6.4 平面向量的应用分层同步练习 -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学平面向量应用同步练，通过A级基础、B级提升、C级创新三级分层设计，实现从单一运算到实际应用的知识进阶，适配新授课分层教学需求，培养数学眼光、思维与语言能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|向量基本运算与性质（合力计算、垂直判断、外心性质）|选择、多选题为主，夯实概念理解，如相互垂直力的合力计算| |B级|综合应用与推理（等腰直角三角形判定、平行四边形证明）|填空、证明题结合，提升推理能力，如用向量法证明平行四边形| |C级|实际情境建模（渡船航向问题）|解答题形式，培养应用意识，通过水流与船速关系构建数学模型|

6.4　平面向量的应用 A级 必备知识基础练 1.一物体受到相互垂直的两个力F1,F2的作用,两个力的大小都为5 N,则两个力的合力的大小为(　　) A.5 N B.5 N C.5 N D.5 N 2.在△ABC中,向量满足·=0,且,则△ABC为(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等腰直角三角形 3.设O为△ABC的外心,OD⊥BC于点D,且||=,||=1,则·()的值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=(　　) A. B. C. D.2 5.(多选题)设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为π,如图所示.下列说法正确的是(　　) A.F3的大小为 B.F3的大小为 C.F2与F3的夹角为π D.F2与F3的夹角为π 6.(多选题)如图,已知点G是边长为1的等边△ABC内一点,满足=0,过点G的直线l分别交AB,AC于点D,E.设=λ=μ,则下列说法正确的是(　　) A. B.点G为△ABC的重心 C.=2 D.||= B级 关键能力提升练 7.以原点O和点A(4,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,∠B=90°,则向量的坐标为. 8.已知△ABC的面积S=,A=,则=　　　　　.  9.在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上,取点F,E,使BE=DF(如图).用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形. C级 学科素养创新练 10.在长江南岸某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定? 参考答案 1.D　设合力为F,则F=F1+F2,由题意可知F1⊥F2,所以F1·F2=0,所以|F|=|F1+F2|==5(N).故选D. 2.D　因为=0,所以∠BAC的平分线与BC垂直,所以△ABC是等腰三角形,且AB=AC. 又因为,所以cos∠ABC=,即∠ABC=45°,所以△ABC是等腰直角三角形.故选D. 3.A　由已知,D为BC的中点,),则·()=)·()=(||2-||2)=1. 4.B　以A为坐标原点建立平面直角坐标系,设正方形边长为1,由此得,=(1,1),=(-1,1),故1=λ-μ,1=λ+μ,解得λ=,μ=,λ+μ=.故选B. 5.AC　由题意得|F3|=|F1+F2|, 因为|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为π. 所以|F3|=|F1+F2|=. 设F2与F3的夹角为θ,因为F3=-(F1+F2), 所以F3·F2=-(F1+F2)·F2=-F1·F2-F2·F2, 所以·2·cos θ=-1×2×-4, 所以cos θ=-, 所以θ=π.故选AC. 6.BD　设AB中点为M,BC中点为N(图略), 因为点G是△ABC内一点,=0, 所以G是△ABC的重心,故B正确; |=×||cos 30°=)=,故A错误; =λ=μ, 当l∥BC时,λ=μ==3,故C错误; 因为△ABC是边长为1的等边三角形,所以G为△ABC的中心,所以||=×1×,故D正确.故选BD. 7.(-3,1)或(-1,-3)　设=(x,y), 则=(x-4,y-2). 由已知得 ⇒ 故B(1,3)或B(3,-1).∴=(-3,1)或(-1,-3). 8.2　∵△ABC的面积S=|||sin A=|||sin,∴||||=4. ∴=||||cos A=4cos=2. 9.证明 , 又,所以, 即AE,FC平行且相等. 故四边形AECF是平行四边形. 10.解 如图,设表示水流的速度,表示渡船在静水中的速度,表示渡船实际垂直过江的速度. 因为, 所以四边形ABCD为平行四边形. 在Rt△ACD中,∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,所以sin∠CAD=,即∠CAD=30°,即渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30°. 学科网（北京）股份有限公司 $