6.4平面向量的应用（第四课时） 同步练习题 -2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册

6.4 平面向量的应用（第四课时） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 训练内容：三角形的面积公式 【学习目标】 1.理解三角形的面积公式 2.三角形的面积公式与正余弦定理结合. 3.求三角形面积的取值范围. 【例题精练】 【例1】在中，，，，则__________. 【答案】 【分析】由正弦定理、三角形内角和求得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理有，即，解得， 而，所以，所以， 所以. 故答案为：. 【例2】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且的面积为，则=______________ 【答案】6 【分析】根据三角形的面积公式计算即可求解. 【详解】， 因为为三角形的内角，所以， 所以. 故答案为：6. 【例3】记的内角，，的对边分别为，，，且，则角 ________；若，则面积的最大值为____________． 【答案】 / 【分析】利用两角和的正弦公式求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可求出面积的最大值. 【详解】因为，所以，即， 又，所以，则， 由余弦定理， ， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 故面积的最大值为． 故答案为：； 【例4】在中，角，，所对的边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可． 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. （2）由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得，   故边上的高为． 【例5】已知在中，角的对边分别为，. (1)若，求. (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理和三角形的性质，得到，进而求得的值； （2）由余弦定理得到，结合基本不等式，求得，进而求得面积的最大值. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 所以， 可得，所以. （2）解：由余弦定理得，即 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即 所以，即面积的最大值为. 【A组基础达标】 一、单选题 1．在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得，则， 故的面积为. 2．在中，若的面积，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由面积公式求出，再由余弦定理求出，代入求解. 【详解】由，得， 又由余弦定理， 所以， 所以， 故选：D. 3．已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】由及，得， 而，则，所以的面积. 故选：C 4．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】先余弦定理可得，再由同角三角函数关系式可得，从而可求三角形的面积. 【详解】由，，，由余弦定理得， 又因为，所以， 所以. 故选：A 5．已知的面积为，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】 由面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】由面积公式可知，即，解得， 由余弦定理可知，， 所以. 故选：C 6．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得，再利用正弦定理可得，根据正弦和角公式得，再利用面积公式求解即可． 【详解】，，， ， ， ， ． 故选：D． 二、多选题 7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 【答案】AB 【分析】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式， 可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，， 可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 故选：AB. 8．在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 【答案】ACD 【分析】利用余弦定理可判断AB选项；利用三角形的面积公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由余弦定理可得， 故，A对； 对于B选项，由余弦定理可得， 因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，设边上的高为，则，解得，D对. 故选：ACD. 三、填空题 9．在中，已知.且的面积为，则边长_____. 【答案】4 【分析】利用三角形面积公式求解. 【详解】由. 故答案为：4. 10．在中，，则其外接圆的半径为___________． 【答案】/ 【分析】由三角形面积公式求得，从而判断出三角形是等边三角形，再结合正弦定理得外接圆半径. 【详解】由题意，，所以是等边三角形，则， 所以其外接圆的半径为， 故答案为：. 四、解答题 11．已知三内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解； （2）利用余弦定理得到，再由的面积为求得即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得：， ∴可等价转化为， 其中，故． ∴， 即， 因为， 所以； （2）在中，由余弦定理得：， 代入，得： ，即， 又∵， ∴． 解得：． 12．已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 (1)若 求A； (2)若 求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【详解】（1）因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. （2）因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 13．在中，分别是角的对边，已知是锐角，且． (1)若，求实数的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用正切的倍角公式可求，结合余弦定理可求答案； （2）利用正弦定理表示，结合面积公式和三角函数恒等变换可得答案. 【详解】（1）由已知得，，解得或． 又为锐角，，得． 所以，由余弦定理得，． （2）由正弦定理得，． 所以， ， 即， 当，即时，取到最大值为． 14．已知内角所对的边长分别为. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可得，结合三角形内角性质求角的大小； （2）法一：由已知可得，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得即可得范围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围. 【详解】（1）由余弦定理得，即， 所以，又，则. （2）法一：为锐角三角形，，则， 所以，可得， 又，则，故 由，即而， 所以，故面积的取值范围为. 法二：由，画出如图所示三角形， 为锐角三角形， 点落在线段（端点除外）上， 当时，， 当时，， . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4 平面向量的应用（第四课时） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 训练内容：三角形的面积公式 【学习目标】 1.理解三角形的面积公式 2.三角形的面积公式与正余弦定理结合. 3.求三角形面积的取值范围. 【例题精练】 【例1】在中，，，，则__________. 【例2】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且的面积为，则=______________ 【例3】记的内角，，的对边分别为，，，且，则角 ________；若，则面积的最大值为____________． 【例4】在中，角，，所对的边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若，求边上的高． 【例5】已知在中，角的对边分别为，. (1)若，求. (2)若，求面积的最大值. 【A组基础达标】 一、单选题 1．在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．在中，若的面积，则（   ） A． B． C． D． 3．已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 5．已知的面积为，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 6．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的面积为 C． D． 8．在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 三、填空题 9．在中，已知.且的面积为，则边长_____. 10．在中，，则其外接圆的半径为___________． 四、解答题 11．已知三内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 12．已知的角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 向量 (1)若 求A； (2)若 求的面积. 13．在中，分别是角的对边，已知是锐角，且． (1)若，求实数的值； (2)若，求面积的最大值． 14．已知内角所对的边长分别为. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $