11.4直角三角形自主达标测试题2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 鲁教版五四制七年级数学下册《直角三角形》达标测试，通过选择、填空、解答题（25题120分），融合文化情境（秦九韶沙田面积）、动态探究（折叠、动点直角三角形）及数形结合，考查直角三角形性质、判定、全等与勾股定理，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|逆命题真假、直角三角形判定、全等（HL）|基础巩固，如第4题用勾股定理逆定理解决古算问题| |填空题|8/24|含30°直角三角形、折叠性质、坐标几何|能力提升，如第16题动点P使△PEF为直角三角形分类讨论| |解答题|9/72|网格作图、面积计算、台风影响应用、数形结合探究|创新应用，如24题通过图形面积推导完全平方公式与勾股定理关联|

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.4直角三角形》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列命题的逆命题是真命题的为（   ） A．对顶角相等 B．等边三角形是锐角三角形 C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 D．全等三角形的对应边相等 2．已知，下列条件：①；②；③；④．其中能确定为直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，能直接用“”判定的条件是（ ） A． B． C． D． 4．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5千米，12千米，13千米，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为（　　）平方千米． A．15 B．30 C．75 D．60 5．如图，在中，，分别是，边上的高，若，则等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，有两根竹竿和斜靠在墙上．若测得，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在锐角中，点是边上一点，于点，若，，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，重叠部分（阴影部分）的面积为（    ） A．36 B．24 C． D． 二、填空题（满分24分） 9．在中，是边上的高，，，则的度数为___________． 10．在中，的对边分别是a、b、c，满足，则是___________三角形． 11．已知一个三角形的三边长分别为、、，则这个三角形的面积为__________． 12．如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则______． 13．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，交于点．若，，则长为___________ 14．如图，将一块等腰直角三角板（，）放在平面直角坐标系中，三角板两锐角顶点分别在x轴、y轴上的点A、B处，直角顶点C落在点处，则的值为________． 15．如图，长方形中(对边相等，四个角都是直角)，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F，若，则的长为______． 16．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为______ 时， 为直角三角形． 三、解答题（满分72分） 17．（6分）如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)画图：在图中画出平面直角坐标系，使得点坐标为，点坐标为； (2)填空：格点的面积为__________； (3)是直角三角形吗？为什么？ 18．（6分）如图，中，，，点是边上一点，过点作于点，交的延长线于点，点是延长线上一点，，连接．求的度数． 19．（8分）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，则与的周长差为______； (2)若的面积为5，则的面积______； (3)当，时，求的度数． 20．（8分）如图，四边形中，，，，，． (1)求四边形的面积． (2)建立适当的平面直角坐标系，写出四边形各个顶点的坐标． 21．（8分）如图，在中，是的中点，于点，于点，且． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的长． 22．（8分）在中，于D，平分，且于，并与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 23．（8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离、分别为、，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？ 24．（10分）借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：___________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】 根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，==，，，周长为，四边形为长方形，求四边形的面积． 25．（8分）如图，中，，分别平分和． (1)求的度数； (2)如图1，延长交于E，作交于G，作交的延长线于F，垂足为H，求证：； (3)如图2，若，Q是直线上一点，分别关于直线作Q的对称点M，N，它们到直线的距离分别记作m和n，请直接写出m与n的数量关系． 参考答案 1．解：A: 逆命题为“相等的角是对顶角”，∵ 相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），∴ 是假命题，不符合题意； B: 逆命题为“锐角三角形是等边三角形”，∵ 锐角三角形不一定等边（如三边不等），∴ 是假命题，不符合题意； C: 逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等”，∵ 绝对值相等的实数可能互为相反数（如5和），∴ 是假命题，不符合题意； D: 逆命题为“对应边相等的三角形是全等三角形”，∵ 根据全等三角形的判定定理，对应边相等则三角形全等，∴ 是真命题，符合题意． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定，利用三角形内角和为，结合每个条件推导角的度数，判断是否存在直角即可． 【详解】解：对于①，∵， ∴， 又，代入得， 解得，故是直角三角形； 对于②，∵，且， ∴，故是等边三角形，不是直角三角形； 对于③，∵， ∴， 又，得，故是直角三角形； 对于④，设，则，， 由，解得， 将的值代入计算可得，，均不是直角，故不是直角三角形； 综上，能确定为直角三角形的条件有①③，共2个； 故选：B． 3．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用证明，即可解答． 【详解】解：在和中， ∵，或 ， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用和三角形面积的计算，关键是根据三边关系确定直角三角形． 通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴该三角形为直角三角形，直角边为5千米和12千米， ∴面积（平方千米）． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，由已知可得，即得，再根据三角形的外角性质解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是，边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．B 【分析】本题考查了直角三角形的性质和角的和差计算，掌握直角三角形中两锐角互余的性质是解题的关键． 利用直角三角形两锐角互余的性质，分别求出和的度数，再通过角的差计算． 【详解】解：在中：， 根据两锐角互余： 在中：， 根据两锐角互余：   故选：B． 7．D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，过点作，可证，根据全等三角形的性质可证，根据三角形内角和定理可知，根据直角三角形两个锐角互余可知，等量代换可得． 【详解】解：如下图所示，过点作， 则， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 即， 在中，， ， ， ， 整理可得：. 故选：D. 8．A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质，掌握折叠前后对应边相等，利用勾股定理列方程求线段长度是解题的关键． 先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，再根据折叠性质得到对应边相等，设，在中用勾股定理列方程求出，最后计算阴影部分的面积． 【详解】解：在中，，，， ， 为直角三角形，且． 设． 由折叠的性质，得，， ． ∵在中，根据勾股定理，得， ， 解得， ∴重叠部分（阴影部分）的面积为． 故选：A． 9．或 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角的和与差．本题分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况，画出相应的图形再根据三角形的高以及直角三角形两锐角互余，由图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如下图所示，当为锐角三角形时， ，， ， ， 又， ； 如下图所示，当为钝角三角形时， ，， ， ， 又， ． 故答案为：或． 10．等腰或直角 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理，由，得到或，从而得到或，根据等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形， 故答案为：等腰或直角． 11． 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是直角三角形，其中直角边为和， ∴这个三角形的面积为， 故答案为：． 12．/55度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 13．5 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键； 利用含角的直角三角形的性质，可得，求得，利用含角的直角三角形的性质，可得，求得，所以． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ，， 由题知，， 又，， ，， ． 故答案为：5． 14．4 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的性质与判定，过点C作坐标轴的垂线构造全等三角形是解题的关键．作轴于点，轴于点，则，根据点到坐标轴的距离得到，，通过证明得到，再利用线段的和差以及等量代换即可求出的值． 【详解】解：如图，作轴于点，轴于点，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 15．7 【分析】本题考查了长方形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质的应用等重要知识，熟悉相关性质并能灵活应用是解题的关键．连接，根据翻折的性质，长方形的性质和是的中点，可得：，，，，可证 ，得；再根据，，可得，，可求出． 【详解】解：连接， 则在长方形中，， ∵翻折，是的中点， ∴，，，， 在与中， ∴ ； ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：7． 16．或或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于，如图： 则四边形为长方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，， ， 当时，， 即， ， 解得，； 当时，如图：作于， 由勾股定理得，，， ， 在中，， 即， ， 解得：； 当时，在中， 则， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 17．(1)见解析 (2)5 (3)的形状是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、坐标与图形性质；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键． （1）根据题意，即可得出结果； （2）图中格点的面积=矩形的面积减去3个直角三角形的面积，即可得出结果； （3）由勾股定理可得：，得出，由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示为所作的坐标系； ； （2）解：格点的面积为； （3）解：的形状是直角三角形，理由如下： 由网格图可知：，，， 的形状为直角三角形． 18． 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据垂直的意义与直角三角形的两个锐角互余求得，再根据垂直的意义与直角三角形的两个锐角互余求得，然后根据三角形外角的性质与等边对等角求解即可． 【详解】解：因为，， 所以， 又， 所以， 又是的一个外角， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 19．(1)3 (2)10 (3) 【分析】（1）是中线，，共线，周长差，就是与的差值； （2）与以所在直线为底，高度相等，是中线，，所以； （3）根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线性质求出，再求出的余角，最后，求出． 【详解】（1）解：是中线， ， ． （2）解： 是中线， ， 是的高， ，， ． （3）解：是的高， ， ， ， ， 是的角平分线，， ． 20．(1)144 (2)建立平面直角坐标系见解析，，，， 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，坐标与平面． （1）连接，先由勾股定理逆定理证明，再由求解即可； （2）以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．此时点的坐标是，过点作轴于点，由面积法得到，求出，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ，，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； （2）解：如图2，以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．此时点的坐标是． 由，，可得点的坐标是，点的坐标是． 过点作轴于点， ， 点的坐标是 21．(1)证明见解析； (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及等边三角形的性质与含角的直角三角形的性质． （1）通过证明直角三角形全等，得到对应角相等，进而证明三角形为等腰三角形； （2）结合等腰三角形性质与已知条件，判定为等边三角形，再利用直角三角形的性质或勾股定理求解线段长度． 【详解】（1）解：是的中点， ． ，， ． 在和中，， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：由（1）知， 又， ，即为等边三角形， ， ， 是中点，， ， 在中，， ． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识， （1）首先证明为等腰直角三角形，易得，再证明，然后利用“”证明即可； （2）首先由（1）可得，再证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）由（1）， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ． 23．(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风影响海港持续的时间有 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理的应用，关键是将实际台风影响问题转化为直角三角形的几何模型，通过几何计算与运动公式结合求解． （1）先利用勾股定理的逆定理，验证，判断为直角三角形；再通过直角三角形的面积公式求出点到的距离，将与台风影响半径比较，若，则海港受台风影响． （2）先确定台风开始影响和结束影响海港时的位置、，使得；在中，用勾股定理求出的长度，结合对称性质得到影响的路程；最后根用的长度除以台风移动速度，即可求出持续时间． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且． 由三角形面积公式得， 即，解得． ∵，即点到的距离小于台风影响半径， ∴海港受台风影响； （2）解：在线段上取两点、，使得，连接，． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴． ∵台风中心移动速度为， ∴影响持续时间为小时． 24．（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景和勾股定理的验证，熟练掌握上述知识点是解题的关键. （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积，即可变形为； （3）根据周长为，可得：，根据（2）中的结论，在中，由勾股定理得，整理得，根据，可知长方形的面积为：，即可得解. 【详解】解：（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即 故答案为：； （2）解：，理由如下： 图2中图形的面积：， ， ， ； （3）解：设 的周长为， ， 根据（2）中的结论，在中，， ， 化简，得， 整理，得， ， 长方形的面积为：. 25．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余得到，由角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）根据题意得到是等腰直角三角形，，由垂直于同一条直线的两直线平行得到，，如图所示，在上取点，使得，可证，得，，，再证明，即可求解； （3）根据题意点关于的对称点在边上，点关于的对称点在边上，过点作于点，过点作于点，过点作于点，作于点，可证，，根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴， 在中，； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，，即是等腰直角三角形， ∴， ∵，即，且， ∴，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 如图所示，在上取点，使得， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∵分别平分和， ∴点关于的对称点在边上，点关于的对称点在边上，如图所示，连接， ∴， 过点作于点，过点作于点，过点作于点，作于点， ∴， 又， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴，则 ∴，且， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $