6.4.3.3 余弦定理、正弦定理应用举例 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3.3　余弦定理、正弦定理应用举例 一、必备知识基础练 1.(探究点一)如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是(　　) A.角A,B和边AC B.角A,B和边BC C.边BC,AC和角C D.边BC,AC和角A 2.(探究点一)如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12 m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为(　　) A.6(3+)m B.6(3-)m C.6(3+2)m D.6(3-2)m 3.(探究点二) 如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于(　　) A. B. C. D. 4.(探究三(角度1))如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡的坡角为θ,则cos θ=(　　) A. B.-1 C.2- D. 5.(探究点一)一架飞机在海拔8 000 m的高度飞行,在空中测出前下方海岛两侧海岸的俯角分别是30°和45°,则这个海岛的宽度为　　　　　 m.(精确到0.1 m)  6.(探究点三(角度2))已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10 n mile,甲船以4 n mile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6 n mile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是　　　h.  7.(探究点二·2025重庆高一期中)某同学为测量一座大楼的高度CD,在该大楼的正西方向找到一座建筑物AB,高为15 m,在地面上点E处(A,C,E三点共线)测得建筑物顶部B、该大楼顶部D的仰角分别为30°和45°,在B处测得该大楼顶部D的仰角为15°,则该大楼的高CD为　　　　　m.  8.(探究点一·2025广东东莞高一期中)如图,已知两条公路AB,AC的交汇点A处有一学校,现拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,在两公路旁M,N(异于点A)处设两个销售点,且满足∠A=∠PMN=75°,MN=(千米),PM=2(千米),设∠AMN=θ. (1)试用θ表示AM,并写出θ的范围; (2)当θ为多大时,工厂产生的噪声对学校的影响最小(即工厂与学校的距离最远)?(注:sin 75°=) 二、关键能力提升练 9.(多选题)某人向正东方向走了x km后向右转了150°,然后沿新方向走了3 km,结果离出发点恰好 km,则x的值为(　　) A. B.2 C.2 D.3 10.一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了4 km到达B地,然后由B地向南偏东30°方向骑行了6 km到达C地,再从C地向北偏东30°方向骑行了16 km到达D地,则A,D两地的距离为(　　) A.4 km B.10 km C.2 km D.26 km 11.(2025浙江宁波高一期末)如图,小明为了测量河对岸的塔高AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠ACB=30°,∠ADB=45°,∠BDC=135°,CD=10,则塔高AB=　　　　　.  12.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°方向相距20(+1)n mile的海面上有一台风中心,影响半径为20 n mile,正以10 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(+1)h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向. 三、学科素养创新练 13.如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1 km,求点B,D间的距离. 参考答案 1.D　根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D. 2.B　由⇒AB=AD+BD=CD=12⇒CD=6(3-)m,故选B. 3.A　在△ADC中,∠DAC=β-α. 由正弦定理,得, ∴AC=,∴AB=ACsin β=. 4.B　在△ABC中,由正弦定理,得BC==50()(m).在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BDC=-1. 由题图知cos θ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1,故选B. 5.5 856.4　海岛的宽度为≈5 856.4(m). 6.　如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为t h,距离为s n mile,此时甲船到达C处,则甲船距离B岛(10-4t)n mile,乙船距离B岛6t n mile,所以由余弦定理,得cos 120°==-,化简,得s2=28t2-20t+100,所以当t=时,s2取最小值,即当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是 h. 7.30　在Rt△ABE中,BE==30;在Rt△DCE中,ED=CD. 由题图可知∠BED=180°-30°-45°=105°,易知∠EBD=45°,在△BED中,∠EDB=180°-105°-45°=30°, 根据正弦定理可得,所以DE=, 所以CD==30. 8.解(1)如题图,∠AMN=θ,在△AMN中,由正弦定理得, ∵MN=,∴AM=4sin(75°+θ)(0°<θ<105°). (2)在△APM中,AP2=AM2+MP2-2AM·MPcos∠AMP=16sin2(75°+θ)+12-16·sin(75°+θ)·cos(75°+θ)=8[1-cos(2θ+150°)]-8sin(2θ+150°)+12=20-8[sin(2θ+150°)+cos(2θ+150°)]=20-16sin(2θ+180°)=20+16sin 2θ(0°<θ<105°),当且仅当2θ=90°,即θ=45°时,AP2取得最大值36,即AP取得最大值6.所以当θ=45°时,工厂产生的噪声对学校的影响最小. 9.AB　 如图所示,在△ABC中,AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30°,由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC, 即()2=x2+32-2x·3·cos 30°. ∴x2-3x+6=0,解得x=2或x=. 10.B　如图,AB=4,BC=6,CD=16,延长AB交CD于点E,则∠CBE=60°,∠BCE=60°, 因此△CBE是正三角形,BE=CE=BC=6,∠BEC=60°,于是AE=DE=10,∠AED=120°,在△ADE中, 由余弦定理得AD===10, 所以A,D两地的距离为10 km.故选B. 11.5+5　设塔高AB=h,由∠ACB=30°,∠ADB=45°,则BC=h,BD=AB=h,在△BCD中,cos∠BDC==-,则=-,解得h=5+5或h=5-5(舍去). 12.解如图,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20 n mile,AC=20 n mile. 由题意,得AB=20(+1)n mile,DC=20 n mile,BC=10+1)n mile. 在△ADC中,∵DC2=AD2+AC2, ∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC=.∴∠BAC=30°. ∵B位于A的南偏东60°方向,且60°+30°+90°=180°, ∴D位于A的正北方向.又∠ADC=45°,∴台风移动的方向为向量的方向,即北偏西45°方向. 13.解(方法一)在△ACD中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°. 由正弦定理,得AD=. 在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°,∠ACB=60°, 由正弦定理,得AB=.在△ADB中,∠BAD=180°-75°-30°=75°,由余弦定理,得BD= = =.即点B,D间的距离为 km. (方法二)如图,记AD与BC的交点为M. 因为∠CDA=∠60°-∠DAC=60°-30°=30°,所以AC=DC. 又易知∠MCD=∠MCA=60°, 所以△AMC≌△DMC, 所以M为AD的中点, 所以BA=BD. 又AB=,所以BD=. 所以点B,D间的距离为 km. 6 学科网（北京）股份有限公司 $