6.2.3 向量的数乘运算分层同步练习 -2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦向量的数乘运算，分层清晰，从基础概念到创新应用递进，适配新授课知识巩固与能力提升，体现数学眼光、思维与语言的素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|数乘概念、运算律及几何意义|以选择、填空为主，夯实基础，如向量方向与模长辨析（题1）、运算律验证（题2）| |B级|共线向量、三点共线及综合运算|增加解答题，提升推理能力，如共线向量参数求解（题9）、三点共线条件应用（题8）| |C级|动态几何中的向量应用与最值求解|结合动态情境，培养创新意识，如三角形中点动线段上向量线性表示及最值问题（题10）|

6.2.3　向量的数乘运算 A级 必备知识基础练 1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是(　　) A.a与λa的方向相同 B.|λa|≥|a| C.a与λ2a的方向相同 D.|λa|=λ|a| 2.(多选题)下列运算正确的是(　　) A.(-3)·2a=-6a B.2(a+b)-(2b-a)=3a C.(a+2b)-(2b+a)=0 D.2(3a-b)=6a-2b 3.(多选题)在△ABC中,已知A=3C==3,则(　　) A.||=|| B.||=2|| C. D. 4.点C在线段AB上,且||=|,若=λ,则λ=(　　) A. B.- C. D.- 5.(多选题)在平行四边形ABCD中,=a,=b,=c,M是边CD上的中点,则可以表示为(　　) A.c-b B.c+2b C.a+b D.a-b 6.点C在线段AB上,且,则=　　　　 =　　　　 . B级 关键能力提升练 7.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若=λ,则λ=　　　　.  8.已知3+λ,若A,B,C三点共线,则实数λ=　　　　.  9.已知两个非零向量a,b不共线,且ka+3b与2a+kb共线,求实数k的值. C级 学科素养创新练 10.在△ABC中,D是边BC的中点,若点P是线段AD上的动点,且满足=λ+μ,求λμ的最大值. 参考答案 1.C　只有λ>0时,才有a与λa方向相同,|λa|=λ|a|,故A,D错误;当|λ|<1时,|λa|≥|a|不成立,故B错误;因为λ≠0,所以λ2>0,于是向量a与λ2a的方向相同,故C正确.故选C. 2.ABD　由题意,得A项,(-3)·2a=-6a,A正确; B项,2(a+b)-(2b-a)=2a+2b-2b+a=3a,B正确; C项,(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,C错误; D项,2(3a-b)=6a-2b,D正确.故选ABD. 3.ABD　因为A=3C=,所以B=,C=, 选项A,||的几何意义为以AB,AC为邻边构成的矩形的对角线的长度,而||是该矩形另一条对角线的长度,选项A正确; 选项B,不妨设AB=2m,则AC=2m,BC=4m,因为=3,所以BD=BC=m,因为,∠B=∠B,所以△ABD∽△CBA,所以,即AD=AC,选项B正确; 选项C,)=,选项C错误; 选项D,由选项B可知,△ABD∽△CBA,所以∠ADB=∠BAC=,所以BD⊥AD,所以,选项D正确. 故选ABD. 4.D　点C在线段AB上,且||=|,如图所示,因为=λ,即=-,所以λ=-.故选D. 5.AC　 如图,易知)=a+c,且c=a+b, 所以a+c=a+(a+b)=a+b,故C正确,D错误; a+c=(c-b)+c=c-b,故A正确,B错误.故选AC. 6.　-　∵, ∴可设AC=3k(k>0),CB=2k,∴AB=5k. ∴=-. 7.2　在平行四边形ABCD中,=λ, 所以λ=2. 8.2　由3+λ,整理得,因为A,B,C三点共线,所以=1,解得λ=2. 9.解 因为ka+3b与2a+kb共线, 所以存在实数λ,使ka+3b=λ(2a+kb), 即ka+3b=2λa+λkb,即(k-2λ)a=(λk-3)b. 由于a,b不共线,所以解得k=±. 即实数k的值为或-. 10.解 因为P在AD上,即A,P,D三点共线, 设=t+(1-t),0≤t≤1. 又因为,所以=t. 因为=λ+μ,则0≤t≤1. 令y=λμ=t×=-t-2+,当t=时,λμ取得最大值,最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $