6.2.4 向量的数量积（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

6.2.4　向量的数量积 基础过关练 题组一　向量的数量积 1.(2025四川凉山州民族中学月考)已知两个单位向量e1,e2的夹角为120°,则e1·(2e1+3e2)=(　　) A.　　B.1　　C.　　D. 2.(多选题)(2025江苏淮安高新高级中学月考)设a,b,c是三个非零向量,且相互不共线,则下列说法正确的是(　　) A.若|a+b|=|a-b|,则a⊥b B.若|a|=|b|,则(a+b)⊥(a-b) C.若a·c=b·c,则a=b D.(a·b)c=(b·c)a 3.(2025上海宝山段考)已知△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=π,点D在线段BC上,且S△ACD=2S△ABD,则·的值为　　　　.  题组二　向量的投影向量 4.(2025湖北仙桃田家炳实验高级中学期中)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a,b的夹角为,则b在a上的投影向量为(　　) A.-　　B.a　　C.-a　　D.-a 5.(2025广东广州广雅中学月考)已知单位向量a,b满足a·b=,则a-b在a上的投影向量为　(　　) A.a　　B.a　　C.a　　D.a 6.(教材习题改编)已知O是△ABC的外心,且满足2=+,||=3||,则在上的投影向量为(　　) A.　　B. C.　　D. 7.下图是由四个边长为1的正方形拼成的一个大正方形,AB是大正方形的一条边,Pi(i=1,2,…,7)是小正方形的各个顶点,则·(i=1,2,…,7)的不同值的个数为　　　　.  题组三　向量的模和夹角 8.(2025天津咸水沽第一中学月考)若a与a+2b的数量积为6,|a|=2,|b|=1,则<a,b>=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 9.(多选题)(2025黑龙江哈尔滨第九中学校期中)已知e1,e2是夹角为的单位向量,且a=e1-2e2,b=e1+e2,则(　　) A.|a|=　　 B.a·b=- C.a与b的夹角为　　 D.a在b上的投影向量为-b 10.(多选题)(2025安徽安庆第一中学期中)已知向量a,b的夹角为,|a|=2,|b|=1,t∈R,则(　　) A.a在b上的投影向量的模为1 B.a+b在a上的投影向量的模为 C.|ta+b|的最小值为 D.当|ta+b|取得最小值时,a⊥(ta+b) 11.(2025陕西西安第一中学月考)若平面向量a,b,c两两的夹角为120°,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|=　　　　.  12.(2025河北沧州段考)已知向量a,b满足|b|=1,且(a+2b)·(a-2b)=2,a·(a-b)=4. (1)求向量a与2a-b的夹角θ的余弦值; (2)若向量a-3tb与ta-3b的夹角为锐角,求实数t的取值范围. 题组四　向量的垂直 13.(教材习题改编)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120°,若(ka-2b)⊥(a+b),则实数k=(　　) A.　　B.　　C.1　　D.2 14.(2025北京景山学校月考)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 15.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是　　　　.  16.(2025四川内江第一中学月考)已知O为坐标原点,e1,e2是两个夹角为60°的单位向量,=2e1+e2,=-3e1+2e2. (1)求||; (2)求与的夹角; (3)设=te1,若△ABC是以AC为斜边的直角三角形,求实数t的值. 能力提升练 题组一　向量的数量积运算 1.(2024湖南长沙雅礼中学月考)向量的数量积·可以表示为:以AB,AC为邻边的平行四边形ABDC的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一,即·=(-),该式称为极化恒等式.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则·=(　　) A.32　　B.-32　　C.16　　D.-16 2.(2025陕西十七校期中联考)C60是一种由60个碳原子构成的分子,形似足球,又名足球烯,其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成.如图,将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平,若正多边形的边长为1,A,B,C为正多边形的顶点,则·=(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 3.(2025安徽合肥第八中学月考)已知点O是△ABC的外心,AB=6,BC=8,B=,若=x+y,则3x+4y=(　　) A.5　　B.6　　 C.7　　D.8 4.(2025吉林长春第二实验中学月考)已知正六边形ABCDEF的边长为4,圆O的圆心为该正六边形的中心,圆O的半径为2,圆O的直径MN∥CD,点P在正六边形的边上运动,则·的最小值为　　　　.  题组二　向量的夹角和模 5.(2025安徽庐巢联盟联考)已知向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=2,|c|=1,则cos<a,c>=(　　) A.-　　B.　　C.　　D.- 6.(多选题)(2023浙江高中联盟期中)设e1, e2均为单位向量,且对任意的实数t, ≤|e1+te2|恒成立,则(　　) A.e1与e2的夹角为 B.= C.|e2-te1|的最小值为 D.|e2+t(e1-e2)|的最小值为 7.(2025湖北武汉华中师大一附中月考)已知a,b是两个不共线的向量,a·b的最小值为4,且对任意的m,n∈R,|a+mb|的最小值为1,|na+b|的最小值为2,则|b|的最小值为(　　) A.2　　B.4　　C.　　D.5 8.(2025江苏常州期中)已知a,b,c是同一平面内的三个单位向量,且a·b=,则|a+b+c|的最大值是　　　　.  9.(2025山东淄博第七中学月考)已知O为坐标原点,向量,,(点A,B,C不重合)满足||=||=||=1,(-)·(-)=0,若平面内一点P满足||=4,则|++|的取值范围是　　　　.  题组三　数量积的综合应用 10.(2025江苏无锡怀仁中学月考)如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F在CD边上运动. (1)若点F是CD上靠近点C的三等分点,=λ+μ,求λ+μ的值; (2)若AB=2,当·=1时,求cos∠EAF的值. 11.(2025山东青岛海尔学校月考)在直角梯形ABCD中,已知=2,AD⊥AB,||=||=1,动点E,F分别在线段DC和BC上,且=λ,=(1-λ). (1)当λ=时,求·的值; (2)求向量与的夹角; (3)求的取值范围. 答案与分层梯度式解析 6.2.4　向量的数量积 基础过关练 1.A 2.AB 4.C 5.B 6.C 8.B 9.ABD 10.AD 13.A 14.A 1.A　e1·(2e1+3e2)=2+3e1·e2=+3|e1||e2|·cos 120°=2+3×=. 2.AB　对于A,由|a+b|=|a-b|两边平方可得a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b⇒a·b=0⇒a⊥b,故A正确; 对于B,若|a|=|b|,则(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,所以(a+b)⊥(a-b),故B正确; 对于C,若a·c=b·c,则(a-b)·c=0⇒a=b或(a-b)⊥c或c=0(舍去),故C错误; 对于D,(b·c)a为与a共线的向量,(a·b)c为与c共线的向量,不一定相等,故D错误. 3.答案　8 解析　设等腰△ABC的BC边上的高为h, 因为S△ACD=2S△ABD,所以CD·h=2×BD·h, 所以CD=2BD, 所以=+=+=+(-)=+, 所以·=·=+· =+||·||cos∠BAC =×42+×4×4×=8. 4.C　b在a上的投影向量为a=a=a=-a. 5.B　因为单位向量a,b满足a·b=, 所以(a-b)·a=a2-a·b=, 所以所求的投影向量为a=a. 6.C　设BC的中点为M,则+=2,所以=,所以外心O与点M重合,故△ABC是以A为直角顶点的直角三角形. 设||=3x,x>0,则||=x, 所以||=x,cos B=, 设e为方向上的单位向量,则e=, 故在上的投影向量为||cos Be=3x··=. 7.答案　3 解析　·=||||cos<,>,i=1,2,…,7. 结合题图可知,||cos<,>表示(i=1,2,…,7)在上的投影向量的长度, (i=2,5)在上的投影向量相同, (i=1,3,6)在上的投影向量相同, (i=4,7)在上的投影向量相同, 所以·的不同值有3个. 8.B　因为a·(a+2b)=6,所以a2+2a·b=6, 即|a|2+2|a|·|b|·cos<a,b>=6,又|a|=2,|b|=1, 所以4+4cos<a,b>=6,解得cos<a,b>=, 因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=. 9.ABD　由题得e1·e2=1×1×cos =-,所以|a|===,A正确; a·b=(e1-2e2)·(e1+e2)=-e1·e2-2=-,B正确; 设a与b的夹角为θ,易得|b|===1,所以cos θ===-,C错误; a在b上的投影向量为|a|cos θ·=×b=-b,D正确. 解题模板 　　数量积的两个运用:(1)计算模长,|a|=; (2)计算角,cos<a,b>=. 10.AD　由题意得a在b上的投影向量的模为|a|cos =1,故A正确; a+b在a上的投影向量的模为===,故B错误; |ta+b|2=t2a2+2ta·b+b2=4t2+2t×1+1=4t2+2t+1=+, 当t=-时,|ta+b|取得最小值,为, 此时a·(ta+b)=ta2+a·b=4t+1=4×+1=0, 所以a⊥(ta+b),故C错误,D正确. 11.答案　2 解析　由题意可得a·b=-,a·c=b·c=1×3×=-, 则|a+b+c|= = ==2. 12.解析　(1)因为(a+2b)·(a-2b)=2,所以a2-4b2=2,即|a|2-4|b|2=2, 又|b|=1,所以|a|=, 因为a·(a-b)=4,所以a2-a·b=4,所以a·b=2, 所以a·(2a-b)=2a2-a·b=12-2=10, |2a-b|===, 所以cos θ===. (2)(a-3tb)·(ta-3b)=ta2-(3t2+3)a·b+9tb2=-6t2+15t-6, 由题意知(a-3tb)·(ta-3b)>0且向量a-3tb与ta-3b不共线, 所以-6t2+15t-6>0,且-3t2≠-3, 解得<t<2,且t≠±1,即实数t的取值范围为∪(1,2). 易错警示 　　若向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0且a≠λb(λ∈R),若向量a与b的夹角为钝角,则a·b<0且a≠λb(λ∈R),注意结果要排除两向量共线的情况. 13.A　a·b=|a||b|cos 120°=5×4×=-10. 因为(ka-2b)⊥(a+b), 所以(ka-2b)·(a+b)=ka2-2b2+(k-2)a·b=25k-2×16-10(k-2)=15k-12=0,解得k=. 14.A　因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=0,所以a·b-b2=0,所以|a|·|b|cos<a,b>-|b|2=0, 因为|a|=2|b|,|b|≠0,所以cos<a,b>=, 又因为0≤<a,b>≤π,所以<a,b>=,即a与b的夹角为. 15.答案　4 解析　如图,令=a,=b,以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,连接AC,BD, 由a⊥b,可得AD⊥AB,∴四边形ABCD为矩形. ∵a+b+c=0,∴c=-(a+b)=. ∵(a-b)⊥c,=a-b,∴CA⊥BD, ∴四边形ABCD为正方形. ∴|a|=|b|=1,|c|=,∴|a|2+|b|2+|c|2=4. 16.解析　(1)=-=-5e1+e2, 因为|e1|=|e2|=1,e1·e2=|e1||e2|cos 60°=, 所以||===. (2)·=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6+2+e1·e2=-, ||===, ||===, 所以cos<,>==-, 又<,>∈[0,π],所以<,>=. (3)由题意可知⊥,由(1)知=-5e1+e2, 又=-=(t+3)e1-2e2, 所以·=(-5e1+e2)·[(t+3)e1-2e2]=-5(t+3)-2+(t+13)e1·e2=0, 即-5(t+3)-2+(t+13)=0,解得t=-. 能力提升练 1.D 2.B 3.C 5.D 6.BD 7.B 1.D　因为M为BC的中点,所以+=2,由极化恒等式得·=(-)=×(4||2-)=×(36-100)=-16. 2.B　连接BC,由对称性可知BA=BC,取AC的中点H,连接BH,则AC⊥BH,AH=AC, 因为正六边形的边长为1,所以AC=2,所以·=||·||cos∠BAC=||·||=2. 方法技巧 　　若已知向量b的模及a在b上的投影向量c的模,则可根据a·b=|b|·|c|求数量积,这种方法避免了求a与b的夹角. 3.C　由已知得·=||·||·cos∠ABO=||2=18点拨:O在AB的垂直平分线上,||·cos∠ABO=||, ·=||||·cos∠CBO=||2=32, ·=6×8×=-24, ∵=x+y,∴ 即整理得 ∴(6x-4y)+(-3x+8y)=3x+4y=7. 4.答案　8 解析　连接AO,BM,CO,DO,EN,FO,如图所示,易知B,M,O,N,E共线,由正六边形的几何性质可知,△OAB,△OBC,△OCD,△ODE,△OEF,△OFA均是边长为4的等边三角形, 连接PO,则·=(+)·(+)=(+)·(-)=-, 又||=2,所以·=||2-4, 易知当点P位于正六边形ABCDEF各边的中点时,||取得最小值, 设H为AF的中点,连接OH, 则OH=4sin =2, 故||min=2, 故(·)min=(2)2-4=8. 5.D　由a+b+c=0,移项可得b=-(a+c), 对b=-(a+c)两边同时平方可得|b|2=(a+c)2=a2+2a·c+c2,所以4=4+2a·c+1, 则a·c=-,即2×1×cos<a,c>=-,则cos<a,c>=-. 6.BD　设e1与e2的夹角为θ,≤|e1+te2|两边平方,可得+cos θ≤t2+2tcos θ+1,即t2+2tcos θ--cos θ≥0①,由题知,不等式①对任意的实数t都成立, 所以Δ=4cos2θ+4cos θ+1≤0,即(2cos θ+1)2≤0, 则cos θ=-,又θ∈[0,π],所以θ=,故A错误; == ==,故B正确; |e2-te1|== =≥,当且仅当t=-时取等号,故C错误; |e2+t(e1-e2)|= ==≥,当且仅当t=时取等号,故|e2+t(e1-e2)|的最小值为,故D正确. 7.B　设a,b的夹角为θ,因为a·b的最小值为4,且a,b不共线,所以0<θ<, 因为|a+mb|的最小值为1(此时b⊥(a+mb)),|na+b|的最小值为2(此时a⊥(na+b)),所以|a|sin θ=1,|b|sin θ=2,两式相乘可得|a||b|sin2θ=2,所以|a||b|=, 又a·b=|a||b|cos θ≥4,所以≥4, 所以cos θ≥2sin2θ=2(1-cos2θ), 所以(2cos θ-)(cos θ+2)≥0, 所以cos θ≥,所以sin θ≤,所以|b|=≥4, 所以|b|的最小值为4. 8.答案　+1 解析　因为a,b是单位向量,且a·b=,所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×+1=,则|a+b|==. 根据向量模的性质可得|a+b+c|≤|a+b|+|c|=+1, 当且仅当c与a+b同向时,等号成立,所以|a+b+c|的最大值为+1. 9.答案　[11,13] 解析　因为||=||=||=1, 所以A,B,C三点在以O为圆心,1为半径的圆上, 因为(-)·(-)=0, 所以·=0,所以BA⊥CB, 所以AC是圆O的直径,所以=-, 所以|++|=|-+-+-|=|-3|, 设与的夹角为θ,θ∈[0,π], 则|-3|= = = =, 因为θ∈[0,π],所以cos θ∈[-1,1], 所以145-24cos θ∈[121,169], 所以|-3|∈[11,13], 即|++|的取值范围是[11,13]. 10.解析　(1)∵E是BC的中点,点F是CD上靠近点C的三等分点, ∴==,=-=-, ∴=+=-, 又=λ+μ,∴=, 又,不共线,∴λ+=-μ=0, ∴λ=-,μ=,故λ+μ=-+=. (2)设=m(0≤m≤1),则=+=-m, ∵=+=+,·=0, ∴·=·(-m) =-m+=-4m+2=1,故m=. ∴·=· =+=3+2=5, 易得||=,||=, ∴cos∠EAF===. 11.解析　(1)当λ=时,=,=. 由题知=,所以=+=+, 则=-=-, 所以=+=+=+=(+), 又=+=+=+, 所以=-=-+, 因此·=·=-++·. 因为=2,||=1,AD⊥AB, 所以||=2,·=0,所以·=. (2)由(1)知=-. 因为=λ,=(1-λ), 所以=+=+(1-λ)=+, =+=+λ=+λ=λ+. 则=-=(λ-1)+. 因为||=2,||=1,·=0, 所以·=(λ-1)+=λ-1+1-λ=0, 所以⊥,故向量与的夹角为90°. (3)由(2)可知=+,=λ+, 所以+=+. 因为||=2,||=1,·=0, 所以=+ =+×4=λ2-5λ+5=(λ-1)2+, 由题意知λ∈[0,1], 所以的取值范围是, 故的取值范围是. 7 学科网（北京）股份有限公司 $