5.3.2 函数的极值与最大（小）值分层同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|单一知识点（单调性、极值判断）|基础题为主，如导函数图像分析极值，强化推理能力| |B级|综合应用（极值与参数、实际问题）|应用题如水箱材料最省问题，体现模型意识| |C级|学科素养（极值与最值综合）|探究题含定义域分析与区间最值，发展创新意识|

5.3.2　函数的极值与最大（小）值 A级 必备知识基础练 1.已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则关于f(x)的结论正确的是(　　) A.在区间(-2,2)上单调递减 B.在x=-2处取得极小值 C.在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增 D.在x=0处取得极大值 2.设函数f(x)=xex,则(　　) A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点 3.(多选题)已知函数f(x)=x3-4x+2,下列说法中正确的有(　　) A.函数f(x)的极大值为,极小值为- B.若函数f(x)在[-2,a]上单调递减,则-2<a≤2 C.当x∈[3,4]时,函数f(x)的最大值为,最小值为- D.若方程f(x)-c=0有3个不同的解,则-<c< 4.(多选题)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则下列区间是该函数的一个单调递增区间的是(　　) A.(-∞,2) B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,3) 5.函数y=x+2cos x在0,上取最大值时,x的值为(　　) A.0 B. C. D. 6.函数f(x)=(x+1)ex的最小值是　　　　　.  7.若函数f(x)=x3-3ax在(0,1)内无极值,则实数a的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,0]∪[1,+∞) D.[0,1] B级 关键能力提升练 8.已知函数f(x)=,若对任意x1,x2∈[a,+∞),都有f(x1)-f(x2)≤成立,则实数a的最小值是　　　　　.  9.做一个容积为256 m3的长方体水箱,它的底面是正方形,该水箱无盖,当所用材料最省时(即所用材料的面积最小),它的高为　　　　　m.  10.已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处取得极值0,求常数a,b的值. C级 学科素养创新练 11.已知函数f(x)=x2-4ax+9ln x在x=3处取得极值. (1)求实数a的值; (2)求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值. 参考答案 1.B　2.D　3.ABD　4.AB　5.B 6.-　由f(x)=(x+1)ex,得f'(x)=(x+2)ex,当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,因此当x=-2时,函数有最小值,最小值为f(-2)=(-2+1)e-2=-. 7.C　函数f(x)=x3-3ax在(0,1)内无极值,所以f'(x)=3x2-3a在(0,1)内无变号零点,根据二次函数的对称性和单调性知,f'(x)=3x2-3a在区间(0,1)单调递增, 所以f'(0)=0-3a≥0或f'(1)=3-3a≤0即可,解得a≤0或a≥1. 8.1　函数定义域是(0,+∞),f'(x)=,当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x>e时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴x=e时,f(x)取得极大值也是最大值,f(e)=. 若对任意x1,x2∈[a,+∞),都有f(x1)-f(x2)≤成立,等价于当x∈[a,+∞)时,f(x)max-f(x)min≤, 当a≥e时,f(x)max≤,且f(x)>0,满足题意; 当0<a<e时,f(x)在[a,e]上单调递增,≤f(x)≤, f(x)在[e,+∞)上单调递减,0<f(x)≤,只要≥0即可,∴1≤a<e. 综上,a∈[1,+∞),a的最小值是1. 9.4　设底面边长为x m,高为h m,则有x2h=256,所以h=.设所用材料的面积为S m2,则有S=4x·h+x2=4x·+x2=+x2,x>0.S'=2x-(x3-512),x>0.令S'=0,得x=8,当x>8时,S'>0,当0<x<8时,S'<0,所以当x=8时,S=+x2有最小值,此时h==4. 10.解 因为f(x)在x=-1时有极值0,且f'(x)=3x2+6ax+b,所以 即 解得 当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去. 当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3). 当x∈(-3,-1)时,f(x)单调递减;当x∈(-∞,-3)和x∈(-1,+∞)时,f(x)单调递增,所以f(x)在x=-1时取得极小值,因此a=2,b=9. 11.解 (1)由题意,得f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=3x-4a+. 因为函数f(x)在x=3处取值得极值,所以f'(3)=9-4a+3=0,解得a=3. 此时,f'(x)=3x-12+. 令f'(x)>0,得0<x<1或x>3.令f'(x)<0得1<x<3. 故函数f(x)在(0,1),(3,+∞)上单调递增,在(1,3)上单调递减, 所以函数f(x)在x=1处取极大值,在x=3处取极小值,符合题意,所以a=3. (2)由(1),得f(x)=x2-12x+9ln x,所以f'(x)=,x∈[e,e2]. 令f'(x)>0,得3<x<e2,所以函数f(x)在[3,e2]单调递增, 令f'(x)<0,得e<x<3,所以函数f(x)在[e,3]单调递减, 所以函数f(x)在x=3处取极小值, 所以当x∈[e,e2]时,f(x)的最小值为f(3)=9ln 3-. 学科网（北京）股份有限公司 $