2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末提分卷

**基本信息** 以神舟二十三号航天应用题、图形旋转规律题等为载体，融合抽象能力、空间观念与模型意识，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|因式分解、分式意义、正六边形性质|第4题结合正六边形与平行线性质，考查几何直观| |填空题|6/18|二元一次方程组、规律探究、图形变换|第15题北斗信号优化变换，体现数学语言表达现实问题| |解答题|8/72|因式分解、不等式组、几何证明、应用题|22题航天文创进价与进货方案，考查模型意识；24题平行四边形方案设计，发展推理能力与创新意识|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末提分卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式的右边不是积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意. 2．把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【详解】， 则余下的部分是x． 故选：C． 3．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为（     ） x的取值 4 a 6 分式的值 无意义 0 b A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据分式无意义的条件和分式值为0的条件，求出m，n后得到分式，再代入条件求解计算即可. 【详解】解：∵当时分式无意义，分式无意义时分母为0， ∴，解得； ∵当时分式值为，分式值为0时分子为0且分母不为0， ∴，解得，验证分母，符合条件； ∴分式为， ∵当时分式值为， ∴， ∴， 当时，， ∴. 4．如图，直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正六边形可得内角为，通过两直线平行同旁内角互补和三角形外角定理即可完成题目． 【详解】解：如图， ∵正六边形的每个内角为， ， ， ， ， ． 5．如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】首先确定点，的坐标，进而确定线段的平移方式，进一步可得点的坐标，即可获得答案． 【详解】解：对于直线， 令，可得，解得，即， 令，可得，即， ∵将线段平移至，点的对应点的坐标为， ∴线段的平移方式为先向上平移2个单位长度，再向左平移8个单位长度， ∴点的坐标为，即点的纵坐标是6． 6．已知实数满足，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知等式得到与的关系，代入不等式求出的范围，再变形所求代数式得到其取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， 将代入得 ， 整理得，解得， 因此，故选项A，B错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即 ， 因此选项C错误，选项D正确． 7．若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及二元一次方程组的解，能根据题意用表示出及熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 根据所给方程组，用表示出，再根据与的和不大于建立关于的不等式，据此可解决问题． 【详解】解： 得，， 与的和不大于， ， 解得． 在数轴上表示为： 故选：A． 8．如图，在中，，，过点作交于点，取的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于点F，根据等腰三角形的性质可得，设，则，根据勾股定理求出，求出，得出，，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，作于点F， ，， ， ， ， ∴， ∴． 设，则， 根据勾股定理，可得， 解得或（舍去）， ∴， ∵点E是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在平行四边形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，若点恰为的中点，则下列结论一定错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由作图方法可知垂直平分，则，根据线段中点的定义可推出，再由平行四边形的性质和已知条件可证明，则可证明是等边三角形，得到，由平行四边形的性质和平行线的性质可推出，据此可判断D；由等边对等角和三角形外角的性质可证明，据此可判断B；证明是等边三角形，得到， 进而可证明，据此可判断A、C． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可知垂直平分， ∴， ∵点恰为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故D选项中的结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B选项中的结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，故C选项中的结论错误，符合题意； ∴， ∴， ∴，故A选项中的结论正确，不符合题意． 10．如图，在直角坐标系中，边长是1的等边的顶点与原点重合，边与轴重合，把 绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1，得到 ，称为第1次操作；第2次操作（把绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到 第3次操作（把 绕点 按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到． ，按此规律操作下去，第2024次操作得到 ，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的变化−旋转，根据题意得出点坐标变化规律，再得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：如图，分别过点B，作x轴的垂线，交x轴于E，F， 则，， ∴，，， ∴， ∵，，每操作1次，三角形的边长增加1， 则第2024次操作得到的在第一象限，且边长为2025， ∴． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 【答案】 【分析】利用加减消元法得到和关于的表达式，再利用平方差公式分解得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】， ，得 ， 等式两边同除以，得 ， ，得 ， ， ， 整理得 ， 即， 解得． 12．如图，直线与直线为常数，且相交于点，则不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】先把点的坐标代入直线求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象，找出直线在直线上方部分对应的的取值范围即可． 【详解】解：点在直线上， ， 解得， 点的坐标为， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方， 不等式的解集是． 13．现有一列数：，，，，，，．我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，，第n个数记为． （1）______． （2）若，则n的值为______． 【答案】 【分析】（1）先根据给定的递推关系推导出，再代入计算即可得到结果； （2）对进行变形，将其代入后通过抵消化简后解方程即可求出的值． 【详解】解：（1）由题意得，， 全部相加得，， ∴； （2）∵， ∴， ∴ 由题意得，，， ∴ 解得． 14．如图，在中，，垂足为点，，点在线段上，连接并延长交于点，若时，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的是_____． 【答案】①③④ 【分析】利用全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：①∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故①正确； ②根据给出条件，无法得出，故②错误； ③∵， ∴， ∵，且， ∴， 即， ∴，故③正确； ④如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴，， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确选项为①③④． 15．我国“北斗”卫星导航系统的信号覆盖模型中，规定把一个等边三角形信号区域先沿轴翻折，再向右平移个单位称为次信号优化变换．如图，已知等边三角形信号区的顶点、的坐标分别是、，把经过连续次这样的信号优化变换得到，则点的对应点的坐标是_______． 【答案】 【分析】利用等边三角形的性质求出点的坐标，根据图形的变化规律找到点的坐标的变化规律，利用规律求出点的坐标． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 点、的坐标分别是、， ， 是等边三角形， ，， ， 点的坐标为，即， 第一次翻折后点的对应点的坐标为，再向右平移个单位长度，得到的对应点的坐标为， 第二次翻折后的对应点的坐标为，再向右平移个单位长度，得到的对应点的坐标为， 第三次翻折后对应点的坐标为，再向右平移个单位长度，得到的对应点的坐标为， ， 由规律可知，每次信号优化变换对应点的横坐标加，纵坐标转换为原来纵坐标的相反数， 经过连续次这样的信号优化变换横坐标为，纵坐标转化为， 把经过连续次这样的信号优化变换得到，则点的对应点的坐标是． 16．如图，在中，，，、两点分别在边、上，且，，则的值为__________． 【答案】 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，结合平行四边形的性质、勾股定理、面积法解题即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点， 则有四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∵， ∴； 由勾股定理可知，， ∴； ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴ ． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．因式分解： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．解不等式（组） (1)解不等式：； (2)解不等式：； (3)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】(1) (2) (3)，它的所有整数解为，，0，1 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：整理得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解：解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴它的所有整数解为，，0，1． 19．已知分式方程，请在下列三个条件中任意选择一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 【答案】①；②或2；③12 【分析】①根据方程增根的情况求解即可；②根据题意得出，再由方程无解求解即可；③将代入原方程求解即可． 【详解】解：①去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：； ②方程两边同时乘以，得， ， 方程无解， 或， 或， 或2； ③将代入原方程得， 解得：， m的值为12． 20．如图，在中，，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先计算出，利用三角形的外角性质求解即可； （2）利用等角对等边得到，利用含30度的直角三角形的性质得到，利用勾股定理求得，利用三角形面积公式即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴的面积． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，是三角形的边上的一点，把三角形经过平移后得到三角形，点、、的对应点分别为点、、，点的对应点为． (1)写出，，三点的坐标； (2)画出三角形； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)，， (2)解：如图，三角形即为所求， ； (3) 【分析】（1）先确定平移方式，再根据点坐标的平移变换规律解答即可； （2）先在平面直角坐标系中描出点，再顺次连接即可； （3）利用一个长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵点的对应点为， ∴平移方式是：先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∵把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，且，，， ∴，，， 即，，． （2）略 （3）解：三角形的面积为. 22．2026年5月24日23时08分，神舟二十三号载人飞船成功发射升空．航天主题的商品随之迎来热销．某文创商店购进飞船模型、纪念徽章两类商品进行售卖．每个飞船模型的进价是纪念徽章进价的倍． (1)已知商店用元购进的飞船模型数量，比用元购进纪念徽章的数量少个．求纪念徽章和飞船模型每个的进价分别是多少元？ (2)商店计划再次购进这两款商品共个，进货总资金不超过元，求最多能购进多少个飞船模型？ 【答案】(1)每个纪念徽章进价20元，每个飞船模型进价30元 (2)最多能购进210个飞船模型 【分析】（1）设每个纪念徽章进价元，则每个飞船模型进价元． 由题意得：，解方程即可； （2）设购进飞船模型个，则购进纪念徽章（）个．由题意得：，求不等式的最大的整数解即可； 【详解】（1）解：设每个纪念徽章进价元，则每个飞船模型进价元． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ； 答：每个纪念徽章进价20元，则每个飞船模型进价30元． （2）解：（2）设购进飞船模型个，则购进纪念徽章（）个． 由题意得：， 解得：， 答：最多能购进210个飞船模型． 23．结合图形，解答下列各题： (1)如图1，，，，则______； (2)如图2，，点P在的上方、点E、点F分别在，上，连接，，试探究、、之间的数量关系是______． (3)如图3，在（2）的条件下，已知：，的角平分线和的角平分线交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，则，结合题意可得，求出，即可得出结果； （2）过点作，则，结合题意可得，从而得出，再结合，即可得出结果； （3）记与相交于点，，求出，记与相交于点，则，，由角平分线的定义可得，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，记与相交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 记与相交于点，则， ∵， ∴， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ∴，， ∴ ． 24．如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】（1）甲方案：如图，连接，根据平行四边形的性质得，，再根据中点的定义得，即可得出四边形为平行四边形； 乙方案：根据平行四边形的性质得，，即可得，再根据“角角边”证明，可得，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案； （2）根据平行四边形的性质得，，可得，再说明 ，，然后根据 ，可得 ，进而根据得出答案． 【详解】（1）证明：甲方案：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴，． ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 乙方案：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：∵四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∴． ∵ ， ∴， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， 答：的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末提分卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 3．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为（     ） x的取值 4 a 6 分式的值 无意义 0 b A．8 B．6 C．4 D．2 4．如图，直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知实数满足，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，过点作交于点，取的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平行四边形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，若点恰为的中点，则下列结论一定错误的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在直角坐标系中，边长是1的等边的顶点与原点重合，边与轴重合，把 绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1，得到 ，称为第1次操作；第2次操作（把绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到 第3次操作（把 绕点 按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到． ，按此规律操作下去，第2024次操作得到 ，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 12．如图，直线与直线为常数，且相交于点，则不等式的解集是__________． 13．现有一列数：，，，，，，．我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，，第n个数记为． （1）______． （2）若，则n的值为______． 14．如图，在中，，垂足为点，，点在线段上，连接并延长交于点，若时，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的是_____． 15．我国“北斗”卫星导航系统的信号覆盖模型中，规定把一个等边三角形信号区域先沿轴翻折，再向右平移个单位称为次信号优化变换．如图，已知等边三角形信号区的顶点、的坐标分别是、，把经过连续次这样的信号优化变换得到，则点的对应点的坐标是_______． 16．如图，在中，，，、两点分别在边、上，且，，则的值为__________． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．因式分解： (1)； (2) (3)； (4) 18．解不等式（组） (1)解不等式：； (2)解不等式：； (3)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 19．已知分式方程，请在下列三个条件中任意选择一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 20．如图，在中，，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，是三角形的边上的一点，把三角形经过平移后得到三角形，点、、的对应点分别为点、、，点的对应点为． (1)写出，，三点的坐标； (2)画出三角形； (3)求三角形的面积． 22．2026年5月24日23时08分，神舟二十三号载人飞船成功发射升空．航天主题的商品随之迎来热销．某文创商店购进飞船模型、纪念徽章两类商品进行售卖．每个飞船模型的进价是纪念徽章进价的倍． (1)已知商店用元购进的飞船模型数量，比用元购进纪念徽章的数量少个．求纪念徽章和飞船模型每个的进价分别是多少元？ (2)商店计划再次购进这两款商品共个，进货总资金不超过元，求最多能购进多少个飞船模型？ 23．结合图形，解答下列各题： (1)如图1，，，，则______； (2)如图2，，点P在的上方、点E、点F分别在，上，连接，，试探究、、之间的数量关系是______． (3)如图3，在（2）的条件下，已知：，的角平分线和的角平分线交于点，求的度数． 24．如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明． (2)若，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $