6.4.3第三课时 余弦定理，正弦定理应用举例（分层练习）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本练习聚焦余弦定理与正弦定理应用，以三级梯度设计实现从基础理解到实际情境应用的知识巩固，通过多样化题型培养数学推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|三角形形状判定、简单恒等式证明|以选择题型直接考查定理应用，如判定三角形形状，夯实概念理解| |综合应用|边长/面积最值、几何图形计算、与三角函数结合|需综合不等式、三角函数性质，如求三角形周长最大值，提升运算与推理能力| |情境应用|距离/高度/角度测量、实际问题建模|结合航行、建筑测量等真实情境，如渔船观测灯塔距离，培养数学建模与应用意识|

6.4.3余弦定理，正弦定理 （第三课时 余弦定理，正弦定理应用举例） 题型一 正，余弦定理判定三角形形状 1．（25-26高一下·江苏·期中）若的三个内角，，满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 2．（25-26高一下·甘肃白银·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 3．（2026·湖南湘潭·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 题型二 证明三角形中的恒等式或不等式 4．（22-23高三上·贵州贵阳·期末）若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（19-20高三·湖北襄阳·阶段检测）下列四个命题： 函数的最大值为1； “，”的否定是“”； 若为锐角三角形，则有； “”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件． 其中错误的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高一下·湖南·阶段检测）在中，角所对应的边分别是，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则为锐角三角形 题型三 求三角形中的边长或周长的最值或范围 7．（25-26高一下·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 9．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，，且的外接圆的半径为1，则周长的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型四 几何图形中的计算 10．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）在中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60º，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（  ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·江西九江·期中）如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂点C，D两点间的距离为（   ） A．28cm B． C．26cm D． 题型五 求三角形面积的最值或范围 13．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 14．（25-26高一下·陕西西安·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中为常数，若，且，则的面积取最大值时，（    ） A． B． C． D． 15．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型六 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 16．（24-25高一下·重庆·阶段检测）在中，，是一元二次方程的两个根，那么是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 17．（24-25高一下·上海青浦·阶段检测）某参考书中有这样一道题：“△ABC中，与是方程的两根，则 ”.对于这道题目，评价最恰当的是（    ） A．这道题将三角与一元二次方程相结合，考察了韦达定理的应用，是一道好题 B．这道题先求出的值，再利用诱导公式求得的值，是一道好题 C．通过计算，可得 D．这道题数据有误，是一道错题 18．（22-23高一下·福建宁德·阶段检测）已知在中，角，，所对的边分别为，，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七 距离测量问题 19．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）如图，位于点A处的渔船观测到点C处的灯塔在渔船的北偏东53°方向上，当渔船沿着正东方向航行14海里后，观测到灯塔在渔船的北偏东37°方向上，则此时渔船与灯塔的距离为（参考数据：取）（    ） A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．45海里 20．（25-26高一下·山西忻州·阶段检测）已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距．为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向．从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（     ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 21．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A． B． C． D． 题型八 高度测量问题 22．（25-26高一下·重庆·期中）云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭广场，登顶后可以俯瞰长江和铜锣峡的壮丽景色．我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则云外楼的高度（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 23．（25-26高一下·四川内江·期中）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一下·四川资阳·期中）数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 题型九 角度测量问题 25．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°方向且与该港口相距30海里的处，正在沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的速度匀速行驶，经过1.5小时后与轮船相遇.则小艇的航行方向为（   ） A．沿正北方向 B．北偏东45°方向 C．北偏东60°方向 D．北偏东75°方向 26．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 27．（24-25高一下·甘肃白银·期末）美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（   ） A． B． C． D． 题型十 正，余弦定理的其他应用 28．（23-24高三上·广东江门·阶段检测）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 29．（22-23高一下·湖北武汉·期中）“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点A，B，C都在圆周上，角A，B，C分别对应a，b，c，满足.若，且，则（    ） A． B．△ABC周长为 C．△ABC周长为 D．圆形木板的半径为 30．（2023·广西·模拟预测）某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（    ） A． B． C．25 D．30 31．（2026·云南昆明·模拟预测）已知是边长为8的等边三角形，点D在边上（异于B，C），若，则__________． 32．（2026·河北石家庄·三模）如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 33．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中，，D为BC边上一点，且．若AD为的平分线，且为锐角三角形，则边AC的取值范围______． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3余弦定理，正弦定理 （第三课时 余弦定理，正弦定理应用举例） 题型一 正，余弦定理判定三角形形状 1．（25-26高一下·江苏·期中）若的三个内角，，满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据正弦定理得到边长比值，通过余弦定理得到最大角的余弦值 大于，进而判断三角形为锐角三角形 【详解】由正弦定理可得，则，， 因此根据余弦定理，即， 而由可知，三角形为锐角三角形. 2．（25-26高一下·甘肃白银·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理及恒等变形化简得，再解三角形即可求解． 【详解】解：根据正弦定理得，． ，， ，解得， 所以为直角三角形． 3．（2026·湖南湘潭·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 【答案】B 【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【详解】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 题型二 证明三角形中的恒等式或不等式 4．（22-23高三上·贵州贵阳·期末）若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理、三角形内角及余弦函数性质判断A、B；特殊值即可判断C、D. 【详解】由，则，而，则，A错； 由，结合余弦函数性质知：，B对； 对于，则，，C、D错； 故选：B 5．（19-20高三·湖北襄阳·阶段检测）下列四个命题： 函数的最大值为1； “，”的否定是“”； 若为锐角三角形，则有； “”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件． 其中错误的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由正弦的二倍角公式和正弦函数的值域判断;写出全称命题的否定判断;由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性,结合诱导公式可判断;由二次函数的图象和性质,结合充分必要条件的定义可判断. 【详解】解：由,得的最大值为,故错误; “,”的否定是“”,故正确; 为锐角三角形,,则， 在上是增函数,,同理可得，,,故正确; ,函数的零点是,0,结合二次函数的对称轴, 可得函数在区间内单调递增; 若函数在区间内单调递增,结合二次函数的对称轴,可得, , “”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件,故正确． 其中错误的个数是1. 故选:A. 【点睛】本题考查命题的真假判断,考查含有一个量词的命题的否定,考查三角函数的图象和性质,以及充分必要条件的判断,是中档题． 6．（24-25高一下·湖南·阶段检测）在中，角所对应的边分别是，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则为锐角三角形 【答案】B 【分析】由三角形内角的性质有即可判断A，应用正弦边角关系判断B；若为钝角、为锐角判断C；根据已知只能确定为锐角，但不能确定为锐角三角形判断D. 【详解】由，则，A错； 由，则，结合正弦边角关系得，B对； 由，若为钝角、为锐角，则，C错； 由，则，故， 所以为锐角，但不能确定为锐角三角形，D错. 故选：B 题型三 求三角形中的边长或周长的最值或范围 7．（25-26高一下·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据余弦定理，可得的表达式，根据条件，可得的表达式，根据正弦定理，可得，在中，根据余弦定理，可得的表达式，整理计算，结合辅助角公式及正弦函数的性质，分析求解即可得答案. 【详解】在中，设，由余弦定理得， 又，，所以， 由题意，为等腰直角三角形，则， ，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 当时，取得最大值，且为， 所以对角线的最大值为. 8．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先将目标式化简为，结合已知代入余弦定理，再通过三角恒等变换和辅助角公式求解目标式的最大值. 【详解】由余弦定理，将代入得. 进而. 的最小值为，因此的最大值为. 令，. ， 当时，， 根据对勾函数的性质可得， 故的最大值为， 即的最大值为. 9．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，，且的外接圆的半径为1，则周长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式、诱导公式，可得角C，根据正弦定理，可得边长c的值，根据余弦定理，结合基本不等式，可得的范围，分析即可得答案. 【详解】由，得， 则， 因为，所以，则，所以， 又由外接圆半径为1可知，即， 由余弦定理得，则，即， 由基本不等式得， 所以，整理得， 化简得（当且仅当时取等）， 所以周长的最大值为. 题型四 几何图形中的计算 10．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）在中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60º，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求三角形内角的余弦值，可以建立平面直角坐标系求出点坐标，进而求出三角形对应边长，利用解三角形的余弦定理求出角的余弦值. 【详解】以点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， ，点的坐标为，过点作于点， 在中，，，， 点的坐标为，是中点，点的坐标为，是中点， 点的坐标为，设直线的解析式为，将点的坐标为代入，得，解得， 直线，设直线的解析式为，将点，的坐标代入，得，解得， 直线，联立直线与直线方程组得，解得，即点的坐标为， 根据两点间距离公式：，，， 根据余弦定理可得：，，解得. 11．（25-26高一下·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先在中利用余弦定理求解的长度，再结合垂直关系得到中的已知角，最后利用正弦定理求解的长度即可. 【详解】在中，， 由余弦定理得 ∴ 整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）. ∵ ，∴ ， ∴ . 在中，，，， 由正弦定理得 ∴ . 12．（25-26高一下·江西九江·期中）如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂点C，D两点间的距离为（   ） A．28cm B． C．26cm D． 【答案】A 【分析】考查正弦定理和余弦定理的应用，解题的关键是先将AC与BD延长交于点P，由正弦定理可求出其他边长度，最后在中用余弦定理可求出CD. 【详解】 如图，将AC与BD延长交于点P 在中，由正弦定理可知，，则，即，解得：，则，，在中，由余弦定理得：，则. 题型五 求三角形面积的最值或范围 13．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 【答案】A 【分析】根据正弦定理和三角形内角和关系，确定是直角三角形，由勾股定理及基本不等式求得面积最大值. 【详解】由题设 及正弦定理可得 ， 又， 故，化简得， 因为，所以，即 ， 是直角三角形，直角在 ，   由勾股定理，直角在 ，故 ， 的面积 ，根据基本不等式 ，得： ， 因此 ，当且仅当 时取等号，即面积最大值为 . 14．（25-26高一下·陕西西安·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中为常数，若，且，则的面积取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正弦定理和三角恒等变换得到，再结合余弦定理用去表示，最后利用三角形面积公式求解最大值时的取值. 【详解】中，由正弦定理得，又代入上式得，即. 又，，，，即. 又，，. 由余弦定理得. ，，有，，. 中，且，，， . 因为为常数，要使的面积最大，则取得最大值. ，，结合正弦函数的单调性可知，当，即时，有最大值. 故面积取最大值时，. 15．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角可化简已知等式求得，进而得到；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得结果. 【详解】由正弦定理得：， ， ，，，，， ，解得：； 由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， . 故选：B. 题型六 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 16．（24-25高一下·重庆·阶段检测）在中，，是一元二次方程的两个根，那么是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】由根与系数关系，结合三角形内角性质、和角正切公式判断正切值符号，即可得. 【详解】由题设，，易知同正， 则，而， 所以均为锐角，即是锐角三角形. 故选：A 17．（24-25高一下·上海青浦·阶段检测）某参考书中有这样一道题：“△ABC中，与是方程的两根，则 ”.对于这道题目，评价最恰当的是（    ） A．这道题将三角与一元二次方程相结合，考察了韦达定理的应用，是一道好题 B．这道题先求出的值，再利用诱导公式求得的值，是一道好题 C．通过计算，可得 D．这道题数据有误，是一道错题 【答案】D 【分析】由题设有，，则一个为钝角一个为锐角，结合和角正切公式求，即可得. 【详解】由题设， 则，，则一个为钝角一个为锐角， 又，则， 所以是一个钝角，而在三角形中不可能存在两个钝角， 所以该题数据有误，为错题. 故选：D 18．（22-23高一下·福建宁德·阶段检测）已知在中，角，，所对的边分别为，，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，利用余弦边角关系可得，结合角的范围求目标式的范围. 【详解】由题设， 则，， 所以，而， 所以. 故选：C 题型七 距离测量问题 19．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）如图，位于点A处的渔船观测到点C处的灯塔在渔船的北偏东53°方向上，当渔船沿着正东方向航行14海里后，观测到灯塔在渔船的北偏东37°方向上，则此时渔船与灯塔的距离为（参考数据：取）（    ） A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．45海里 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，利用方位角求出三角形的相关角度，通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数定义列方程求解即可. 【详解】设渔船航行路程为，所以海里，由已知，所以， ，延长，过点作延长线于，所以， 设，因为，所以，，，， ，所以，，所以，，所以，解得， ，所以（海里），此时渔船与灯塔的距离为海里. 20．（25-26高一下·山西忻州·阶段检测）已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距．为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向．从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（     ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】根据方位角推导三角形内角度数，依次在用正弦定理求、在用余弦定理求，最后在中用余弦定理推导出处的方位角. 【详解】为东西航道，在中，，， ，因此 由正弦定理，代入得， 在中，，， 由余弦定理： ， 代入化简得，解得或， 因为，且，所以. 在中，， 由余弦定理得， 即， 由余弦定理可得，，所以， 是与正西方向的夹角，换算为南偏西方向：， 因此在的南偏西方向. 21．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用正弦定理求出，然后在中，利用余弦定理可求得. 【详解】在中，， 由正弦定理得，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 所以． 题型八 高度测量问题 22．（25-26高一下·重庆·期中）云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭广场，登顶后可以俯瞰长江和铜锣峡的壮丽景色．我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则云外楼的高度（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得. 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， 可得： 解得： 23．（25-26高一下·四川内江·期中）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得、、，再利用正弦定理计算即可得解. 【详解】，， ，则， 由正弦定理可得， 即， 则. 24．（25-26高一下·四川资阳·期中）数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 所以. 题型九 角度测量问题 25．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°方向且与该港口相距30海里的处，正在沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的速度匀速行驶，经过1.5小时后与轮船相遇.则小艇的航行方向为（   ） A．沿正北方向 B．北偏东45°方向 C．北偏东60°方向 D．北偏东75°方向 【答案】B 【详解】设小艇沿直线方向以海里/小时的速度航行1.5小时后，到达点， 路程为海里，即海里， 由题意得海里，， 在中，由正弦定理得， 即，， 又，故，故， 即小艇的航行方向为北偏东45°方向. 26．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】先作出示意图，再利用正弦定理求出的长，在中，利用余弦定理求出的长，最后在中利用余弦定理求出即可. 【详解】根据题意作出如图所示的示意图，在中，，，，则， 由正弦定理得，所以. 在中，，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或， 因为，所以 在中，，则， 因为，所以，则， 所以在处测得在它的南偏西方向上. 27．（24-25高一下·甘肃白银·期末）美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再在中，由正弦定理求得，进而利用三角函数求出高度 【详解】根据题意，得 ，，，，. 设，则， 在中，， 由正弦定理，得，即，解得 所以. 故选：B. 题型十 正，余弦定理的其他应用 28．（23-24高三上·广东江门·阶段检测）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合物理学知识求解即可. 【详解】如图，由余弦定理，得 ， 于是， 解得或， 所以，台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时. 故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00. 故选：B. 29．（22-23高一下·湖北武汉·期中）“不以规矩，不成方圆”.出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量、画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这个圆形木板截出一块三角形木板，三角形定点A，B，C都在圆周上，角A，B，C分别对应a，b，c，满足.若，且，则（    ） A． B．△ABC周长为 C．△ABC周长为 D．圆形木板的半径为 【答案】B 【分析】利用正、余弦定理结合面积公式分析运算即可. 【详解】对于D：由题意可得：圆形木板的直径， 即半径，故D错误； 对于A：由正弦定理，可得，故A错误； 对于B、C：由题意可得：，解得， 因为，则，可知为锐角，可得， 余弦定理，即， 解得，所以△ABC周长为，故B正确，C错误； 故选：B. 30．（2023·广西·模拟预测）某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（    ） A． B． C．25 D．30 【答案】B 【分析】根据题意先找出点的轨迹，然后分析轨迹再结合解三角形知识即可求出的最小值. 【详解】如图，因为，所以点在如图所示的圆上， 圆的半径为， 由圆周角的性质可得，， ， 连接，可得（当为与圆的交点时，取等号）， 在中，，，，根据余弦定理可知 ，所以的最小值为． 故选：B. 31．（2026·云南昆明·模拟预测）已知是边长为8的等边三角形，点D在边上（异于B，C），若，则__________． 【答案】 【分析】利用正弦定理推导与的比值，结合长度求出，再在中通过余弦定理计算即可. 【详解】在与中，由正弦定理，，， 因为为等边三角形，故，即， 因此 ，又 ，解得， 在中，由余弦定理， ， 故. 32．（2026·河北石家庄·三模）如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 【答案】 【分析】根据正弦定理解三角形即可得到答案. 【详解】由题意可得，，，，则， 根据正弦定理可得，又，所以，所以地震的位置C在A地正东处. 33．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中，，D为BC边上一点，且．若AD为的平分线，且为锐角三角形，则边AC的取值范围______． 【答案】 【分析】设，由已知确定范围，在与中分别用正弦定理，得到与的关系求解即可. 【详解】因为为的平分线， 所以可设，则，， 因为为锐角三角形，所以，即,所以. 在中，由正弦定理得，③ 在中，由正弦定理得，④ ④÷③得， 又，所以， 设，又， 所以，所以在上为增函数， 所以． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $