5.3.2 函数的极值与最大（小）值----函数的极值 同步训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.2函数的极值与最大（小）值----函数的极值同步训练 一、单选题 1．已知函数的导函数的图像如图所示，则（    ）    A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值 C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值 2．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在时有极大值，则的极大值为（   ） A．0 B．32 C．0或32 D．0或32 4．若是函数的一个极值点，则a的值为（    ） A． B．1 C．0 D． 5．函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极大值点 B．在区间上单调递增 C．是函数的最小值点 D．在处切线的斜率小于零 6．函数的极大值点为（   ） A．1 B． C． D． 7．已知函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．或 B． C．1 D． 8．若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列结论正确的是（  ） A．在上单调递减 B．的极大值为2 C．有两个零点 D．曲线在处的切线斜率为 10．已知函数有极小值，且极小值小于0，其中，都是实数，则（    ） A． B． C． D．在内有2个零点 11．已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 三、填空题 12．函数的零点个数为 ． 13．函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是 . ①函数在区间上严格递减； ②； ③函数在处取极大值； ④函数在区间内有两个极小值点. 14．若函数的极大值为0，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)探究是否为的极大值点. 16．已知函数的图象在点处的切线与直线平行. (1)求的值； (2)求的极值. 17．已知函数． (1)若函数在处的切线经过，求的值； (2)若函数存在两个极值点，求的取值范围； 18．已知函数在处取得极值． (1)求的值； (2)若对任意，都有成立，（其中是函数的导函数），求实数的取值范围． 19．已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值. 【详解】    由导函数图像可知： 导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减， 在上大于等于0，于是原函数在上单调递增， 所以原函数在处取得极小值，无极大值， 故选：A. 2．B 【分析】根据在上递增，利用同构法求解即可． 【详解】解：构造， 则在上显然递增， 由得 ， 即， ， ， 令， 则， 由得，递增， 由得，递减， ， ． 故选：B． 【点睛】本题解题的关键是看到 “指对跨阶”要想到同构，同构后有利于减少运算，化烦为简． 3．B 【分析】求导，根据题意结合极值点解得或，再验证函数极值点即可. 【详解】因为， 由题意可得：，解得或. 若，则， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则函数在时有极小值，不合题意； 若，则， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则函数在时有极大值； 综上所述：的极大值为32. 故选：B. 4．A 【分析】求导，根据极值点的定义直接求值，并代入检验. 【详解】由，得， 依题意可得，解得， 当时．，， 令，解得， 列表 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以在处取得极小值， 故选：A. 5．B 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点、最值点、切线斜率的正负． 【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时， 函数在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，故A错误，B正确； ∴在上单调递增，不是函数的最小值点，故C不正确； ∴函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故D不正确. 故选：B 6．B 【分析】对求导，利用导数判定原函数的单调性和极值点. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得，在单调递增； 令，解得，在单调递减； 可知函数的极大值点为. 故选：B 7．B 【分析】由求得或，再分别代入验证极值确定值. 【详解】由题意得，又函数在处取得极小值， 则，解得或． 当时，，令，则或， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则在处取得极小值，故符合； 当时，，令，则或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在处取得极大值，故不符合， 所以． 故选：B. 8．B 【分析】求出函数极小值点的范围，再利用导数求极小值的值域即可得解, 【详解】由题意，，其中，因为有极大值和极小值， 所以方程有两个不等正根，令，则由，得， 由为增函数可知，当时，，在单调递减, 当时，，在上单调递增，故，即， 设极小值点为，设取值范围的集合为, 又，即， 记，易知与单调性相反，在单调递增，在 时单调递减，且，满足， 所以，即，所求函数极小值为， ，即， 令，则，当时，，故在时单调递减，所以，即， 所以值域为，即极小值的取值范围是. 故选：B 9．ABD 【分析】对函数求导，根据导数的区间符号研究单调性，进而确定极值、零点及切线斜率，依次判断各项的正误. 【详解】由题设. 对于D，因为，所以曲线在处的切线斜率为，所以D正确； 对于A，令，即，解得，所以在上单调递减，所以A正确； 对于B，令，即，解得，或.结合A，得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极大值，极大值为.所以B正确； 对于C，由B选项的分析知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 因为，可作其简图. 所以在，，上各有一个零点，共有3个零点，所以C错误. 故选：ABD. 10．AC 【分析】求导得，分类讨论，根据导数的正负确定函数的单调性及极值的情况，得出且，，即可判断A；由函数的极小值小于0，可得，从而，即可判断B；求出，结合及对数函数的单调性可判断C；时，单调递减，可得出时，单调递减，则在内至多有一个零点，即可判断D. 【详解】的定义域为，， 当且时，，函数不存在极值； 当且时，，函数在上单调递增，不存在极值； 当且时，，函数在上单调递减，不存在极值； 所以， 由，得， 函数有极小值，所以在上有实数解， 所以，从而， 当且时， 时，，单调递增；时，，单调递减， 故在上有极大值，没有极小值，不符合题意； 当且时， 时，，单调递减；时，，单调递增， 故当时，在上有极小值，极小值， 综上，且，，故A正确； 函数的极小值小于0，即， 所以，可得，从而， ，故B错误； ，故C正确； ∵时，单调递减，而，∴时，单调递减， 从而时，单调递减，则在内至多有一个零点，故D错误， 故选：AC. 11．CD 【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系，极值点的定义及导数的几何意义判断选项正误． 【详解】由导函数的图像可知，时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在上单调递增，故A错误， 不是的极小值点，故B错误， 是的极大值点，故C正确， 由导函数的图像可知， 所以曲线在处的切线斜率为2，故D正确． 故选：CD． 12．2 【分析】方法一：利用导数，求出函数的单调区间及最值，根据函数的趋势，作出函数的图象，根据图象即可得答案； 方法二：令，得，作出函数的图象，根据图象即可得答案. 【详解】的定义域为， 且， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则， 又当时，，当时，， 所以函数的零点个数为2． （方法二）的定义域为， 令，得， 作出函数的图象，如图所示： 由图可知，的图象与的图象有2个公共点， 所以函数的零点个数为2． 故答案为：2 13．②④ 【分析】先由图得函数的单调性，进而逐一判断即可. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以函数在 区间递增上，在区间上递减，故①错误，②正确； 所以的极小值点为和，极大值点为，故③错误，④正确. 故答案为：②④. 14． 【分析】求导，对分类讨论，结合单调性以及零点存在性定理找函数的极大值点，即可根据极大值为0求解. 【详解】的定义域为， ， 当时，均为单调递增函数， 因此为上的单调递增函数， 当， 若，则，由零点存在性定理可知， 则，故，此时在上单调递增， ，故，此时在上单调递减， ，故，此时在上单调递增， 此时时，取到极大值，故，符合题意， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意， 当，此时，由零点存在性定理可知， 则，故，此时在上单调递增， ，故，此时在上单调递减， ，故，此时在上单调递增， 此时时，取到极大值，而，不符合题意， 当时，由于在上恒成立，且当时， 因此在恒成立，故在上单调递增，故， 要使的极大值为0，则极大值点必然小于1，不妨设极大值点为， 则，这与极大值为0矛盾，不符合题意，舍去， 综上可得， 故答案为： 15．(1) (2)不是极大值点 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）假设是的极大值点，由极值点定义推理找到矛盾，得解. 【详解】（1）当时，，， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）易得， 假设是的极大值点，则，即， 化简得， 当时，， 当时，，，只有当时，上式成立， 故，当时，，则， 但由假设知是的极大值点， 于是由极大值的定义知存在，使得时，，与假设矛盾. 所以不是的极大值点. 16．(1) (2)极小值，无极大值. 【分析】（1）求导，根据切线与直线平行，得到，得到； （2）求导，得到函数单调性和极值情况. 【详解】（1）因为，定义域， 所以， 因为直线的斜率为， 函数在处的切线与直线平行， 所以， 设，， 则，所以函数在上单调递增， 又时，， 所以； （2）由（1）得：，，定义域， 因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 令，解得， 当变化时，的变化情况如下表所示： 0 单调递减 极小值 单调递增 因此，当时，有极小值，并且极小值，无极大值. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据导数几何意义得到切线方程为，再代点求即可； （2）根据有两个极值点，即有两个解，即有两个解，令，求导分析函数单调性及最值即可确定的取值范围； 【详解】（1）由题知函数的导数为，，， 所以切线方程为，又因为切线过，所以， 解得． （2）由题知函数定义为，，函数存在两个极值点，所以在有两个解， 即在有两个解，令， 则，解得， 所以当时，，在上单调递增： 当时，，在上单调递减， 则，又时，时， 所以的取值范围是． 18．(1)， (2) 【分析】（1）先求，再由可得结果； （2）恒成立等价于在上恒成立，利用导数研究其单调性，令即可求得的取值范围． 【详解】（1）由题设可得，在处取得极值， 所以，即，解得，， 经检验知，，满足题设条件． （2）由（1）得，， 在上恒成立， 即在上恒成立， 设， 则，，， 则 ①当，即时，， ，在上单调递增， ，即当时，满足题设条件． ②当，即时， 设，是方程的两个实根，且， 由可知， 由题设可知，当且仅当，即，即，即时， 对任意的有，即在上恒成立， 在上单调递增，，时，也满足条件， 综上，的取值范围为. 19．(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用极值的定义求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即切线的斜率为， 又，所以所求的切线方程为， 即； （2）由，得，， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ①当，即时，对恒成立， 此时在单调递增，故没有极值点； ②当，即时，方程有两个不等正数解， ， 不妨设，则当时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增； 所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点． 综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $