4.2.2 证明，举反例 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形中命题的证明与举反例，通过“判一判”互动问题导入，先引导学生用反例判断假命题，再过渡到证明的基本步骤，最后学习反证法，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学思维中的推理意识为核心，结合具体实例如用反证法证明“三角形内角至少有一个≥60°”，通过归纳总结证明与反证法步骤，培养学生逻辑推理与数学语言表达能力。例题和考点专练贴近中考，教师可直接用于教学，学生能提升解题与探究能力。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 4.2.2 证明，举反例 第4章 三角形 湘教版数学八年级下册4.2.2 证明、举反例同步讲义与练习 本节核心考点：掌握几何证明的定义、规范步骤与书写格式，熟练运用公理、定理进行简单推理证明；掌握举反例的方法判定假命题，是几何逻辑推理的核心入门、期末考试高频考点。 一、核心知识点精讲 1. 证明的定义 从一个命题的条件出发，通过一步步有理有据的推理，证实命题的结论成立，这个过程叫做证明。 简单理解：证明就是讲道理、推过程，验证真命题的正确性。 2. 证明的依据（只能用这三类） 推理过程中，每一步的理由必须是以下三者之一，严禁凭空臆造结论： ① 已知条件（题目给出的信息）； ② 定义、公理（公认正确、无需证明）； ③ 已经证明的定理（可直接作为推理依据）。 3. 几何证明标准书写步骤（必考格式） 标准三步格式，考试严格按此书写，缺一扣分： 第一步：已知：抄写题目给出的已知条件； 第二步：求证：写出需要证明的结论； 第三步：证明：完整推理过程，每一步式子后标注推理依据。 4. 证明的核心逻辑 由因导果：从已知条件（因），一步步推导，最终得到求证结论（果）。 推理原则：步步有据、逻辑清晰、书写规范、不跳步。 5. 举反例（判定假命题唯一方法） 适用场景：用来证明一个命题是假命题。 核心要求：举出一个满足命题条件，但不满足命题结论的例子，即可推翻整个命题。 关键口诀：条件全满足，结论不成立，就是有效反例。 注意：真命题无法举反例，只能推理证明。 6. 真命题与假命题判定总结 ① 真命题：必须通过严谨推理证明成立； ② 假命题：只需一个有效反例即可推翻。 7. 本节高频基础定理（证明常用） ① 对顶角相等； ② 三角形内角和为180°； ③ 直角三角形两锐角互余； ④ 三角形外角等于不相邻两内角和； ⑤ 两点之间，线段最短。 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列关于几何证明的说法正确的是（） A. 证明可以凭空得出结论 B. 每一步推理都要有依据 C. 假命题也可以证明成立 D. 证明不需要写推理理由 2. 判定一个命题是假命题的方法是（） A. 推理证明 B. 举反例 C. 目测判断 D. 经验判断 3. 下列可以作为推理依据的是（） A. 个人猜想 B. 定义、定理、已知条件 C. 模糊结论 D. 主观判断 4. 能证明命题“若a为正数，则a的倒数小于a”是假命题的反例是（） A. a=2 B. a=1 C. a=0.5 D. a=3 5. 证明几何命题的正确步骤是（） A. 求证→已知→证明 B. 已知→求证→证明 C. 证明→已知→求证 D. 已知→证明→求证 6. 下列命题中，适合用举反例判定为假命题的是（） A. 对顶角相等 B. 三角形内角和为180° C. 相等的角是对顶角 D. 两点之间线段最短 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 几何证明的三大依据：已知条件、________、________。 8. 证明假命题的唯一方法是________。 9. 证明命题必须________，每一步推理都要有依据，不能跳步。 10. 反例的要求：满足命题的________，不满足命题的________。 11. 真命题需要通过________验证成立，无法用反例推翻。 12. 完整的几何证明格式包括已知、求证、________三部分。 四、解答题（共52分） 13.（16分）举反例证明下列命题是假命题： （1）如果两个角是锐角，那么这两个角互余； （2）若a²＞b²，则a＞b。 14.（18分）基础几何证明（规范书写）： 已知：如图，直线AB、CD相交于点O，求证：∠AOC=∠BOD（对顶角相等）。 15.（18分）三角形角度证明： 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，求证：∠A+∠B=90°。 五、参考答案与详细解析 一、选择题 1.B（几何证明步步有据，不能凭空推理、省略依据）； 2.B（举反例是判定假命题的唯一方法）； 3.B（推理依据仅限已知、定义、公理、定理）； 4.C（a=0.5是正数，倒数为2，2＞0.5，满足条件、不满足结论，是有效反例）； 5.B（标准格式：已知→求证→证明）； 6.C（相等的角不一定是对顶角，可举反例判定为假命题，其余均为真命题）。 二、填空题 7. 公理；定理 8. 举反例 9. 严谨推理 10. 条件；结论 11. 推理证明 12. 证明 三、解答题 13. 解： （1）反例：∠1=30°，∠2=40°，两个角均为锐角，满足命题条件；但∠1+∠2=70°≠90°，不满足互余结论，故此命题为假命题。 （2）反例：a=-5，b=3，此时a²=25，b²=9，满足a²＞b²；但a=-5＜b=3，不满足a＞b，故此命题为假命题。 14. 证明： 已知：直线AB、CD相交于点O。 求证：∠AOC=∠BOD。 证明：∵∠AOC+∠AOD=180°（平角的定义）， ∠BOD+∠AOD=180°（平角的定义）， ∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）。 15. 证明： 已知：在△ABC中，∠C=90°。 求证：∠A+∠B=90°。 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）， 又∵∠C=90°（已知）， ∴∠A+∠B=180°-90°=90°（等式的性质）。 即直角三角形的两个锐角互余。 本节易错必记 1. 证明题严禁跳步、无依据推理，每一步必须标注对应理由； 2. 反例必须有效合规：满足条件、推翻结论，无效反例不得分； 3. 真命题只能证明、不能举反例，假命题只能举反例、无需复杂证明； 4. 严格遵守“已知-求证-证明”标准格式，格式错误直接扣分； 5. 推理依据只能用已知、定义、公理、定理，不可主观臆造。 学习目标 1.能判断命题的真假并会对假命题举反例． 2.了解证明的基本步骤和书写格式； 3.掌握反证法证明的基本步骤和格式. 学习目标 举反例 1 如：0 的绝对值是 0，不是正数. 1. 有理数的绝对值是正数. 假命题 判一判：下列命题是真命题还是假命题？ 2. 如果 | a | = | b |，那么 a = b. 如： a = -1，b = 1， | a | = | b |，但 a≠b. 假命题 例1 命题“如果 ab = 0，那么 a = 0”是真命题还是假命题？ 解：1×0 = 0，但是 1≠0， 因此“如果 ab = 0，那么 a = 0”是假命题. 一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 探究1：如何判断一个命题是假命题呢？ 知识要点 做一做 用举反例的方法说明下列命题是假命题. (1) 若 a² = b²，则 a = b； (2) 一个角的余角大于这个角； (3) 若 a，b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b |； (4) 如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角. 解：(1) (2)2 = (-2)2 = 4，但是 2≠-2， 因此“若 a² = b²，则 a = b”是假命题. (2) 一个角是 60°，它的余角是 30°，但是 30°＜60°， 因此“一个角的余角大于这个角”是假命题. (3) 若 a，b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b |； (4) 如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角. (3) |a+b| = |1+(-1)| = |0| = 0，|a| + |b| = |1|+|-1| = 1+1 = 2， 但是 0≠2，因此“若a，b是有理数，则 |a+b| = |a|+|b|”是假命题. (4) 在一个等腰三角形中，两个底角∠A 和∠B相等，比如等腰三角形的两个底角都为 50°，但这两个角并不是对顶角.因此“如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角”是假命题. 2 证明 探究2：如何判断一个命题是真命题呢? 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明. 证实其他命 题的正确性 推 理 推理的过程叫证明 基本事实或定义 一些条件 + 真命题证明的一般过程： 归纳总结 例2 证明：如果实数 a≠0 或实数 b≠0， 那么 a²+b²≠0. 证明：若a≠0，则 a² 为正数. 又 b² 为正数或 0，从而 a² + b² 是正数， 因此 a²+b²≠0. 同理可得，若b≠0，则 a²+b²≠0. 例3 证明：△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°. 分析：“至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”，因而应分三种情况进行证明，我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设，从而得出所要证明的结论. 3 反证法 证明：假设△ABC 的三个内角中没有一个角大于或等于 60°， 则∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°， 从而∠A +∠B +∠C＜60° + 60° + 60°＝180°. 这与“三角形的内角和等于 180°”矛盾， 故假设不成立. 因此，△ABC 的三个内角中至少有一个角大于或等于 60°. 像上例这样，当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确，这种证明方法叫作反证法. 反证法基本步骤： (1) 假设命题不成立；(2) 导出矛盾；(3) 肯定结论. 归纳总结 应用反证法的情形： (1) 直接证明困难； (2) 需分成很多类进行讨论； (3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 的一类命题； (4) 结论为“唯一”类命题. 用反证法证明时，导出矛盾的几种可能： （1）与原命题的条件矛盾； （3）与定义、公理、定理、性质矛盾； （2）与假设矛盾; （4）与客观事实矛盾. 1. 能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 15 2.判断下列各命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举一个反例． (1)若a2>1，则a>1； 【解】假命题．当a＝－2时，满足a2＞1，但a＜1(举反例不唯一)． 考试考法 (2)锐角小于它的余角； (3)如果AB＝2BC，那么点C是AB的中点． 【解】假命题.45°的余角为45°，但45°＝45°(举反例不唯一)． 返回 【解】假命题．当点C在AB的延长线上，且AB＝2BC时，点C不是AB的中点(举反例不唯一)． 考试考法 3．完成下面的推理填空： 已知：如图，E，F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G. 求证：AB∥CD. 证明：因为AF⊥CE(已知)， 所以∠CGF＝90°(垂直的定义)． 因为∠1＝∠D(已知)， 所以______∥______(______________________________)， AF DE 同位角相等，两直线平行 考试考法 18 返回 所以∠4＝∠CGF(__________________________)， 所以∠4＝90°. 又因为∠2＋∠3＋∠4＝180°， 所以∠2＋∠3＝________°. 又因为∠2与∠C互余(已知)， 所以∠C＝∠3(同角的余角相等)， 所以AB∥CD(____________________________)． 两直线平行，同位角相等 90 内错角相等，两直线平行 考试考法 19 返回 4．用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是(　　) A．三角形中最少有一个角是直角或钝角 B．三角形中没有一个角是直角或钝角 C．三个角全是直角或钝角 D．三角形中有两个(或三个)角是直角或钝角 D 考试考法 20 5.用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和. 如图，已知是的一个外角.求证： . 考试考法 21 【证明】假设.在 中， ,所以 . 所以 ,这与“邻 补角互补”相矛盾，所以假设不成立.所以原命题成立，即 . 返回 考试考法 22 返回 6．[北京市中考]能说明命题“若a2>4b2，则a>2b”是假命题的一组数a，b的值为a＝________，b＝_________________. －3 1(答案不唯一) 考试考法 23 7. 【探究】在研究两条角平分线的位置关系时，我们会发现有些角平分线的位置关系比较特殊：邻补角的平分线_____________，一对对顶角的平分线______________________________．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线_____________，一对内错角的平分线_______________，一对同旁内角的平分线_______________； 互相垂直 共线(或在一条直线上) 互相平行 互相平行 互相垂直 考试考法 24 【论证】如图①，已知AB∥CD，GH分别与AB，CD交于点E，F，EM，FN分别平分∠GEB，∠EFD，则EM________FN，请证明这个结论的正确性； ∥ 考试考法 25 【应用】如图②，两条笔直的街道AB，CD相交于点O，街道OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，请应用“探究”中的结论说明街道EOF是笔直的． 因为OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，∠AOC与∠BOD是一对对顶角，所以根据“一对对顶角的平分线共线(或在一条直线上)”可得点E，O，F在同一条直线上，即街道EOF是笔直的． 返回 考试考法 真命题的证明 直接证明 反证法 反设结论 推理 导出矛盾 (画图)写出已知、求证 写出证明过程 证得结论 假命题的证明 举反例 课堂小结 证明：因为AB∥CD，所以∠GEB＝∠EFD. 因为EM，FN分别平分∠GEB，∠EFD， 所以∠GEM＝∠GEB，∠EFN＝∠EFD， 所以∠GEM＝∠EFN，所以EM∥FN. $