方程为一元一次方程，进行解答． 【详解】解：当方程为一元二次方程时，方程有解， 则且， 解得：且， 当方程为一元一次方程时， 方程有解，则， 综上：当时，方程有实数根． ∴四个数中,不符合要求的值是2， 故选：A． 6. 如图，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点（网格线的交点）上，是的高线，则的长为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理得到，，，证明出为等腰直角三角形，再由等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边上的中线为斜边一半解答即可． 【详解】解：，，， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∵为的高， ∴是斜边上的中线， ∴． 7. 若分式□的运算结果是，则在“□”中添加的符号是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：， ， ∴在“□”中添加的符号是或， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 8. 为了准备第八届中国诗歌节，某校组织了一次诗歌比赛，有名女生和名男生获得一等奖，现准备从这名获奖学生中随机选出名学生进行培训，将来代表学校参加第八届中国诗歌节比赛，则选出的结果是“一男一女”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图，共有种等可能的情况，其中选出的结果是“一男一女”的情况有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画出树状图如下： 共有种等可能的情况，其中选出的结果是“一男一女”的情况有种， 选出的结果是“一男一女”的概率是是． 故选：． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 9. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 10. 在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 电池能量最多可充 B. 摩托车每行驶消耗能量 C. 一次性充满电后，摩托车最多行驶 D. 摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可． 【详解】由图象可得，当时，， ∴电池能量最多可充，故A错误； ， ∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误； 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的x的值：______． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴满足条件． 12. 新郑红枣是河南省郑州市新郑市的特色地方品种，为全国农产品地理标志．某果农种植的红枣在采摘完后，发现大果、中果和小果的产量比为，若每斤的售价大果定为12元，中果定为8元，小果定为6元，则该批红枣的平均售价为每斤______元． 【答案】8.8 【解析】 【详解】解：根据加权平均数的求解方法，得该批红枣的平均售价为每斤： （元）． 13. 观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案． 【详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 14. 《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载了勾股定理这一重要的数学原理，吴国数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“赵爽弦图（也称勾股圆方图），在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形．分别以，为圆心，长为半径作弧，若，为的中点，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用全等直角三角形的性质，得出线段之间的数量关系，求出小正方形边长，再分别计算扇形面积和小正方形中相关三角形（或直接小正方形）面积，通过面积和差求出阴影部分面积． 本题主要考查赵爽弦图的性质、扇形面积公式，熟练掌握全等三角形对应边关系求小正方形边长，以及利用“扇形面积和—重叠部分面积（小正方形）”计算阴影面积是解题关键． 【详解】解：根据题意得：，点G为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即小正方形的边长． ∴． 故答案为： 15. 若一个三角形的三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”，如图，在矩形中，，点G在边上，将沿所在直线折叠，得到，再将沿过点A的直线折叠，使与重合，点的对应点为点E，折痕与交于点F，若是“勾股三角形”，则的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．理解并掌握“勾股三角形”的定义是解题的关键． 证明，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：由折叠的性质，可得：， ， ， ， ， ， ∵是“勾股三角形”， 或， 当时，设，则：， ， ， ， ， ， ， 当时，同理可得：； 故答案为：或． 三、解答题（8题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解不等式：并把解集表示在数轴上． 【答案】（1）2；（2），数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，在数轴上表示解集，涉及零指数幂和绝对值等知识点，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）分别计算零指数幂和有理数的平方以及计算绝对值，再进行加减计算； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤求出解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， ， ， 解得：， ∴原不等式的解为：， 数轴表示为： 17. 小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了A，B，C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下： （1）数据分析： ①求B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数； ②若将车辆的外观造型，舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按的比例统计，求A款新能原汽车四项评分数据的平均数． （2）合理建议： 请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由． 【答案】（1）①3015辆，②68.3分 （2）选B款，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①根据中位数的概念求解即可； ②根据加权平均数的计算方法求解即可； （2）根据加权平均数的意义求解即可． 【小问1详解】 ①由中位数的概念可得， B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为3015辆； ②分． ∴A款新能原汽车四项评分数据的平均数为分； 【小问2详解】 给出的权重时， （分）， （分）， （分）， 结合2023年3月的销售量， ∴可以选B款． 【点睛】此题考查了中位数和加权平均数，以及利用加权平均数做决策，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 18. 在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上． （1）确定反比例函数的关系式； （2）现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点的对应点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征．正确的作出辅助线是关键． （1）过点B作轴于点D，证明，可得，可求出点C的坐标，即可求解； （2）先求出时，可得此时点A移动了个单位长度，即C也移动了个单位长度，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作轴于点D， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点的坐标为，顶点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴设反比例函数的式为， 将代入得：， ∴反比例函数的关系式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得：， 当顶点A恰好落在该双曲线上时， 此时点A移动了个单位长度， ∴C也移动了个单位长度， ∵点的坐标为， ∴点C的对应点的坐标为． 19. 如图，中，． （1）尺规作图：请在图1的内作一点P，使点P在以为直径的圆上，且点P到的距离相等；（请保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）在（1）的条件下，若，，求直径、弦、围成的封闭图形的面积．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）画出以为直径的圆以及的平分线，取其交点即可； （2）连接，过点P作于点D，根据特殊角的三角函数值得出，再根据角平分线的定义知，再根据圆周角定理得，然后根据解直角三角形的知识得，最后根据直径弦围成的封闭图形的面积为即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，先作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，再作的平分线，交于点P， 则点P即为所求． 【小问2详解】 解：如图，连接，过点P作于点D， ∵，，， ∴， ∴． 由（1）知，，为的平分线， ， ∴， ， ∴直径、弦、围成的封闭图形的面积为：． 【点睛】本题考查了基本作图—角平分线，线段垂直平分线，扇形的面积公式，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 20. 洛阳牡丹甲天下，洛阳的牡丹饼也深受广大消费者的喜爱．已知某品牌牡丹饼销售A种20盒和B种30盒的利润为1200元，销售A种40盒和B种10盒的利润为900元． （1）求每盒A种牡丹饼和每盒B种牡丹饼的销售利润各为多少元； （2）春节期间，某经销商打算一次性购进两种牡丹饼共200盒，其中B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，请你帮该经销商设计一种进货方案，使销售总利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）每盒A种牡丹饼的销售利润为15元，每盒B种牡丹饼的销售利润为30元； （2）当购进A种牡丹饼50盒，B种牡丹饼150盒时，销售总利润最大，最大利润为5250元 【解析】 【分析】（1）设每盒A种牡丹饼的销售利润为x元，每盒B种牡丹饼的销售利润为y元，根据销售A种20盒和B种30盒的利润为1200元，销售A种40盒和B种10盒的利润为900元列二元一次方程组解答； （2）设总利润为w元，购进A种牡丹饼m盒，则购进B种牡丹饼盒．一次性购进两种牡丹饼共200盒，其中B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍，列函数解析式解答． 【小问1详解】 解：（1）设每盒A种牡丹饼的销售利润为x元，每盒B种牡丹饼的销售利润为y元，根据题意， 得， 解得， 答：每盒A种牡丹饼的销售利润为15元，每盒B种牡丹饼的销售利润为30元； 【小问2详解】 解：设总利润为w元，购进A种牡丹饼m盒，则购进B种牡丹饼盒． 根据题意得，， ∵B种牡丹饼的进货量不超过A种的3倍， ∴，， 解得，， ∴，m为整数， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w最大，最大值为， 则， 答：当购进A种牡丹饼50盒，B种牡丹饼150盒时，销售总利润最大，最大利润为5250元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系，利润与售价和成本的关系，列二元一次方程组，列一次函数解析式，求一次函数最值，是解题的关键． 21. 由于建筑前种植有绿化区，无法到建筑物底部测量建筑物的影长．某综合与实践小组开展测量建筑物高度的活动，记录如下． 活动主题 测量建筑物的高度 测量示意图 测量说明 如图，在太阳光下，建筑物顶端D的影子落在点B处，同一时刻，竖直放置的标杆BE顶端E的影子落在点A处，小组成员在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上． 测量数据 ． 备注 点F，A，B，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． 任务1：小明说：“若没有绿化区的影响，直接测量出的长度，就可以测出建筑物的高度”，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由； 任务2：求建筑物的高是多少？ 任务3：该小组在查找资料时，发现住建部门登记的建筑物的高度为，请写出一条测量结果有误差的原因． 【答案】任务1：小明的说法正确，理由见解析；任务2：建筑物的高是；任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 任务1：证明出得到，即可求解； 任务2：证明，则＝，由任务1得，＝，故＝，再代入数据求解即可； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差． 【详解】解：任务1：小明的说法正确，理由如下： 由题意可得，，， ∴， ∴＝， ∵， ∴， ∵可以直接测量出的长度， ∴建筑物的高度可以通过计算得出； 任务2：∵∠， ∴， ∴＝， 由任务1得，＝， ∴＝， ∵， ∴＝， ∴， ∵，即， ∴． 答：建筑物的高是； 任务3：在地面上找一点F，使得点F，E，D在同一条直线上时存在误差（答案不唯一）． 22. 在平面直角坐标系中，，在二次函数的图象上． （1）当时，求该函数图象的顶点坐标． （2）若，求的取值范围． （3）若，且当时，有最小值，求的值． 【答案】（1）该函数图象的顶点坐标 （2） （3）的值是或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据的值，得到在二次函数图象上，化成顶点式，得到顶点坐标； （2）根据点坐标，表示出，代入到，得到结果； （3）根据题意，得到解析式，结合题意，求得值即可． 【小问1详解】 解：， ∴在二次函数图象上， ， 该函数图象的顶点坐标； 【小问2详解】 解：∵，在二次函数的图象上 ∴，， ， ∴ ， 【小问3详解】 解：， ， ， ， 该函数图象的对称轴为直线， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，符合题意， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得，不合题意舍去， 当时，该函数在处取到最小值， ， 解得不合题意舍去， 综上所述，的值是或． 23. 综合实践 在中，点是边的中点． （1）如图①，延长到点，使，连接，可得出，其依据是______．（填序号） ① ② ③ ④ ⑤ （2）如图②，在边上任取点，（不与两点重合）连接，并延长到点，使．连接，在图②中画出相应的图形，并观察四边形是特殊的四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由． 解决问题 如图③，在中，，点为平面内一点，，将线段绕点顺时针旋转得，点为中点，当时，请求出的长． 【答案】（1）②；（2）画图见解析，四边形是平行四边形，证明见解析；问题解决：的长为和 【解析】 【分析】（1）已知点是边的中点，得到，由对顶角，再结合，根据两个三角形全等的判定定理，利用即可得到，即可得到得到答案； （2）根据题意作出图形，由平行四边形的判定定理可知四边形平行四边形；根据题意，分两种情况①在线段上；②在线段延长线上；由平行四边形的判定与性质，结合勾股定理即可得到答案． 【详解】解：（1）点是边的中点， ， 在和中， ， ， 故选：②； （2）如图1所示： 四边形平行四边形， 理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形． 解决问题：根据题意，分两种情况：①在线段上；②在线段延长线上； ①延长到点，使，连接，如图2所示： ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴三点在同一条直线上， ∴， ∵， ， 在中，，由勾股定理得， ∴； ②延长到点，使，连接，如图3所示： 同理，由①可知， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴三点在同一条直线上， ∴， ∵， ， 在中，，由勾股定理得， ∴； 综上所述，的长为和． 【点睛】本题考查几何综合，涉及全等三角形的判定、平行四边形的判定与性质、勾股定理求线段长，熟练掌握相关几何性质，根据题意分类讨论是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $