精品解析：2025年山东聊城阳谷县中考第三次模拟考试数学试题

二〇二五年初中学生学业水平模拟考试 数学试题（三） 本试卷满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷． 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，直尺中处对应数轴上的数与处对应的数轴上的数的和为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是，则此时观察楼顶的仰角度数是（ ） A. B. C. D. 3. 目前，纳米技术广泛应用于光学、医药、信息通讯等领域．纳米丝是一个广义上的概念，通常5微米以下的材料均可以称作纳米丝．已知1纳米是1米的十亿分之一，某种纳米丝的平均直径为25纳米，该数据用科学记数法可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 斗拱是中国古典建筑上重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A B. C. D. 7. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的外接圆，与相切于点B，连接并延长，交于点D．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，C；再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E；作射线，过点E分别作交于点G，于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，与y轴相切于点B，点A在函数（、）的图象上，点P是上的动点，连结，若半径为3，的最大值是8，则k的值为（ ） A 6 B. 12 C. 15 D. 24 非选择题 二、填空题（每小题3分，共6小题，满分18分） 11. 计算的结果是________． 12. 四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则________． 13. 某公司招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的满分均为100分．编号为①，②，③的三名应聘者的成绩如下： ① ② ③ 笔试成绩 85 92 90 面试成绩 90 85 90 根据该公司规定，笔试成绩和面试成绩分别按和的比例折合成综合成绩，那么这三名应聘者中第一名的成绩是________ 分 14. 如图，在扇形AOC中，半径OA＝5，，点B是弧AC上一点，OB平分∠AOC，点D，G在弧AC上，点E，F分别在半径OA和OC上；连接DG，DE，EF，GF，其中DG与OB交于点P，EF与OB交于点H，且四边形DEHP和PHFG都是正方形；以线段DG为直径作半圆，连接DH，GH，则图中阴影部分的面积为_________． 15. 如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是______． 16. 定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程的两根为，，所以是邻根方程．若关于的方程是邻根方程，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．） 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”可见，阅读对学生的成长有着深远意义．为了解同学们的课外阅读情况，小明从本校七年级学生中随机抽取了10名学生，对其平均每周课外阅读时间进行了调查，统计结果如下表： 学生编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 平均每周课外阅读时间（单位：） 60 90 75 40 160 90 150 160 110 150 请根据以上统计结果，解答下列问题： （1）抽取的10名学生平均每周课外阅读时间的中位数是_______． （2）小明在调查报告中写道：“根据统计结果，估计我校七、八、九年级1500名学生中，有一半学生平均每周课外阅读时间超过，”你同意小明的说法吗？请说明理由． （3）现将平均每周课外阅读时间不低于的学生评为优秀阅读者，小明准备从上表中获得优秀阅读者中随机选取两名同学进行经验交流，请用列表或画树状图的方法求被选中的两名同学的平均每周课外阅读时间都是的概率． 19. 如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点C，D，与反比例函数的图象相交于点． （1）求一次函数的表达式． （2）当x为何值时，？请直接写出x的取值范围． 20. 今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的，两种树苗，每捆种树苗比每捆种树苗多10棵，每捆种树苗和每捆种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵种树苗和每棵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍． （1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？ （2）如果购进的这批树苗共5500棵，种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进种树苗和种树苗各多少棵？并求出最低费用． 21. 如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，则当______时，四边形为菱形． 22. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 23. 综合与实践 问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示方式放置，当点A与点E重合，点F，H分别落在，边上时，点F，H恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与． 观察发现： （1）如图2，当时，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是_________；位置关系是__________．请说明理由． 探索猜想： （2）如图3，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 24. 综合与探究： 如图1，经过原点O的抛物线与x轴的另一个交点为A，直线l与抛物线交于A，B两点，已知点B的横坐标为1，点M为抛物线上一动点． （1）求出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式． （2）如图2，若点M是直线l上方的抛物线上的一个动点，直线交直线l于点C，设点M的横坐标为m，求的最大值． （3）如图3，连接，抛物线上是否存在一点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二五年初中学生学业水平模拟考试 数学试题（三） 本试卷满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷． 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，直尺中处对应的数轴上的数与处对应的数轴上的数的和为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数四则混合计算，先根据题意求出直尺上对应数轴上个单位长度，再分别求出直尺中处对应数和直尺中处对应的数，最后求和即可． 【详解】解：∵直尺中对应数轴上的0，对应数轴上的2， ∴直尺上对应数轴上个单位长度， ∴直尺中处对应的数轴上的数为，直尺中处对应的数轴上的数为， ∴直尺中处对应的数轴上的数与处对应的数轴上的数的和为， 故选：C． 2. 如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是，则此时观察楼顶的仰角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，解题关键是作出辅助线构造直角三角形求出的度数．过点作于点，根据直角三角形的性质可求的度数，再根据仰角的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 此时观察楼顶的仰角度数是． 故选：A． 3. 目前，纳米技术广泛应用于光学、医药、信息通讯等领域．纳米丝是一个广义上的概念，通常5微米以下的材料均可以称作纳米丝．已知1纳米是1米的十亿分之一，某种纳米丝的平均直径为25纳米，该数据用科学记数法可以表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】25纳米米 ． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂除法的运算法则求解A，根据合并同类项来求解B，根据同底数幂乘法的运算法则来求解C，根据幂的乘方和积的乘方来计算求解D． 【详解】解：A．，原选项错误，此项不符合题意； B．与不是同类项，不能合并，原选项错误，此项不符合题意； C．，原选项错误，此项不符合题意； D．，原选项正确，此项符合题意. 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方．理解相关运算法则是解答关键． 5. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 7. 把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别解出不等式组中每个不等式，再对比选项中数轴所表示的解的范围． 【详解】解：，，，； 对通分得， ， ， ； 故选：C． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组得解法，解题的关键是熟练掌握不等式性质． 8. 如图，为的外接圆，与相切于点B，连接并延长，交于点D．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而得到，进而得到，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点B， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键． 9. 如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，C；再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E；作射线，过点E分别作交于点G，于点F．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点H，由角平分线的性质可证，再证明，然后根据勾股定理求解解． 【详解】作于点H，由作法知平分， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图-作角的平分线，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 10. 如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，与y轴相切于点B，点A在函数（、）的图象上，点P是上的动点，连结，若半径为3，的最大值是8，则k的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】如图，当过圆心A时，取最大值8，连接，可得轴，，，利用勾股定理求出，得到点A坐标，进而可求k的值． 【详解】解：如图，当过圆心A时，取最大值8，连接， ∵与y轴相切于点B， ∴轴， ∵半径为3， ∴，， ∴， ∴， ∵点在函数（、）的图象上， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了点到圆的距离，切线的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出点A坐标是解题的关键． 非选择题 二、填空题（每小题3分，共6小题，满分18分） 11. 计算的结果是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：5． 12. 四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形的面积公式可知，平行四边形A'B'C'D'的底边边上的高等于的一半，据此可得∠为30°． 【详解】解：如图，过点作于点E． 设矩形的边长为a，长为b，长为c， 则，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形的不稳定性、矩形与平行四边形的面积公式、解直角三角形等相关知识，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 13. 某公司招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的满分均为100分．编号为①，②，③的三名应聘者的成绩如下： ① ② ③ 笔试成绩 85 92 90 面试成绩 90 85 90 根据该公司规定，笔试成绩和面试成绩分别按和的比例折合成综合成绩，那么这三名应聘者中第一名的成绩是________ 分 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别求出这三名应聘者的成绩，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，编号为①的应聘者的成绩为：， 编号为②的应聘者的成绩为：， 编号为③应聘者的成绩为：， 这三名应聘者中第一名的成绩是分， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数公式是解题关键． 14. 如图，在扇形AOC中，半径OA＝5，，点B是弧AC上一点，OB平分∠AOC，点D，G在弧AC上，点E，F分别在半径OA和OC上；连接DG，DE，EF，GF，其中DG与OB交于点P，EF与OB交于点H，且四边形DEHP和PHFG都是正方形；以线段DG为直径作半圆，连接DH，GH，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OG，先证明△HOF是等腰直角三角形，推出HG＝OF，证明Rt△DHG≌Rt△EOF推出图中阴影部分的面积即为以DG为直径的半圆的面积，据此求解即可． 【详解】连接OG， ∵四边形DEHP和PHFG都是正方形， ∴DG＝EF，∠DHG＝90°，PG＝PH＝HF＝DP＝EH， ∵∠AOC＝90°，OB平分∠AOC， ∴△HOF是等腰直角三角形， ∴OH＝HF＝PG＝PH， ∴HG＝OF， 在Rt△DHG和Rt△EOF中， ， ∴Rt△DHG≌Rt△EOF（HL）， ∴图中阴影部分的面积即为以DG为直径的半圆的面积， 设OH＝HP＝PG＝x，则OP＝2x， 在Rt△OPG中，OG2＝OP2+PG2， ∴52＝4x2+x2，解得x或（负值不合题意，舍去）， ∴S阴影π•（）2π． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形面积，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，正方形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 15. 如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证，再利用求出边长，从而求解即可． 【详解】解：∵折叠， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． 16. 定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程的两根为，，所以是邻根方程．若关于的方程是邻根方程，则______． 【答案】1或3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是求出的两个根，再根据邻根方程的定义列出方程，求出字母的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵关于的方程是邻根方程， ∴或， 解得，或3， 故答案为：1或3． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．） 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，有理数的混合运算及负整数指数幂，熟知运算法则是解题的关键． （1）先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幂，最后算加减即可； （2）先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”可见，阅读对学生的成长有着深远意义．为了解同学们的课外阅读情况，小明从本校七年级学生中随机抽取了10名学生，对其平均每周课外阅读时间进行了调查，统计结果如下表： 学生编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 平均每周课外阅读时间（单位：） 60 90 75 40 160 90 150 160 110 150 请根据以上统计结果，解答下列问题： （1）抽取的10名学生平均每周课外阅读时间的中位数是_______． （2）小明在调查报告中写道：“根据统计结果，估计我校七、八、九年级1500名学生中，有一半学生平均每周课外阅读时间超过，”你同意小明的说法吗？请说明理由． （3）现将平均每周课外阅读时间不低于的学生评为优秀阅读者，小明准备从上表中获得优秀阅读者中随机选取两名同学进行经验交流，请用列表或画树状图的方法求被选中的两名同学的平均每周课外阅读时间都是的概率． 【答案】（1）100 （2）不同意．理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先把所有的数从小到大排列，再根据中位数的定义，即可求解； （2）根据只是在七年级中随机抽取学生进行调查，样本不具备代表性，即可求解； （3）根据题意画出树状图，可得共有12种等可能出现的结果，其中被选中的两名同学的平均每周课外阅读时间都是的结果有2种，再根据概率公式，即可求解． 【小问1详解】 解：把这10名学生的每周课外阅读时间从小到大排列为40，60，75，90，90，110，150，150，160，160， 位于第5位和第6位的是90，110， ∴抽取的10名学生平均每周课外阅读时间的中位数是； 故答案为：100 【小问2详解】 解：不同意．理由如下： 小明只是在七年级中随机抽取学生进行调查，样本不具备代表性； 【小问3详解】 解：获得优秀阅读者的编号分别为⑤，⑦，⑧，⑩，根据题意画树状图如下： 共有12种等可能出现的结果，其中被选中的两名同学的平均每周课外阅读时间都是的结果有2种． 所以P（被选中的两名同学的平均每周课外阅读时间都是）． 答：被选中两名同学的平均每周课外阅读时间都是的概率为. 【点睛】本题主要考查了求中位数，样本的意义，求概率，熟练掌握求中位数，样本的意义，利用树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． 19. 如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点C，D，与反比例函数的图象相交于点． （1）求一次函数的表达式． （2）当x为何值时，？请直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将代入，求出的值，即得出反比例函数解析式，从而可求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）求出反比例函数图象在一次函数图象上方时，x的取值范围即可． 【小问1详解】 反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：． ∵点在反比例函数图象上， ∴， 解得：． ∴点． ∵一次函数的图象经过点， ∴ 解得 ∴一次函数的表达式为为； 【小问2详解】 根据图象可知当或时反比例函数图象在一次函数图象上方，即此时， ∴当或时． 【点睛】本题为一次函数与反比例函数的综合．掌握函数图象上的点满足其解析式是解题关键． 20. 今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的，两种树苗，每捆种树苗比每捆种树苗多10棵，每捆种树苗和每捆种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵种树苗和每棵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍． （1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？ （2）如果购进的这批树苗共5500棵，种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进种树苗和种树苗各多少棵？并求出最低费用． 【答案】（1）这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）购进种树苗3500棵，种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元． 【解析】 【分析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是元，分别表示出两种树苗的数量，根据“每捆种树苗比每捆种树苗多10棵”列方程即可求解； （2）设购进种树苗棵，这批树苗的费用为，得到w与t的关系式，根据题意得到t的取值范围，根据函数增减性即可求解． 【详解】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是元， 根据题意，得， 解之，得． 经检验知，是原分式方程的根，并符合题意． 答：这一批树苗平均每棵的价格是20元． （2）由（1）可知种树苗每棵价格为元，种树苗每棵价格为元， 设购进种树苗棵，这批树苗的费用为，则 ． ∵是的一次函数，，随着的增大而减小，， ∴当棵时，最小．此时，种树苗有棵，． 答：购进种树苗3500棵，种树苗2000棵，能使得购进这批树苗的费用最低为111000元． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数实际应用，不等式应用等问题，根据题意得到相关“数量关系”，根据数量关系得到方程或函数解析式是解题关键． 21. 如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，则当______时，四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，作图方法，推出，，进而得到，即可得证； （2）根据邻边相等的平行四边形为菱形，得到，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵矩形， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 在中，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 此时； 故答案为：． 22. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 【答案】点A到地面的距离的长约为27米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 设米． ， ， ， 解得， （米）； 答：点到地面的距离的长约为27米． 23. 综合与实践 问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动．阳光小组准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，当点A与点E重合，点F，H分别落在，边上时，点F，H恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为，连接与． 观察发现： （1）如图2，当时，小组成员发现与存在一定的关系，其数量关系是_________；位置关系是__________．请说明理由． 探索猜想： （2）如图3，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1） ①. ②. （2）依然成立，见解析 【解析】 【分析】（1）根据在直角三角形中，两条直角边对应边成比例可得，再由相似即可得与的数量关系，再延长根据即可得到与的位置关系． （2）根据两边对应成比例及其夹角相等可得，再根据相似三角形的性质可得与的数量关系和位置关系． 【小问1详解】 解：因为点F，H恰好为边，的中点，且，， 所以，， 又因为在和中， ，， 所以， 所以，， 延长交于点M，如图， 因为中，， 又因为， 所以， 所以在中，，即， 所以． 【小问2详解】 解：当时，且， 因为四边形和为矩形， 所以， 所以， 即， 由（1）知，，， ，， 所以， 所以， ，， 记与交于点P，与交于点N，如图， 因为，， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了图形的旋转，相似三角形的判定与性质，分别由直角三角形和普通三角形证明相似的方法，证明出是解决本题的关键． 24. 综合与探究： 如图1，经过原点O的抛物线与x轴的另一个交点为A，直线l与抛物线交于A，B两点，已知点B的横坐标为1，点M为抛物线上一动点． （1）求出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式． （2）如图2，若点M是直线l上方的抛物线上的一个动点，直线交直线l于点C，设点M的横坐标为m，求的最大值． （3）如图3，连接，抛物线上是否存在一点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）在中，令得得，在中，令得，设直线函数表达式为，把，代入，即可求解； （2）过M作轴于K，过C作轴于T，则，设直线函数表达式为，把代入得直线函数表达式为，进而得，由， ，即可求解 ； （3）过B作轴于R，过M作轴于S，连接，由，，得，设，则MS， 进而可求解； 【小问1详解】 解：在中，令得， 解得或， ∴， 在中，令得， ∴， 设直线函数表达式为，把，代入得：， 解得， ∴直线函数表达式为； ∴A的坐标为，B的坐标为，直线函数表达式为； 【小问2详解】 过M作轴于K，过C作轴于T，如图： ∵点M的横坐标为m， ∴， 设直线函数表达式为，把代入得： ， 解得， ∴直线函数表达式为， 由得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴当时， 取最大值，最大值为 ； 【小问3详解】 抛物线上存在一点M，使得，理由如下： 过B作轴于R，过M作轴于S，连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则MS， ∴， 解得或（舍去）或， ∴或． 【点睛】本题主要考查二次函数综合应用、相似三角形的性质证明、一次函数的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $