1.3 第2课时　利用完全平方公式分解因式 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“利用完全平方公式分解因式”，通过复习平方差公式因式分解题目导入，引导学生思考形如“a²±2ab+b²”的式子分解方法，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点在于通过归纳公式结构特征，结合“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”口诀强化记忆，例题从基础三项式到含负号、需提公因式、整体代换等层次递进，融入中考题和实际应用（如长方形面积计算），培养学生抽象能力、运算能力和应用意识。学生能深化对公式的理解与灵活运用，教师可借助系统的例题、练习及小结提升教学效率。

第1章　因式分解 1.3　公式法 第2课时　利用完全平方公式分解因式 1 情景导入 1．分解因式： (1)x2－4y2； (2)3x2－3y2； (3)x4－1； (4)(x＋3y)2－(x－3y)2. 解：(1)原式＝(x＋2y)(x－2y)； (2)原式＝3(x＋y)(x－y)； 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 2 (3)原式＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)； (4)原式＝(x＋3y＋x－3y)(x＋3y－x＋3y) ＝12xy. 2．根据学习用平方差公式因式分解的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2，a2－2ab＋b2”的式子因式分解吗？ 4 自学互研 知识模块一　用完全平方公式因式分解的多项式 探 究 完全平方公式1：(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2； 完全平方公式2：(x－y)2＝x2－2xy＋y2. 从右到左的变式为：x2＋2xy＋y2＝_______；x2－2xy＋y2＝__________． (x＋y)2 (x－y)2 例如：(x＋2)2＝x2＋4x＋4，则把多项式x2＋ 4x＋4因式分解是：x2＋4x＋4＝_________. (x＋2)2 这种方法就是利用完全平方公式进行因式分解． 归 纳 能运用完全平方公式因式分解的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍． 练 习 下列多项式能用完全平方公式因式分解的有 ( ) ①a2＋ab＋b2；②a2－a＋；③9a2－24ab＋ 4b2；④－a2＋8a－16. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 知识模块二　运用完全平方公式因式分解 例1 把多项式 9x2－6x＋1 因式分解： 分析：9x2 = (3x)2， 1 = 1²，2·3x·1 = 6x， 因此 9x2－6x＋1 符合完全平方式 2 右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式 2，就可把 9x2－6x＋1 因式分解. 探 究 解： 9x2－6x＋1 = (3x－1)2. = (3x)2－2 · 3x · 1 + 12 与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全平方公式分解因式？ 2 x y + y2 ± = (x ± y)² x2 首2 + 尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 议一议 例2 把下列多项式因式分解： (1) －4x2＋12xy－9y2； 解：(1) －4x2＋12xy－9y2 ＝－(4x²－12xy＋9y²) 分析：(1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(4x2－12xy＋9y2)，然后再利用公式因式分解. ＝－[(2x)²－2·2x·3y＋(3y)²] ＝－(2x－3y)². (2) x5＋2x3y＋xy2. (2) x5＋2x3y＋xy2 ＝x(x4＋2x²y＋y²) 分析：(2) 中有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解； ＝x[(x²)²＋2·x²·y＋y²] ＝x(x²＋y)². 例3 把多项式 x4－2x2＋1 因式分解. 解： x4－2x2＋1 ＝(x²)²－2·x²·1＋1² 因式分解时，必须进行到每一个因式都不能分解为止. ＝(x²－1)² ＝[(x＋1)(x－1)]² ＝(x＋1)²(x－1)². 14 做一做 可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y)²－4(x＋y)＋4 因式分解吗？试一试. 分析：将 x＋y 看成一个整体，如 x＋y = m，则原式化为 m2 - 4m + 4. 解：(x＋y)²－4(x＋y)＋4 ＝(x＋y)²－2·(x＋y)·2＋2² ＝(x＋y－2)². 练 习 分解因式： (1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4； 解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋22  (2)a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2. 解：原式＝[a－(b＋c)]2 ＝(x＋y－2)2； ＝(a－b－c)2. 利用完全平方公式因式分解 公式 a2±2ab＋b2 = (a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项； （2）其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负. 课堂小结 17 一、 选择题 1. 有下列多项式：① a2－a＋ ；② 16x2＋8x＋1；③ 4x2＋4x－1；④ m2x＋6mnx＋9n2x.其中，能利用完全平方式分解因式的为（　B　） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 2. 有下列因式分解：① x3＋2xy＋x＝x（x2＋2y）；② －a2＋a－ ＝－ （2a－1）2；③ x2－2x－8＝x（x－2）－8；④ －x2＋4xy－4y2＝－（x－2y）2.其中，正确的有（　B　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 多项式2x3－4x2＋2x因式分解的结果是（　A　） A. 2x（x－1）2 B. 2x（x＋1）2 C. x（2x－1）2 D. x（2x＋1）2 4. 若代数式x2＋mx＋16可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值是（　） A. 4 B. 8 C. 4或－4 D. 8或－8 5. 如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为（　D　） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 A D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题 6. （常州中考）因式分解：x2－4xy＋4y2＝ 　（x－2y）2　. 7. （绵阳中考）因式分解：2x2＋8x＋8＝ 　2（x＋2）2　. 8. （通辽中考）因式分解：3ax2－6axy＋3ay2＝ 　3a（x－y）2　. 9. （广元中考）因式分解：（a＋1）2－4a＝ 　（a－1）2　. （x－2y）2　 2（x＋2）2　 3a（x－y）2　 （a－1）2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题 10. 把下列多项式因式分解： （1） m2＋ mn＋n2； 解：原式＝ ＋2· m·n＋n2＝ （2） －3a3＋12a2b－12ab2； 解：原式＝－3a（a2－4ab＋4b2）＝－3a（a－2b）2 （3） 2（a－1）2－12（a－1）＋18； 解：原式＝2[（a－1）2－6（a－1）＋9]＝2[（a－1）－3]2＝2（a－4）2 （4） （x2＋2x）2＋2（x2＋2x）＋1； 解：原式＝（x2＋2x＋1）2＝（x＋1）4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （5） （x2＋y2）2－4x2y2； 解：原式＝（x2＋y2）2－（2xy）2＝（x2＋y2＋2xy）（x2＋y2－2xy）＝（x＋y）2（x－y）2 （6） 16a4－b2（8a2－b2）. 解：原式＝16a4－8a2b2＋b4＝（4a2－b2）2＝（2a＋b）2（2a－b）2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 已知下列单项式：① 4m2；② 9b2a；③ 6a2b；④ 4n2；⑤ －4n2；⑥ －12ab；⑦ －8mn；⑧ a3.请在以上单项式中选取三个组成一个能够先用提公因式法，再用公式法分解因式的多项式，并将这个多项式因式分解（写两个不同的式子）. 解：若选①④⑦，则4m2＋4n2－8mn＝4（m2＋n2－2mn）＝4（m－n）2.若选②③⑧，则a3＋9b2a＋6a2b＝a（a2＋9b2＋6ab）＝a（a＋3b）2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 已知x＋y＝3，且（x＋2）（y＋2）＝12.求： （1） xy的值； 解：因为（x＋2）（y＋2）＝12，所以xy＋2（x＋y）＋4＝12.因为x＋y＝3，所以xy＋6＋4＝12.所以xy＝2 （2） x3y＋2x2y2＋xy3的值. 解：原式＝xy（x2＋2xy＋y2）＝xy（x＋y）2＝2×32＝18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 阅读材料： 对于形如x2－120x＋3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x－60）2.对于二次三项式x2－120x＋3456，就不能直接用完全平方公式因式分解了.此时常采用将x2－120x加上一项602，使它与x2－120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有x2－120x＋3456＝x2－2×60x＋602－602＋3456＝（x－60）2－144＝（x－60）2－122＝（x－60＋12）（x－60－12）＝（x－48）（x－72）. 根据以上材料，解决下面的问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （1） 请你按照上面的方法因式分解：x2－140x＋4756； 解：（1） x2－140x＋4756＝x2－2×70x＋702－702＋4756＝（x－70）2－144＝（x－70）2－122＝（x－70＋12）（x－70－12）＝（x－58）（x－82） （2） 已知一个长方形的面积为a2＋8ab＋12b2，宽为a＋2b，求这个长方形的长. 解：（2） 因为a2＋8ab＋12b2＝a2＋2·a·4b＋（4b）2－（4b）2＋12b2＝（a＋4b）2－4b2＝（a＋4b＋2b）（a＋4b－2b）＝（a＋6b）（a＋2b），所以这个长方形的长为a＋6b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $