5.4.2角平分线的性质定理的逆定理 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角平分线性质定理的逆定理，通过回顾性质定理引出逆命题，经探究证明形成“性质-逆命题-证明-应用”的学习支架，衔接前后知识脉络，帮助学生构建逻辑体系。 其亮点在于以推理思维为主线，通过作图操作、例题解析（如证明点在角平分线上）培养数学思维，用表格对比性质与判定强化数学语言表达，小结归纳三要素和应用条件。助力学生发展推理能力与应用意识，教师可借分层练习提升教学效率。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 5.4.2角平分线的性质定理的逆定理 第5章 直角三角形 5.4.2 角平分线的性质定理的逆定理 练习题 核心知识点：角平分线性质定理的逆定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。几何语言：若点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN，则OP平分∠AOB。本定理用于判定角平分线，与性质定理互为互逆定理：性质是“知平分，得等距”，逆定理是“知等距，证平分”，是几何证明、角度判定、点的位置判断的重要依据。 一、基础填空题 1. 在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的________上。 2. 点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=6cm，PN=6cm，则OP________∠AOB。 3. 三角形内到三角形三边距离都相等的点，是三角形三条________的交点。 二、单项选择题 4. 能判定一条射线为角平分线的条件是（） A. 射线在角内部 B. 射线上任意一点到角两边距离相等 C. 射线经过角顶点 D. 以上都不对 5. 已知点P在△ABC内部，且P到AB、BC两边的距离相等，则点P一定在（） A. AC边上 B. ∠ABC的平分线上 C. AB的中垂线上 D. BC的中垂线上 三、基础解答证明题 6. 已知：点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE。求证：OP平分∠AOB。 7. 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF。求证：AD平分∠BAC。 四、综合应用题 8. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB⊥AB，CD⊥AD，求证：点C在∠BAD的平分线上。 参考答案与解析 1. 平分线 解析：直接考查角平分线逆定理的文字定义。 2. 平分 解析：点在角内部，到角两边垂线段相等，根据逆定理可得该点与顶点的连线平分这个角。 3. 角平分线 解析：三角形三条角平分线交于一点（内心），内心到三边距离相等。 4. B 解析：逆定理核心条件：角内部、点到两边距离相等，即可判定为角平分线。仅有顶点、在角内无法判定。 5. B 解析：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，因此点P在∠ABC的平分线上。 6. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），∴∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB。 7. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，点D在∠BAC内部，根据角平分线的逆定理，可得AD平分∠BAC。得证。 8. 证明：∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠ABC=∠ADC=90°。在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB=AD，AC=AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴CB=CD。又∵CB⊥AB，CD⊥AD，点C在∠BAD内部，根据逆定理，点C在∠BAD的平分线上。得证。 练习小结：逆定理使用三要素：①点在角的内部；②点到角两边垂直；③垂线段相等。区分正反定理：性质定理用于“已知平分，证边等”，逆定理用于“已知边等，证平分”，考试高频结合全等三角形综合考查。 学习目标 1.理解角平分线性质定理的逆定理.(难点） 2.掌握角平分线性质定理的逆定理的证明方法并应用其解题. 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上. 学习目标 P 到 OA 的距离 P 到 OB 的距离 角平分线上的任意一点 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 1. 叙述角平分线的性质定理. 2.利用下图来解释说明一下角平分线的性质定理. 可得 PD = PE A O B P D E C 3. 角平分线的性质定理： 逆命题： 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 那么这个命题的逆命题是什么，它是真命题吗？ 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质定理的逆定理 探究：刚才我们通过角平分线的性质定理得到了它的逆命题： 这个新命题是真命题吗？如何判断这个命题的真假？ 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 1 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 作射线 OP， ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， B A D O P E ∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO = ∠PEO = 90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL). ∴∠AOP = ∠BOP (全等三角形的对应角相等). 角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 要点归纳 （1）位置关系：点在角的内部 （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. A O B P D E C 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE. ∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上. 典例精析 例1 如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求证： (1) 点 B 在 ∠ADC 的平分线上; (2) BD 平分∠ABC. 证明 (1) 在 △ABC 中，因为∠1=∠ 2， 所以 BA = BC.又 BA⊥AD，BC⊥CD, 所以点 B 在∠ADC的平分线上， (2)在 Rt∠BAD 和 Rt∠BCD 中， 所以 Rt△BAD ≌ Rt∠BCD（斜边、直角边) 因此∠ABD＝∠CBD,从而 BD 平分∠ABC. BA = BC， BD = BD. 如图，在△ABC中，D，E，F 分别是 BC，AB，AC 边上的点，若 BE = CF，S△BDE=S△CDF，则点 D 在∠BAC的平分线上吗? 说一说 由于S△BDE=S△CDF，BE = CF，所以点 D 到 BE，CF 的距离相等，因而点 D 在 ∠BAC 的平分线上. 如图，已知 EF⊥CD 于点 E ，EF⊥AB 于点 F ，MN ⊥ AC 于点 N ，M 是 EF 的中点.需要添加一个什么条件，就可使 CM ，AM 分别为∠ACD 和 ∠CAB 的平分线呢? 思考 添加条件 MN ＝ ME 即可. 因为 ME⊥CD，MN⊥AC，MN = ME， 所以点 M 在∠ACD 的平分线上， 即 CM 是∠ACD 的平分线. 又 M 是 EF 的中点，则 MF = ME = MN. 同理可证 AM 是∠CAB 的平分线. 反思 添加条件 MN＝MF 可以吗? 三角形的内角平分线 2 操作 任意作一个△ABC，在△ABC 内部找一点 P ，使其到三边的距离相等. A B C 思考 如何才能在△内部作出到三角形三边的距离都相等的点呢？ 可以先作出到两条边距离相等的点，再证明这个点到第三条边的距离相等. A B C 作图 ① 在△ABC 中分别作∠BAC与∠ABC 的平分线，它们交于点 P . ② 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为点 D，E，F. ③ 因为 AP 是∠BAC 的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，所以 PD = PE.因为 BP 是∠ABC的平分线，PD⊥AB，PF ⊥BC，所以 PD = PF. 故 PD = PE = PF. D E F P 想一想：点 P 在∠C 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点 P 在 ∠A 的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 例2 如图，在∠ABC 的外角∠CAD 的平分线上任取一点 P，作 PE⊥DB，PF 上 AC，垂足分别为点 E，F .试探索 BE+PF 与 PB 的大小关系. 解 ：因为 AP 是∠CAD 的平分线， 又 PE⊥DB，PF⊥AC, 所以 PE = PF . 在 △EBP 中, BE+PE > PB， 因此 BE+PF >PB. 典例精析 2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长 1.应用角平分线的判定与性质： 判定角平分线 距离问题 条件 要点归纳 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分 ∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 返回 1．在正方形网格中，∠ACB的位置如图所示，则到∠ACB两边距离相等的点是(　　) A．点M B．点N C．点P D．点Q A 考试考法 17 2. 如图，直线，， 表 示三条公路，现要建一个货物中转站，要 求它到三条公路的距离相等，则可供选择 的地址有( ) D A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 返回 考试考法 18 返回 3．[泰安市期中]如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠C＝60°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N.若OM＝ON，则∠BOM的度数是________． 75° 考试考法 19 4．如图，小明将两把完全相同的长方形直尺（单位： ） 如图放置在上，两把直尺的接触点为，边 与其中 一把直尺边缘的交点为，点,在这把直尺上的刻度读数 分别是 和，则 的长度是______. 考试考法 20 【点拨】如图,过点作 ，垂足 为 .因为是两把完全相同的长方形直尺， 所以.易知，所以 是的平分线,所以 . 因为点,在这把直尺上的刻度读数分别是和 ，所 以 . 由题知，所以，所以 ， 所以 . 返回 考试考法 21 5．如图①，把△ABC剪成三部分，将边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l，如图②所示．在△ABC中，若∠BOC＝115°，则∠BAC的度数为________． 50° 考试考法 22 返回 【点拨】如图，过点O，O′，O″分别作OD⊥AB于D，O′E⊥BC于E，O″F⊥CA′于F.因为直线MN∥l，所以OD＝O′E＝O″F，所以点O为△ABC三条内角平分线的交点，所以∠ABC＋∠ACB＝2(∠OBC＋∠OCB)＝2(180°－∠BOC)＝2(180°－115°)＝130°，所以∠BAC＝50°. 考试考法 6. 如图，△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，过 点P作PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E，G，F，若AB＝8，AC＝6，BC＝7，则AE＝______． 3.5 考试考法 24 返回 【点拨】因为△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，且PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，所以PE＝PF，PF＝PG.所以PE＝PG.在Rt△BEP和Rt△BFP中，PE＝PF，BP＝BP，所以Rt△BEP≌Rt△BFP，所以BE＝BF， 同理得CF＝CG，AE＝AG.设AE＝x(x＞0)，则AE＝AG＝x，因为AB＝8，AC＝6，所以BF＝BE＝8－x，CF＝CG＝6－x.因为BC＝BF＋CF＝7，所以8－x＋6－x＝7，解得x＝3.5，所以AE＝3.5. 考试考法 7．如图，OM，ON是两条公路，A，B两处是两个居民小区，现要在两条公路之间的空地处建活动中心P，使得活动中心P到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何利用尺规作图确定活动中心P的位置？(不写作法，保留作图痕迹) 【解】如图． 返回 考试考法 26 8. [宣城市自主招生]如图，四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线恰相交于一点P(A，P，C三点不共线)，记△APD，△APB，△BPC，△DPC的面积分别为S1，S2，S3，S4，则有(　　) A．S1＋S3＝S2＋S4 B．S1＋S2＝S3＋S4 C．S1＋S4＝S2＋S3 D．S1＝S3 A 考试考法 27 9. 如图，是 的平 分线上一点，于点， 是线 段上一点.已知，， 为 上一动点，若满足，则 的 长度为______. 3或7 考试考法 28 角平分线的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的内角平分线相交于内部一点 课堂小结 $