精品解析：2026年山东日照市东港区曲阜师范大学附属实验学校九年级第三次阶段考试数学试卷

2026年山东省日照市东港区曲阜师范大学附属实验学校 九年级三模考试数学试卷 一、单选题：每小题3分，共30分． 1. 年是农历丙午马年，的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏．假设A、B、C三位同学参与投壶游戏，且他们每次投壶时，投中与不投中是等可能的且互不影响．若A、B、C各投壶1次，则恰好三人均投中的概率为（   ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？下列说法正确的是（ ） A. 设有x辆车，则可列方程为 B. 设有y人，则可列方程为 C. 设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D. 设有x辆车，有y人，则可列方程组为 8. 如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，，三点均在反比例函数的图象上，若为正数，则t的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，正方形的边长为，点在边上，，点在边上，．将正方形截去一个角后得到一个五边形，点在线段上运动（点可与点，点重合），作矩形，其中，分别在边，上．有下列结论： ①当时，； ②矩形面积的最大值为； ③有两个不同的值满足矩形的面积为． 其中，正确结论的个数有（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题3分，共15分． 11. 因式分解：________． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____________． 14. 将形状、大小完全相同的小圆点“．”按如图所示的规律拼成图案，其中第1个图案中有6个小圆点，第2个图案中有11个小圆点，第3个图案中有16个小圆点，…，按此规律排列下去，则第133个图案中小圆点的个数为_______． 15. 如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 三、解答题：共75分 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，再从、、0、1、2中选择一个合适的值代入求值． 17. 如图，在中，连接对角线，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点H； ②分别以点A和H为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F；连接、． （1）判断四边形的形状，并证明； （2）若，，求线段的长． 18. 某服装店老板到厂家选购、两种品牌的羽绒服，品牌羽绒服每件进价比品牌羽绒服每件进价多200元，若用10000元购进种羽绒服的数量是用7000元购进种羽绒服数量的2倍． （1）求、两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？ （2）若品牌羽绒服每件售价为800元，B品牌羽绒服每件售价为1200元，服装店老板决定一次性购进、两种品牌羽绒服共80件，在这批羽绒服全部出售后所获利不低于28000元，则最少购进品牌羽绒服多少件？ 19. 某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．20名男生的臂展与身高数据如表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 166 169 169 171 172 173 173 173 174 174 臂展 161 162 164 166 164 165 167 169 169 170 编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 身高 175 176 177 177 178 179 180 180 181 183 臂展 169 167 173 173 179 170 177 174 176 185 b．20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 身高 175 173 臂展 170 169 c．20名男生臂展的频数分布直方图如图①（将臂展数据分成5组：，） d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线． 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值：______，______； （2）该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于的男生人数； （3）图②中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，估计身高为男生的臂展长度． 20. 如图1，为洗手盆上常装有的一种抬启式水龙头，当完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，点，，在一条直线上，，其中，，． （1）求的长； （2）如果出水口与点间的距离为，出水管与的夹角，求出水管的长．（参考数据：，，，）．（结果保留整数） 21. 如图，是半的直径，点在半上，，，连接、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 数学活动课上，某小组将一个含的三角尺和一个正方形纸板如图1摆放，若．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接并延长，延长线相交于点交于点． （1）求的关系是什么？ 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． （2）如图3，连接，点是的中点，连接，，求与的数量关系． 【尝试应用】 （3）如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，，且函数的最小值为． （1）求该二次函数的表达式； （2）直线与该二次函数图象交于不同的两点，，记，求的取值范围； （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，平移后的函数的最大值与最小值的差为3，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省日照市东港区曲阜师范大学附属实验学校 九年级三模考试数学试卷 一、单选题：每小题3分，共30分． 1. 年是农历丙午马年，的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵乘积为的两个数互为倒数，且， ∴的倒数是． 2. 我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示．根据题意利用科学记数法定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵， 故选：B． 3. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，单项式乘多项式，积的乘方，完全平方公式的运算法则进行判断即可． 【详解】解：对选项A，，A错误； 对选项B， ，运算正确，符合题意； 对选项C，，C错误； 对选项D，，D错误． 5. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 6. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏．假设A、B、C三位同学参与投壶游戏，且他们每次投壶时，投中与不投中是等可能的且互不影响．若A、B、C各投壶1次，则恰好三人均投中的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出树状图，根据结果计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中恰好三人均投中的结果有1种， ∴恰好三人均投中的概率． 7. 《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？下列说法正确的是（ ） A. 设有x辆车，则可列方程为 B. 设有y人，则可列方程为 C. 设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D. 设有x辆车，有y人，则可列方程组为 【答案】C 【解析】 【分析】根据两种乘车情况，梳理总人数与车辆数的等量关系，即可判断各选项对错. 【详解】解：设有辆车，人， ∵两人坐一辆车，九人步行，总人数为坐车人数加步行人数， ∴， ∵三人坐一辆车，空出辆车，实际用车为辆，总人数等于实际用车承载的人数， ∴， 因此可列方程组为． 8. 如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由主视图和左视图可以得到该物体为圆锥体且圆锥体的高为，再由俯视图得到圆锥体的底面圆的周长为，由勾股定理求得圆锥的母线长，进而即可求解． 【详解】提示：该物体为圆锥，底面周长为， 母线长为， 侧面展开图的面积为． 9. 已知点，，三点均在反比例函数的图象上，若为正数，则t的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将点代入反比例函数，求出，确定函数解析式．把点代入解析式，算出．根据在函数上，得，结合条件，列出不等式．然后分、两种情况解不等式即可解答． 【详解】解：∵点在上， ∴， ∴反比例函数为． ∵点在上， ∴， ∵点在上， ∴． ∵， ∴ 即， 当时：不等式两边同乘，不等号方向不变，得， ∴； 当时：不等式两边同乘，不等号方向改变，得， ∴，该不等式恒成立，即都满足条件． 综上，的取值范围是或． 10. 如图，正方形的边长为，点在边上，，点在边上，．将正方形截去一个角后得到一个五边形，点在线段上运动（点可与点，点重合），作矩形，其中，分别在边，上．有下列结论： ①当时，； ②矩形面积的最大值为； ③有两个不同的值满足矩形的面积为． 其中，正确结论的个数有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，根据锐角三角函数的定义可以求出，，从而可知；设，把矩形的面积用含的代数式表示出来，根据二次函数的性质求出矩形面积最大值；当矩形面积为时，可以得到关于的一元二次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，过点作， ，， ， ， 正方形的边长为， ， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论①正确； 设，由①可知， 则，， 矩形的面积为， 整理得：， ，且， 当时，矩形面积有最大值，最大值为， 故结论②正确； 当矩形面积为时， 可得：， 解得：，(舍去)， 只有一个值满足矩形的面积为， 故结论③错误． 综上所述，结论正确的个数有2个． 二、填空题：每小题3分，共15分． 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】利用零指数幂的底数不能为0，二次根式被开方数大于0，分母不能为0求解． 【详解】解：由零指数幂的底数不能为0可得：， 由二次根式被开方数大于等于0且分母不能为0可得：，解得， 故x的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查零指数幂、二次根式及分式有意义的条件，解题的关键是牢记：二次根式被开方数为非负数；分式的分母不为0；零指数幂的底数不能为0． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】且 【解析】 分析】根据且，计算即可． 【详解】∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的条件，熟练掌握根的判别式，写出相应不等式并求解是解题的关键． 14. 将形状、大小完全相同的小圆点“．”按如图所示的规律拼成图案，其中第1个图案中有6个小圆点，第2个图案中有11个小圆点，第3个图案中有16个小圆点，…，按此规律排列下去，则第133个图案中小圆点的个数为_______． 【答案】666 【解析】 【分析】观察前三个图案中小圆点数量的变化，发现每个图案比前一个增加5个小圆点，因此可得出第n个图案的小圆点的数量为，再将代入求解即可． 【详解】解：通过观察图案，第①个图案中“．”的个数为， 第②个图案中“．”的个数为， 第③个图案中“．”的个数为， ， ∴第n（n为正整数）个图案中“．”的个数为， ∴第133个图案中“．”的个数为． 15. 如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轨迹圆问题、中位线性质、三角形三边关系，熟练掌握这些性质是解此题的关键．由且绕点旋转，知点的轨迹为以为圆心、为半径的圆；取的中点，连接，利用三角形中位线定理得，再由勾股定理得，根据三角形三边关系，即可求出的最大值． 【详解】解：取的中点，连接， ，线段绕点旋转， 点的运动轨迹是以点为圆心、为半径的圆， 点是的中点， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 即点的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆， 在中，，，， 由勾股定理得：， 根据三角形三边关系：， 当且仅当三点共线，且点在的延长线上时，取得最大值， ． 三、解答题：共75分 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，再从、、0、1、2中选择一个合适的值代入求值． 【答案】（1） （2），当时，值为（或当时，值为，任选其一即可） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴，0， 当时，原式， 当时，原式． 17. 如图，在中，连接对角线，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点H； ②分别以点A和H为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F；连接、． （1）判断四边形的形状，并证明； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）四边形是菱形，见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由作图过程可知：平分，垂直平分AH，由角平分线的定义、垂直平分线的定义可得，进而证明四边形是平行四边形，再结合即可解答； （2）由平行四边形的性质可得，由可得．再证明，然后利用相似三角形的性质列比例式可得，最后利用菱形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：四边形AEHF是菱形，证明如下： 由作图过程可知：平分，垂直平分AH， 平分， ， 垂直平分AH， ，， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形AEHF是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ． ， ， ， ， ， ，解得：． ∵是菱形， ． 18. 某服装店老板到厂家选购、两种品牌的羽绒服，品牌羽绒服每件进价比品牌羽绒服每件进价多200元，若用10000元购进种羽绒服的数量是用7000元购进种羽绒服数量的2倍． （1）求、两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？ （2）若品牌羽绒服每件售价为800元，B品牌羽绒服每件售价为1200元，服装店老板决定一次性购进、两种品牌羽绒服共80件，在这批羽绒服全部出售后所获利不低于28000元，则最少购进品牌羽绒服多少件？ 【答案】（1）品牌羽绒服每件进价为500元，品牌羽绒服每件进价为700元；（2）最少购进品牌羽绒服20件． 【解析】 【分析】（1）设品牌羽绒服每件进价为元，则品牌羽绒服每件进价为元，根据数量＝总价÷单价，结合用10000元购进种羽绒服的数量是用7000元购进种羽绒服数量的2倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进品牌羽绒服件，则购进品牌羽绒服（80﹣y）件，利用总利润=每件利润×销售数量，结合这批羽绒服全部出售后所获利利不低于28000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设品牌羽绒服每件进价元，则品牌羽绒服每件进价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：品牌羽绒服每件进价为500元，品牌羽绒服每件进价为700元； （2）设购进品牌羽绒服件，则购进品牌羽绒服件， 依题意得：， 解得：． 答：最少购进品牌羽绒服20件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 19. 某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．20名男生的臂展与身高数据如表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 166 169 169 171 172 173 173 173 174 174 臂展 161 162 164 166 164 165 167 169 169 170 编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 身高 175 176 177 177 178 179 180 180 181 183 臂展 169 167 173 173 179 170 177 174 176 185 b．20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 身高 175 173 臂展 170 169 c．20名男生臂展的频数分布直方图如图①（将臂展数据分成5组：，） d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线． 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值：______，______； （2）该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于的男生人数； （3）图②中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，估计身高为男生的臂展长度． 【答案】（1）； （2）人 （3）身高为男生的臂展长度约为． 【解析】 【分析】（1）根据中位数与众数的含义可得答案； （2）用240乘以样本中臂展大于或等于的男生人数的占比即可得到答案； （3）把代入求出y的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由表格信息可得，把这20名男生的身高按照从矮到高的顺序排列，第10个数据和第11个数据分别为， ∴这20名男生的身高的中位数为，即， ∵这20名男生的臂展为的人数最多， ∴这20名男生臂展的众数为，即； 【小问2详解】 解：人， 答：估计其中臂展大于或等于的男生人数为108人； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴身高为男生的臂展长度约为． 20. 如图1，为洗手盆上常装有的一种抬启式水龙头，当完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，点，，在一条直线上，，其中，，． （1）求的长； （2）如果出水口与点间的距离为，出水管与的夹角，求出水管的长．（参考数据：，，，）．（结果保留整数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，交于点，证明矩形，然后选择适当的直角三角形求解即可； （2）延长、交于点，在中，求得，再解，求解即可． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，交于点， 在中， ， ， ， ， ， 又， 得平行四边形， 平行四边形是矩形， ，， ， 在中， ， ， ； 【小问2详解】 解：延长、交于点， ， ， ， 在中， ， ， 在中， ， 答：出水管的长为． 21. 如图，是半的直径，点在半上，，，连接、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接． ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用直径所对圆周角为直角、等腰三角形性质，结合已知角的关系，证明，从而证得是切线； （2）通过得到直角，结合角的等量关系证明三角形相似，设未知数表示边长，利用勾股定理列方程求解的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）图， ∵，是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的切线判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握圆的切线判定方法、相似三角形的性质并合理设参计算是解题的关键． 22. 数学活动课上，某小组将一个含的三角尺和一个正方形纸板如图1摆放，若．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接并延长，延长线相交于点交于点． （1）求的关系是什么？ 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． （2）如图3，连接，点是的中点，连接，，求与的数量关系． 【尝试应用】 （3）如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，则可得出结论； （2）证明是直角三角形，得出，则可得出结论； （3）由（2）知，，则点G的运动轨迹是以O为圆心，为半径的弧，连接，求出，，由弧长公式可得出答案． 【详解】解：． 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是含有的直角三角尺， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ （2），理由如下： 证明：∵是直角三角形，O是中点， ∴， 由（1）知， ∴是直角三角形， ∴， ∴．即． （3）由（2）知，， ∴点G的运动轨迹是以O为圆心，为半径的弧， ∵旋转角α从变化到， ∴此时点G的运动路线就是， 取中点H，连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的长度 即点G经过路线的长度为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，三角形的全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是熟练掌握以上知识． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，，且函数的最小值为． （1）求该二次函数的表达式； （2）直线与该二次函数图象交于不同的两点，，记，求的取值范围； （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，平移后的函数的最大值与最小值的差为3，请求出的值． 【答案】（1）二次函数的表达式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线的对称轴以及对称性求出，然后再根据顶点坐标求解即可； （2）联立直线与抛物线的表达式得到，则，，由，是方程不相等的两个根，得到，即可求解； （3）先求出平移后的函数为，此时对称轴是直线，函数图象开口向上，求出，再分类讨论，根据二次函数的图象与性质求解． 【小问1详解】 解：二次函数对称轴为直线， ∵点，在该函数图象上， ∴该函数的表达式为 ∴函数图象的顶点坐标为 ∵函数的最小值为 ，且 解得：或（舍去） ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：，是直线与该二次函数图象不同的两个交点 ，是方程 不相等的两个根 即，是方程不相等的两个根 ， ，在直线上 ，， 有两个不相等的根， 【小问3详解】 解： ∵二次函数的图象向右平移个单位长度， ∴平移后的函数为． ∴此时对称轴是直线，函数图象开口向上． ①当时，即， ∴当时，取最大值为 ：当时，取最小值为-3． 又∵最大值与最小值的差为3， ． 或（舍去） ②当时，即， 当时，取最大值为 ：当时，取最小值为-3． 又∵最大值与最小值的差为3， ． （舍去）或． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $