6.2.3 向量的数乘运算分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3　向量的数乘运算 一、必备知识基础练 1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是(　　) A.a与λa的方向相同 B.|-λa|≥|a| C.a与λ2a的方向相同 D.|λa|=λ|a| 2.已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则(　　) A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 3.(2025重庆万州高一期中)化简6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)=(　　) A.6a+2b+8c B.6a-14b C.-2a-14b D.6a+2b 4.若非零向量,且设=λ,则实数λ=　　　　　.  5.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是　　　　　　 .  6.如图,已知向量e1与e2不共线,求作向量2e1-3e2. 7.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b. (1)用a,b分别表示向量; (2)求证:B,E,F三点共线. 二、关键能力提升练 8.(多选题)如图所示,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是(　　) A. B. C. D. 9.(2025陕西铜川高一模拟)在△ABC中,若3=2-2,则点D(　　) A.在直线AB上 B.在直线AC上 C.在直线BC上 D.为△ABC的外心 10.(2025北京西城高一期末)已知e1,e2为一组不共线的向量,且向量a=xe1+4e2,b=e1+ye2,能使得a∥b的一组实数x,y的值可以为x=　　　　　,y=　　　　　.  11.如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AD,DC的中点,BE,BF分别交AC于点M,N.求证:M,N三等分AC. 12.已知在△OBC中,A是线段BC的中点,D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设=a,=b. (1)用向量a与b表示向量; (2)若,判断C,D,E是否共线,并说明理由. 答案 1.C　解析 因为λ≠0,所以λ2>0,于是向量a与λ2a的方向相同. 2.A　解析 ∵向量=2a+4b,=a+2b, ∴=2,即A,B,D三点共线. 3.D　解析 6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=6a+2b.故选D. 4.-　因为, 所以=-, 所以=-, 所以=-, 即实数λ=-. 5.等腰梯形　由已知得=-, 因此,且||≠||, 所以四边形ABCD是梯形. 又因为||=||, 所以四边形ABCD是等腰梯形. 6.解 如图所示,=2e1,=3e2,故即为2e1-3e2. 7.(1)解 ∵)=(a+b), ∴(a+b). ∵b,∴=-a+b. (2)证明 由(1)知=-a+b,=-a+(a+b)=-a+b=(-a+b), ∴.∴共线. 又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线. 8.AC　解析 对于A,,故A正确; 对于B,)+,故B错误; 对于C,=-,故C正确; 对于D,=-,故D错误.故选AC. 9.A　解析 因为3=2-2, 所以3=2-2=2()=2, 所以共线. 因为有公共端点B, 所以A,B,D三点共线, 所以点D在直线AB上.故选A. 10.1　4(答案不唯一,xy=4即可)　因为a∥b,所以存在实数λ使得a=λb,即xe1+4e2=λ(e1+ye2),xe1+4e2=λe1+λye2,则x=λ,λy=4,即y=,所以xy=4.可取x=1,y=4. 11.证明 由题意可得=2, 所以=2=2+2, 由于分别共线,但不共线, 所以=2=2,因此N是AC的一个三等分点. 同理可证=2,因此M也是AC的一个三等分点. 12.解 (1)∵=a,=b,点A是BC的中点, ∴=-a. ∴=-a-b. (2)C,D,E不共线.理由如下, 假设存在实数λ,使=λ. ∵=a+b+(-b)=a+b, )=2a+(-a+b)=a+b, ∴a+b=λ, ∴此方程组无解, ∴不存在实数λ,满足=λ. ∴C,D,E三点不共线. 5 学科网（北京）股份有限公司 $