第五章 分式期末高频必刷题（九大题型）-2025-2026学年八年级数学下册期末高频必刷题（北师大版）

**基本信息** 以分式核心概念为起点，通过9类题型构建从定义辨析到实际应用的完整知识链，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式的定义与意义辨析|3题|考查分式概念及有意义条件|概念生成起点，奠定后续性质理解基础| |分式的基本性质应用|4题|性质变形、最简分式判断|承接定义，为运算化简提供理论依据| |分式的乘除/加减/混合运算|3+4+4题|基础运算到综合运算|技能递进，体现运算能力培养逻辑| |分式的化简求值|4题|先化简再代入求值|综合运算与代数变形的结合应用| |分式方程的求解|4题|基础解法训练|从代数式到方程的知识延伸| |根据分式方程解的情况求值|5题|含参数、增根、无解问题|方程解的深度分析，提升推理意识| |分式方程的实际应用|5题|产量、行程、经济问题|模型意识培养，实现数学语言表达现实世界|

第五章 分式期末高频必刷题 【题型 1：分式的定义与意义辨析】 【题型 2：分式的基本性质应用】 【题型 3：分式的乘除运算】 【题型 4：分式的加减运算】 【题型 5：分式的混合运算】 【题型 6：分式的化简求值】 【题型 7：分式方程的求解】 【题型 8：根据分式方程解的情况求值】 【题型 9：分式方程的实际应用】 【题型 1：分式的定义与意义辨析】 1．下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：A．的分母π是常数，不是字母，属整式；     B．分母含字母，属分式；     C．是多项式，属整式；     D． 的分母2是常数，不是字母，属整式． 2．若分式的值存在，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义，分式的值存在要求分母不为0，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵分式的值存在， ∴分母不能为0，即， 解得． 3．若分式的值为零，则______． 【答案】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 【题型 2：分式的基本性质应用】 4．根据分式的基本性质，下列变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．当时，的分母为，分式无意义，故该变形不一定正确，不符合题意， B．的分子分母分别平方，并非同时乘同一个不为的整式，故变形错误，不符合题意， C．的分子分母同时加，不符合分式基本性质，故变形错误，不符合题意． D．∵中（否则原式无意义），∴，故变形正确，符合题意． 5．如果分式中的都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（） A．缩小为原来的倍 B．扩大为原来的2倍 C．不变 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母变化后的值的判断方法是解题的关键．先将、替换为扩大后的、，代入原分式并化简，再与原分式的值对比，判断其变化情况． 【详解】解：∵、都扩大为原来的2倍， ∴替换后所得分式为， ∵， ∴所得分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 6．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简分式的判断，需根据最简分式的定义（分子与分母没有非零公因式的分式），逐一分析各选项的分子分母是否可约分． 【详解】解：∵选项A中，，分子分母有公因式，可约分，∴不是最简分式； ∵选项B中，，分子分母有公因式，可约分，∴不是最简分式； ∵选项C中，在初中范围内无法分解因式，分子与分母无公因式，不能约分，∴是最简分式； ∵选项D中，，分子分母有公因式，可约分，∴不是最简分式． 故选：C 7．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可． 【详解】A. ，该分式不是最简分式，不符合题意； B. ，该分式不是最简分式，不符合题意； C. ，该分式是最简分式，符合题意； D. ，该分式不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【题型 3：分式的乘除运算】 8．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式先化除法为乘法，再约分即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故选：C 9．计算______． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再算乘法即可解答； （2）先计算除法，再算减法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【题型 4：分式的加减运算】 11．化简的结果是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】解： 12．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化为同分母作差，再约分化简即可． 【详解】解： ． 13．计算的结果是_____． 【答案】3 【分析】本题考查分式的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由于分母相同，直接合并分子后约分即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 14．化简： _____． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的化简，将分母因式分解后通分，合并分式并化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型 5：分式的混合运算】 15．计算： 【答案】 【分析】先对括号里的进行通分，再通过平方差公式和提公因式法对分式进行因式分解，然后进行约分化简，再将除法转化为乘法，再次约分化简即可． 【详解】 解：原式 ． 16．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先对分子分母进行因式分解，计算乘法并进行约分，然后再进行同分母分式加法运算即可． 【详解】解：原式 ． 17．化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】解： ． 18．化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握分式化简的方法是解题的关键． 利用平方差公式和提取公因式法进行化简即可． 【详解】解： ． 【题型 6：分式的化简求值】 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，． 20．先化简，再求值，从，，2这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【详解】解： ， ， ， ∴当时，原式． 21．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式= = = 把代入，得原式=． 22．先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．先根据分式混合运算法则进行化简，再代入数值进行计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【题型 7：分式方程的求解】 23．解方程： 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 24．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键思想是去分母，把分式方程转化为整式方程，求出解后再代入最简公分母检验是否增根． （1）首先把方程两边同乘，化为一元一次方程，可得：，解一元一次方程求出的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根； （2）首先把方程两边同乘，化为整式方程，可得：，解整式方程求出的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘， 可得：，    去括号可得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解； （2）解：， 方程两边同乘， 可得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解． 25．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】（1）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根； （2）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根． 【详解】（1）解： 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程无解； （2）解： 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 26．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解； （2）去分母 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解． 【详解】（1）解： 方程两边同乘最简公分母，得： ， 解得： 当时，，因此是原方程的解． （2）解： 方程两边同乘最简公分母，得： ， 解得 当时，，因此是增根，原方程无解． 【题型 8：根据分式方程解的情况求值】 27．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据分式方程解为正数、分式有意义的条件确定x的限制，再解分式方程得到x关于m的表达式，代入限制即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为0， ∴且， 即且， ， 去分母得：， 整理得， ∵且， ∴且， 解得：且． 28．已知关于的分式方程解为负数，则的值为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于k的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定k的范围． 【详解】解：， ， 解得， ∵方程的解为负数， ∴， 解得， ∵， ∴， 即， 解得， ∵时，不可能取， ∴； 故选：A． 29．若关于的方程有增根．则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 【详解】解：方程两边都乘，得： ， ∵原方程有增根， ∴， ∴把代入整式方程，得． 故选：B． 30．若分式方程无解，则整数m的值为（    ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据方程无解求参数，解题的关键是掌握分式无解的情况． 对分式方程进行求解整理，然后根据分式无解的情况进行求参数即可． 【详解】解： 当时，方程无解，此时，； 当时，即时，方程无解，此时； 故选：D． 31．已知关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了解分式方程的知识，首先解分式方程，得到，根据解为非负数以及，即可确定的取值范围． 【详解】解：， 移项，得 ， 两边同时乘以，得 ， 解得 ， 根据题意，为非负数，即，解得 ， 又因为，即， 将其代入，得，解得， 所以，需同时满足且． 故选：D． 【题型 9：分式方程的实际应用】 32．袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量．现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻和，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么满足怎样的分式方程？（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两块试验田面积相等建立等量关系，先由产量之差分别表示两块试验田的单位产量，再利用面积=总产量÷单位产量列出分式方程． 【详解】解：设第一块试验田每公顷的产量为， ∵第一块试验田每公顷的产量比第二块少， ∴第二块试验田每公顷的产量为， 又∵两块试验田面积相同， ∴第一块试验田的面积为，第二块试验田的面积为， ∴可得方程． 33．为大力发展交通事业，广元市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省 15 分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，设走甲路线的平均速度为x千米/时，根据题意“甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省 15 分钟”列方程解题即可． 【详解】解：设走甲路线的平均速度为x千米/时，列方程为， 故选A． 34．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．设购买两种机器人的总花费为，购买A型机器人的数量为台，求与的函数关系，并写出的取值范围 (3)在（2）的条件下问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)500元，300元 (2) (3)购买A型机器人10台，B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【分析】（1）先设A型机器人模型单价是x元，B型机器人模型单价为，再根据购买两种机器人的数量相等列出分式方程，求出解并检验； （2）设购买A型机器人模型m台，购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费w元，再列出不等式，并求出解集，然后根据购买两种机器人的费用和等于W得出一次函数； （3）根据一次函数的性质讨论得出最小值即可． 【详解】（1）解：设A型机器人模型单价是x元，B型机器人模型单价为元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 所以A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元； （2）解：设购买A型机器人模型m台，购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，根据题意，得 ，且， 解得， ∴ ，其中； （3）解： ， ∵，且， ∴W随着m的增大而增大， ∴当时，W取最小值，此时， 所以购买A型机器人模型10台，购买B型机器人模型30台时花费最少，最少花费11200元． 35．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元． (1)这两次各购进这种衬衫多少件？ (2)若第一批衬衫的售价是200元/件．老板想让这两批衬衫售完后的总利润为1950元，则第二批衬衫每件售价多少元？ 【答案】(1)第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件 (2)170元 【分析】（1）设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫件，根据题意列分式方程，解方程即可； （2）设第二批衬衫每件售价为y元，根据售价、进价、利润、数量的关系列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫件， 依题意，得， 解得． 经检验，是所列分式方程的根，且符合题意， 所以第一次的进货量为（件）． 答：第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件； （2）解：（元/件）， （元/件）． 设第二批衬衫每件售价为y元， 依题意，得， 解得． 答：第二批衬衫每件售价为170元． 36．第一届“湘超”随着永州足球队的夺冠而结束．  其中株洲主场被誉为“魔鬼”主场，株洲足球队队员的拼搏精神与球迷的加油助威给我们留下了深刻的印象． 某体育用品商店在“湘超”比赛期间从厂家购买了A、B两种体育用品． 了解到的有关信息如下： 信息1：每个A种体育用品的进价比每个B种体育用品的进价多20元； 信息2：该体育用品商店用800元购进A种体育用品的数量是用320元购进B种体育用品的数量的一半． (1)求每个A种体育用品和每个B种体育用品的进价分别是多少元？ (2)经商谈，厂家给予该体育用品商店购买一个A种体育用品赠送一个B种体育用品的优惠，若体育用品商店需要购买B种体育用品的个数是A种体育用品的个数的2倍少6个，且该体育用品商店购买A，B两种体育用品的总费用不超过660元，求该体育用品商店最多可购买多少个A种体育用品？ 【答案】(1)每个A种体育用品的进价为25元，每个B种体育用品的进价为5元 (2)该体育用品商店最多可购买23个A种体育用品 【分析】（1）设每个B种体育用品的进价为元，则每个A种体育用品的进价为元，根据“用800元购进A种体育用品的数量是用320元购进B种体育用品的数量的一半”得到方程，即可解得结果； （2）设该体育用品商店购买个A种体育用品，则购买个B种体育用品，由于买一个 A 赠一个 B，实际只需支付 个 B 种用品的费用，且需满足总需求量 ，根据题意列不等式组，求解即可得到结果． 【详解】（1）解：设每个B种体育用品的进价为元，则每个A种体育用品的进价为元， 根据题意得， 解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意， 则(元/个)， 答：每个A种体育用品的进价为25元，每个B种体育用品的进价为5元； （2）解：设该体育用品商店购买个A种体育用品，则购买个B种体育用品， 根据题意得， 解得， 答：该体育用品商店最多可购买23个A种体育用品． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 分式期末高频必刷题 【题型 1：分式的定义与意义辨析】 【题型 2：分式的基本性质应用】 【题型 3：分式的乘除运算】 【题型 4：分式的加减运算】 【题型 5：分式的混合运算】 【题型 6：分式的化简求值】 【题型 7：分式方程的求解】 【题型 8：根据分式方程解的情况求值】 【题型 9：分式方程的实际应用】 【题型 1：分式的定义与意义辨析】 1．下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．若分式的值存在，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若分式的值为零，则______． 【题型 2：分式的基本性质应用】 4．根据分式的基本性质，下列变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果分式中的都扩大为原来的2倍，那么所得分式的值（） A．缩小为原来的倍 B．扩大为原来的2倍 C．不变 D．不确定 6．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 7．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【题型 3：分式的乘除运算】 8．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 9．计算______． 10．计算： (1)； (2)． 【题型 4：分式的加减运算】 11．化简的结果是（    ） A． B． C． D．3 12．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 13．计算的结果是_____． 14．化简： _____． 【题型 5：分式的混合运算】 15．计算： 16．化简：． 17．化简：． 18．化简：． 【题型 6：分式的化简求值】 19．先化简，再求值：，其中． 20．先化简，再求值，从，，2这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 21．先化简，再求值：，其中． 22．先化简，再求值：，其中． 【题型 7：分式方程的求解】 23．解方程： 24．解下列方程： (1)； (2)． 25．解方程： (1)； (2)． 26．解方程 (1)； (2)． 【题型 8：根据分式方程解的情况求值】 27．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 28．已知关于的分式方程解为负数，则的值为（    ） A． B． C．且 D．且 29．若关于的方程有增根．则的值是（    ）． A． B． C． D． 30．若分式方程无解，则整数m的值为（    ） A． B．1 C． D．或1 31．已知关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【题型 9：分式方程的实际应用】 32．袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量．现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻和，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么满足怎样的分式方程？（     ） A． B． C． D． 33．为大力发展交通事业，广元市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省 15 分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 34．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．设购买两种机器人的总花费为，购买A型机器人的数量为台，求与的函数关系，并写出的取值范围 (3)在（2）的条件下问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 35．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元． (1)这两次各购进这种衬衫多少件？ (2)若第一批衬衫的售价是200元/件．老板想让这两批衬衫售完后的总利润为1950元，则第二批衬衫每件售价多少元？ 36．第一届“湘超”随着永州足球队的夺冠而结束．  其中株洲主场被誉为“魔鬼”主场，株洲足球队队员的拼搏精神与球迷的加油助威给我们留下了深刻的印象． 某体育用品商店在“湘超”比赛期间从厂家购买了A、B两种体育用品． 了解到的有关信息如下： 信息1：每个A种体育用品的进价比每个B种体育用品的进价多20元； 信息2：该体育用品商店用800元购进A种体育用品的数量是用320元购进B种体育用品的数量的一半． (1)求每个A种体育用品和每个B种体育用品的进价分别是多少元？ (2)经商谈，厂家给予该体育用品商店购买一个A种体育用品赠送一个B种体育用品的优惠，若体育用品商店需要购买B种体育用品的个数是A种体育用品的个数的2倍少6个，且该体育用品商店购买A，B两种体育用品的总费用不超过660元，求该体育用品商店最多可购买多少个A种体育用品？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $