6.4.3 余弦定理、正弦定理分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学余弦定理、正弦定理同步练，新授课场景下采用三级分层设计，通过基础巩固-能力提升-素养创新的递进路径，培养运算能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|余弦定理、正弦定理基本公式及直接应用|6道选择/多选题，聚焦单一知识点，如已知三边求角、面积计算| |B级|公式综合应用与多解问题|4道填空/解答题，涉及比例关系、角平分线模型，如用面积法求线段长| |C级|定理与三角恒等变换综合|1道解答题，需推理三角形形状，体现逻辑论证与创新思维|

6.4.3　余弦定理、正弦定理 A级 必备知识基础练 1.在△ABC中,已知a=2,则bcos C+ccos B=(　　) A.1 B. C.2 D.4 2.在△ABC中,a=1,b=,c=2,则B等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 3.在△ABC中,=a,=b,=c,且a·b=b·c=c·a,则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,b=,B=60°,则A=(　　) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 5.已知△ABC中,AB=6,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为(　　) A.9 B.18 C.9 D.18 6.(多选题)在△ABC中,A=,AB=2,下列结论正确的是(　　) A.若BC=,则C= B.若AC=,则BC=1 C.若△ABC的面积S=,则该三角形为直角三角形 D.若△ABC为锐角三角形,则BC∈ B级 关键能力提升练 7.在△ABC中,已知b2=a2-c2+bc,则A=　　　　　.  8.若△ABC的三条边a,b,c满足(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=7∶9∶10,则△ABC的形状是　　　　　三角形.(填“直角”“锐角”或“钝角”)  9.在△ABC中,a=,b=2,B=45°,则C=　　　.  10.在△ABC中,AB=2,∠BAC=60°,BC=,D为BC上一点,AD平分∠BAC,求AD. C级 学科素养创新练 11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b2+c2=a2+bc. (1)求角A的大小; (2)若sin A=2sin Bcos C,试判断△ABC的形状并给出证明. 参考答案 1.C　bcos C+ccos B=b·+c·=a=2.故选C. 2.C　∵cos B=,∴B=60°.故选C. 3.D　∵a·b=b·c, ∴|a||b|·(-cos C)=|b||c|·(-cos A), 由正弦定理得, 则sin Acos C=sin Ccos A,∴sin(A-C)=0, 又A,C∈(0,π),得A-C=0,则A=C, 由b·c=c·a,同理可证A=B,所以A=B=C, 所以△ABC的形状是等边三角形.故选D. 4.A　∵在△ABC中,B=60°, ∴根据正弦定理得,可得sin A=, 又△ABC中a<b,可得A<B, ∴A=30°.故选A. 5.C　由题意,得C=A=30°, 所以AB=BC=6, 所以△ABC的面积S=AB·BC·sin B=×6×6×=9.故选C. 6.BD　对于A选项,因为2>BC=>AB·sin A=1,所以三角形有两解,故A错误; 对于B选项,在△ABC中,A=,AB=2,若AC=,则根据余弦定理可知, BC==1,故B正确; 对于C选项,若△ABC的面积S=·AB·AC·sin A, 则AC=,则根据余弦定理可知, BC=, 所以△ABC为等腰三角形但不是直角三角形,故C错误; 对于D选项,由正弦定理可知,, 则BC=, 又<C<, 所以<sin C<1,则1<BC<,故D正确. 故选BD. 7.　在△ABC中,已知b2=a2-c2+bc, 则cos A=. 由于0<C<π,故A=. 8.钝角　∵(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=7∶9∶10,不妨设a+b=7k,则b+c=9k,c+a=10k(k是大于0的常数),解得a=4k,b=3k,c=6k. 由余弦定理可得cos C==-<0. ∵0<C<π,∴C为钝角,△ABC为钝角三角形. 9.75°或15°　由正弦定理得,得sin A=. ∵a>b,∴A=60°或A=120°.相应地,有C=75°或C=15°. 10.解 如图,记AB=c,AC=b,BC=a, 由余弦定理可得b2+c2-2bccos A=a2⇒22+b2-2×2×b×cos 60°=6,解得b=1+(负值舍去). (方法一)由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得, ×2·b·sin 60°=×2·AD·sin 30°+·AD·b·sin 30°,解得AD==2. (方法二)由正弦定理可得,, 解得sin B=,sin C=, 因为>2, 所以A>C,可得C=45°,B=180°-60°-45°=75°, 又∠BAD=30°,所以∠ADB=B=75°, 所以AD=AB=2. 11.解 (1)根据题意,由b2+c2=a2+bc可得,,根据余弦定理可知,cos A=,又角A为△ABC的内角,所以A=. (2)由题意可知sin A=sin(B+C), 根据已知条件,可得sin(B+C)=2sin Bcos C, 整理得sin Bcos C-cos Bsin C=0, 所以sin(B-C)=0,又B-C∈(-π,π),所以B-C=0, 即B=C,又由(1)知A=,所以△ABC为等边三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $