精品解析：江苏省徐州市铜山区2025-2026学年度九年级第三次质量检测数学试题

2025—2026学年度第二学期第三次检测 九年级数学试卷 注意事项 1．本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四种物理实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 围棋起源于我国，棋子黑白两色．一个不透明盒子中，装有个白色棋子和个黑色棋子，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一个棋子，则它是白色棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若式子有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 下面的几何体中，主视图为圆的是（ ） A. B. C. D. 7. 小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点、、、分别是四边形各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料匹，那么需要乙布料（ ） A. 匹 B. 匹 C. 匹 D. 匹 8. 如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，连接，，．若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 月日华为发布韬（τ）定律，以“时间缩微”替代传统“几何缩微”，通过逻辑折叠技术压缩信号时延，量产款芯片并计划年推出性能跃升的麒麟芯片，预计年达等效密度，重塑半导体产业路径．已知，则用科学记数法可表示为________． 10. 因式分解：_____． 11. 如图，四边形内接于，若，则______°． 12. 受高空槽和低空切变共同影响，月日—日早晨我市出现强降雨天气．我市各地城区雨量如图所示： 月日时日时各地城区雨量实况（毫米） 站点 市区 丰县 沛县 睢宁 邳州 新沂 铜山 贾汪 雨量 这组数据的中位数为________毫米． 13. 若，则代数式的值为________． 14. 已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 15. 小刚用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形小丑帽子的侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________． 16. 如图，在矩形中，，点E为上一点，把沿翻折，点C 恰好落在边上的F处，则的长是_____． 17. 《九章算术》中记载：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩，价值钱；坏田7亩，价值钱．今共买好、坏田1顷（1顷＝亩），价钱钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x亩，坏田买了y亩，根据题意可列方程组为________． 18. 如图，已知的半径为，为的弦，为优弧的中点．为上一动点，．在弦取点，使，若点由运动到，则点运动的路径长为________． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 20. 解方程与不等式组： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 某校为了调研学生的“家务KPI”完成情况，随机抽取部分学生调查日常参与家务劳动的项目数量，家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和物品的简单归纳整理等．学校根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图： 请根据下图信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为________人，补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“项”部分所对应扇形的圆心角度数是________； （3）若该校有学生人，请估计该校参与家务劳动的项目数量达到项及以上的学生人数． 22. 如图，是线段的中点，，． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 23. 甲、乙两所学校计划从3处红色研学基地：A．淮海战役纪念馆；B．王杰纪念馆；C．碾庄战斗纪念馆，从中随机选择一处作为本校三月红色研学活动基地． （1）甲学校恰好选中淮海战役纪念馆的概率是________； （2）请用画树状图或列表法，求甲、乙两个学校恰好选中不同研学基地的概率． 24. 如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）若点E为的中点，，求阴影部分的面积． 25. 苏公塔位于徐州市云龙湖东岸的金山公园，是为了纪念苏东坡而建的仿宋塔．某校为了让学生进一步了解苏公塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量苏公塔的高度．小江同学站在如图所示的苏公塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果保留整数） 26. 某超市销售一款水杯，每个可获利元，每周可以销售个．经调研：售价每降低元，每周可多销售个．设每个降价元（），每周总利润为元． （1）求与的函数表达式； （2）当取何值时，每周的总利润最大？最大总利润是多少？ 27. 综合与实践 【问题提出】在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组想探究尺规作图中的代数运算问题：已知线段、线段和长度为的线段（如图），求满足下列条件的线段：；；；；． 【问题探究】 （1）和通过线段截取的方式即可作出，而和需要构造相似三角形，下面的图是一位同学给出了的尺规作图方法：将转化为，如图，截取，，作构造平行线，然后以点为圆心长为半径画弧交于点，连接交于点，，即为所求线段．请参照该方法利用图中的线段，尺规作图完成（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在探究的过程中，有同学想到利用直角三角形斜边上的高的几何性质，可以尺规作图完成．如图，在中，为斜边上的高，其中，，求证：． 【尝试应用】通过上面的综合实践，同学们发现如果所要求的尺规作图问题，能拆解为可以使用上述的种运算的某一步或某几步，就可以为我们分析尺规作图问题提供了新的思路．请根据上述的探究经验，完成下面的尺规作图问题： （3）如图，在中，，为上一定点，作，使其经过点，，且与相切．（保留作图痕迹，简述作图步骤） 28. 如图，在正方形中点、分别为边上的动点，且． （1）连接，求证：； （2）连接，若，则的最小值为________； （3）连接，点、在运动过程中，的值是否存在最小值，若存在，请求出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期第三次检测 九年级数学试卷 注意事项 1．本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置． 3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列四种物理实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；据此逐项判断即可． 【详解】解：A项中的图象能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，符合合并同类项法则，故C正确； 选项D：，故D错误． 4. 围棋起源于我国，棋子黑白两色．一个不透明盒子中，装有个白色棋子和个黑色棋子，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一个棋子，则它是白色棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据概率公式求解，随机事件的概率等于该事件包含的等可能结果数除以所有等可能结果的总数，即可得到答案． 【详解】解：∵盒子中共有3个白色棋子，2个黑色棋子，所有棋子除颜色外都相同，摸出每个棋子的可能性相等， ∴所有等可能的结果总数为. ∵摸出白色棋子的结果共有3种， ∴摸出白色棋子的概率． 5. 若式子有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，再解不等式可得答案． 【详解】解：由题意得：x−2≥0， 解得：x≥2， 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 6. 下面的几何体中，主视图为圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、的主视图是矩形，故A不符合题意； B、的主视图是正方形，故B不符合题意； C、的主视图是圆，故C符合题意； D、的主视图是三角形，故D不符合题意； 故选：C． 7. 小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点、、、分别是四边形各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料匹，那么需要乙布料（ ） A. 匹 B. 匹 C. 匹 D. 匹 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用三角形中位线，矩形的判定和性质，矩形的面积解答即可； 【详解】解：连接， 点、、、分别是四边形各边的中点， ，，，， 四边形是平行四边形； 风筝， ， ， ， 四边形是矩形； ； 风筝， ； ， 根据题意，生产这批风筝需要甲布料匹， 故需要乙布料也是30匹． 8. 如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且，反比例函数的图象经过点及矩形的对称中心，连接，，．若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点B，，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心M， ∴延长恰好经过点B，，   ∵点D在上，且， ∴， ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 月日华为发布韬（τ）定律，以“时间缩微”替代传统“几何缩微”，通过逻辑折叠技术压缩信号时延，量产款芯片并计划年推出性能跃升的麒麟芯片，预计年达等效密度，重塑半导体产业路径．已知，则用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 10. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】原式= 11. 如图，四边形内接于，若，则______°． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴． 故答案为：80． 12. 受高空槽和低空切变共同影响，月日—日早晨我市出现强降雨天气．我市各地城区雨量如图所示： 月日时日时各地城区雨量实况（毫米） 站点 市区 丰县 沛县 睢宁 邳州 新沂 铜山 贾汪 雨量 这组数据的中位数为________毫米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中位数的定义，解题思路为先将这组数据按从小到大排序，再根据数据个数为偶数，取中间两个数据的平均数得到中位数； 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列得：这组数据共有个，个数为偶数， 根据中位数的定义，中位数为排序后第个和第个数据的平均数，（毫米）； 13. 若，则代数式的值为________． 【答案】2024 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 14. 已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 15. 小刚用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形小丑帽子的侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，先求出圆锥底面周长得到扇形弧长，再利用扇形面积公式计算即可； 【详解】解：根据圆的周长公式，可得圆锥形帽子底面周长为： 圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，因此扇形的弧长，已知扇形半径 根据扇形面积公式，得： ； 16. 如图，在矩形中，，点E为上一点，把沿翻折，点C 恰好落在边上的F处，则的长是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由折叠和矩形的性质得到，，利用勾股定理得出的长度，进而得到的长，在中求解的长即可得到答案． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则． 在中，由勾股定理可得： 即 解得：， ∴． 17. 《九章算术》中记载：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩，价值钱；坏田7亩，价值钱．今共买好、坏田1顷（1顷＝亩），价钱钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x亩，坏田买了y亩，根据题意可列方程组为________． 【答案】 【解析】 【分析】设好田买了x亩，坏田买了y亩，根据共买好、坏田1顷（1顷＝亩），价钱钱，即可得． 【详解】解：设好田买了x亩，坏田买了y亩， 根据题意得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系． 18. 如图，已知的半径为，为的弦，为优弧的中点．为上一动点，．在弦取点，使，若点由运动到，则点运动的路径长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出的度数，利用解直角三角形求出的长；由已知等式变形得到比例式，结合公共角证明，从而得出为定值；根据为优弧中点确定的形状，进而确定点的运动轨迹为线段，计算其长度即可． 【详解】解：连接 过点作于点 在中， 又 为优弧的中点 弧的度数弧的度数 点在线段上运动当点与点重合时，点与点重合当点与点重合时，点与点重合 点运动的路径长为线段的长 弧的度数为 故答案为 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 20. 解方程与不等式组： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式方程需要先去分母将分式方程转化为整式方程，求解后再检验即可得到原方程的解； （2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 去分母得： 去括号得： 解得： 检验：当时， 所以原分式方程的解为． 【小问2详解】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： 所以原不等式组的解集为． 21. 某校为了调研学生的“家务KPI”完成情况，随机抽取部分学生调查日常参与家务劳动的项目数量，家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和物品的简单归纳整理等．学校根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图： 请根据下图信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为________人，补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“项”部分所对应扇形的圆心角度数是________； （3）若该校有学生人，请估计该校参与家务劳动的项目数量达到项及以上的学生人数． 【答案】（1）100，补全条形统计图如下： （2）54 （3）400人 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图及扇形统计图中，“项”部分所对应的学生人数及所占的百分比即可求得本次被抽取的学生人数，然后，用总人数减去“项”“项”“项”“项”部分所对应的学生人数即可补全统计图； （2）运用“项”部分所对应的学生人数占本次被抽取的学生人数的百分比乘以即可得出“项”部分所对应扇形的圆心角的度数； （3）运用项目数量达到项及以上的学生人数占本次被抽取的学生人数的百分比乘以总人数即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意知本次被抽取的学生人数为(人)， ∴“项”部分所对应的学生人数为(人)，补全的条形统计图见答案； 【小问2详解】 解：“项”部分所对应扇形的圆心角度数是； 【小问3详解】 解：(人)． ∴估计该校参与家务劳动的项目数量达到项及以上的学生人数为400人． 22. 如图，是线段的中点，，． （1）求证：； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ； （2）5． 【解析】 【分析】（1）由是线段的中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：，是线段的中点， ． ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴ ． 23. 甲、乙两所学校计划从3处红色研学基地：A．淮海战役纪念馆；B．王杰纪念馆；C．碾庄战斗纪念馆，从中随机选择一处作为本校三月红色研学活动基地． （1）甲学校恰好选中淮海战役纪念馆的概率是________； （2）请用画树状图或列表法，求甲、乙两个学校恰好选中不同研学基地的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据简单的概率公式，解答即可． （2）根据画树状图法，求解即可． 【小问1详解】 解：甲学校恰好选中淮海战役纪念馆的概率是． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 一共有9种等可能性，其中两次不同的有6种等可能性． 故甲、乙两个学校恰好选中不同研学基地的概率． 24. 如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）若点E为的中点，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）阴影部分的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，切线的判定等，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线； （2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴． 25. 苏公塔位于徐州市云龙湖东岸的金山公园，是为了纪念苏东坡而建的仿宋塔．某校为了让学生进一步了解苏公塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量苏公塔的高度．小江同学站在如图所示的苏公塔前的平地上点处，测得塔顶的仰角为，眼睛距离地面，向塔前行，到达点处，测得塔顶的仰角为，求塔高．（参考数据：，结果保留整数） 【答案】塔高约为 【解析】 【分析】先设，再利用正切的定义，得出（），，进而得到方程，最后解方程即可解答． 【详解】解：由题意和图可得，，，，， 设，（），则， 在中，（）， 在中，（）， ， 整理得，， 解得，， ， （）． 答：塔高约为． 26. 某超市销售一款水杯，每个可获利元，每周可以销售个．经调研：售价每降低元，每周可多销售个．设每个降价元（），每周总利润为元． （1）求与的函数表达式； （2）当取何值时，每周的总利润最大？最大总利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，每周总利润最大，最大总利润为元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由总利润等于销售量乘以单件利润，可得出与的函数关系式； （2）将与的函数关系式转换为顶点式，结合，即可得出最大利润和所对应的售价． 【小问1详解】 解：结合题意，得 ， 故与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：， ∵，抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下； ∴当时，利润最大，其值为元． 27. 综合与实践 【问题提出】在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组想探究尺规作图中的代数运算问题：已知线段、线段和长度为的线段（如图），求满足下列条件的线段：；；；；． 【问题探究】 （1）和通过线段截取的方式即可作出，而和需要构造相似三角形，下面的图是一位同学给出了的尺规作图方法：将转化为，如图，截取，，作构造平行线，然后以点为圆心长为半径画弧交于点，连接交于点，，即为所求线段．请参照该方法利用图中的线段，尺规作图完成（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在探究的过程中，有同学想到利用直角三角形斜边上的高的几何性质，可以尺规作图完成．如图，在中，为斜边上的高，其中，，求证：． 【尝试应用】通过上面的综合实践，同学们发现如果所要求的尺规作图问题，能拆解为可以使用上述的种运算的某一步或某几步，就可以为我们分析尺规作图问题提供了新的思路．请根据上述的探究经验，完成下面的尺规作图问题： （3）如图，在中，，为上一定点，作，使其经过点，，且与相切．（保留作图痕迹，简述作图步骤） 【答案】（1）如图，，即为所求线段． （2）证明：为斜边上的高， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ，即， ， 为正数， ； （3）如图，作的垂直平分线交于；以为圆心，为半径画弧交于点；以为圆心，为半径画弧交于点；过点作垂线交垂直平分线于点；以为圆心，为半径画圆，即为所求． 【解析】 【分析】（1）参考题干将转化为，然后通过构造平行线，根据平行线分线段成比例即可得解； （2）通过同角的余角相等证明，即可得证； （3）要使经过点，，则需构造的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得圆心在该垂直平分线上；再根据与相切，则需构造的垂线即可，根据垂直平分线的性质可得，，证明即可，利用勾股定理等量代换即可证得． 【小问1详解】 解：将转化为， 先截取，；再作构造平行线；然后以点为圆心长为半径画弧交于点，连接交于点；则即为所求线段． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，，，， 由作图步骤可知，垂直平分，，，， ，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 在中，， ， ， 点，在上，即经过点，； 为的半径，， 是的切线，即与相切，切点为． 28. 如图，在正方形中点、分别为边上的动点，且． （1）连接，求证：； （2）连接，若，则的最小值为________； （3）连接，点、在运动过程中，的值是否存在最小值，若存在，请求出最小值． 【答案】（1）证明：如图1， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2） （3）存在， 【解析】 【分析】(1)由正方形的性质得，再由证得四边形是平行四边形，进而得； (2)连接交于O，以为对称轴作点O的对称点，连接，交于点，过点作交延长线于点G，先证得，得，再证得，得，证得四边形是正方形，得，，，最后，由三角形的三边关系及勾股定理得当点共线时，的最小值，即的值最小，即为的长，计算可得答案； (3)连接交于O，以为边在正方形内作，连接，先证得，得，，进而得，再由，得，进而得，证得，得，进而得点在以为直径的半圆上，设半圆的圆心为，正方形的边长为4，过点作于H，可知当三点共线时，取得最小值，可知，即，最后，由可得最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接交于O，以为对称轴作点O的对称点，连接，交于点，过点作交延长线于点G， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵以为对称轴作点O的对称点，连接，交于点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵要求的最小值，即的最小值， ∴当点共线时，取得的值最小，即为的长， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：存在，最小值为． 如图3，连接交于O，以为边在正方形内作，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， ∴点在以为直径的半圆上， 设半圆的圆心为，正方形的边长为4， ∴， ∴， 过点作于H， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴当三点共线时，取得最小值， ∴，即， ∴，即存在最小值，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $