精品解析：江苏省徐州市铜山区2025年第三次质量检测九年级数学试卷

2025年九年级第三次质量检测 数学试题 注意事项 1.本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟. 2.答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置. 3.答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 习近平总书记在一次中国品牌论坛开幕式中为品牌强国建设指明了前进方向，下列国货品牌标志图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方及合并同类项，熟练掌握幂运算法则及合并同类项得法则是解题的关键．根据幂运算法则及合并同类项法则，即可判断答案． 【详解】A、，所以A选项错误，不符合题意； B、，所以B选项正确，符合题意； C、，所以C选项错误，不符合题意； D、，所以D选项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件（被开方数是非负数），解题的关键是直接利用二次根式有意义的条件列出不等求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 故选：B． 5. 矩形相邻两边长分别为、，设其面积为S，则S在哪两个连续整数之间（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先计算矩形的面积，再利用平方数的范围估算无理数的大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：矩形的面积， ∵， ∴，即， 故在3和4之间， 故选：C． 6. 如图，在中，圆周角，D为上一点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形的外角的性质，如图，延长交于点E，根据三角形的外角的性质得出，根据平行线的性质得出，根据圆周角定理得出即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E． ， ． ， ， ． 故选：B． 7. 2025年“五一”期间，某校组织学生到徐州园博园开展了研学活动.学校为了解同学们园内的参观时间，从参与研学活动的学生中随机调查了40名学生，调查结果列表如下. 参观时间/h 5 6 7 8 人数 9 13 12 6 则这40名学生参观时间的中位数为（ ） A. 5h B. 6h C. 7h D. 8h 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，中位数是将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数，对于偶数个数据，中位数为中间两个数的平均值；根据中位数的定义计算即可得解，熟练掌握中位数的定义是解此题的关键． 【详解】解：将40名学生的参观时间按从小到大排列，各时间段人数为：5小时9人，6小时13人，7小时12人，8小时6人， 总人数为40（偶数），中位数为第20和第21个数据的平均数，第20和21位均为6小时，平均数为6小时， 故中位数为6小时， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，点、在这个二次函数的图象上，且，则该二次函数有（ ） A. 最小值 B. 最小值 C. 最小值2 D. 最小值 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据题意求得该函数图象的对称轴为，求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵点、在这个二次函数的图象上，且， ∴该函数图象的对称轴为， ∴， ∴， ∴该函数解析式为， ∵， ∴该函数图象的开口向上， ∴当时，该二次函数有最小值， 故选：A． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 10. 如果一个正多边形的每一个外角都是，那么这个正多边形的边数为______． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了多边形的外角和，由每个外角都是，三角形外角和为即可求出多边形的边数． 【详解】解：∵一个正多边形的每个外角都是，外角和为， ∴多边形的边数为， 故答案为：12． 11. 方程的解为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，根据去分母，去括号，移项合并同类项，检验的过程进行求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 12. 据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为________千克． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示方法表示即可． 【详解】解：500亿， 故答案为：． 13. 已知，，则的值为_____． 【答案】-8 【解析】 【分析】由得，再将原式变形为，然后整体代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴= 故答案为：-8． 【点睛】本题考查代数式求值，利用整体代入思想解题是关键． 14. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 15. 用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：，就可以求出圆锥的底面圆的半径． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，， 由扇形的面积：， 得： 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线． 16. 如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正切数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ∴，， ∴在中，， ∴， 设，则 ∵在中， ， ∴，解得， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义． 18. 如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、分式的混合运算，解决本题的关键是根据实数的运算法则和分式的运算法则进行计算即可． （1）根据负整指数幂的运算法则可得：，根据立方根的定义可得：，根据绝对值的定义可得：，根据任何不为的数的次幂为，可得：，从而可得：原式，再根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）首先把括号里面的分式通分、相减，可得：，把除式的分子、分母分别分解因式后，再把分子、分母颠倒位置，可得：原式，约去分子、分母的公因式即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. （1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，熟知解一元二次方程和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式的解集为：． 21. 我市某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了三条研学线路供学生选择：A苏中七战七捷纪念馆，B韩国钧故居，C烈士陵园，每名学生只能任意选择一条线路． （1）小强选择线路A的概率为__________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小强和小丽选择同一线路的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小强和小丽选择同一线路的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，小强选择线路A的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中小强和小丽选择同一线路的结果有3种， ∴小强和小丽选择同一线路的概率为． 22. 某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图： 某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中C对应圆心角的度数为________ （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数． 【答案】（1）200；36 （2）见解析 （3）460人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体： （1）用最喜欢“D羽毛球”的学生人数除以其所占的百分比，可得样本容量，再用360度乘以最喜欢“B足球”的学生人数所占的百分比，即可求解； （2）求出最喜欢“B足球”的学生人数，即可求解； （3）用2000乘以最喜欢“E乒乓球”的学生人数所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是； 扇形统计图中C对应圆心角的度数为； 故答案为：200；36 【小问2详解】 解：最喜欢“B足球”的学生人数为人， 补全条形统计图，如图： 【小问3详解】 解：人， 即该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460人． 23. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 24. 如图，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号） 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题； （2）连接OE，OE交AD于K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）连接OD． ∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA． ∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线． （2）连接OE，OE交AD于K． ∵，∴OE⊥AD． ∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE=60°，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE22． 【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25. 徐州市苏宁中心广场是我市地标性建筑，该项目的A塔楼高61层，是我市最高楼．如图，某学习研究小组利用无人机在水平的彭城广场上进行测量和计算．当无人机飞行到C点处时，无人机距离地面，无人机测得该塔楼底端处点B的俯角为，测得该塔楼顶端处点A的仰角为．假定点A，B，C，D，E都在同一平面内，求最高塔的高度（结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】266米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，由题意得四边形是矩形，则，解求出的长，解求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得四边形是矩形， ， 在中，，， 在中，，， ， 答：最高塔的高度约为266米． 26. 如图，在三角形纸片中，，． （1）将纸片折叠，使点A的对应点D落在边上，折痕为，点M、N分别在和上，且．请你使用无刻度的直尺和圆规，作出折痕（不写做法，保留作图痕迹）． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，等边对等角等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）作的角平分线交于D，作线段的垂直平分线分别交于M、N，则即为所求； （2）设与交于点O．由平行线的性质得到，，；由折叠的性质得到，，证明，得到．过点M作于点E．解，得到，再解，得到，则． 【小问1详解】 解：如图所示，作的角平分线交于D，作线段的垂直平分线分别交于M、N，则即为所求； 由平行线的性质可得， 由折叠的性质可得，垂直平分， ∴， ∴，即平分； 【小问2详解】 解：设与交于点O． ， ，，； 为折痕， 垂直平分， ，， ， ． 过点M作于点E． 在中，， 在中，， ． 27. 在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1． （1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ______+______． 化简整理得______． 【类比探究】 （2）如图2．若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质及勾股定理补充过程，即可求解； （2）过点作于点，过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质得，，，证明， 得，，，根据勾股定理得， ，继而得出的值即可； （3）由（2）可得得出，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，根据勾股定理以及已知条件，分别求得，根据得出，根据得出，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ． 化简整理得 故答案为：，，． （），理由如下， 过点作于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴ （）∵四边形是平行四边形，，，， ∴由（）可得 ∴ 解得：（负值舍去） ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵分别为的中点， ∴ ∵， ∴， ∵是的中点， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 28. 如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当点Р的坐标为时，求四边形BOCP的面积； （3）点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点P作轴于E，先求出点B的坐标，再根据进行求解即可； （3）如图3-1所示，过点P作轴交直线于F，则，进而推出当最大时，有最大值，直线的解析式为，设点P的坐标为，则，则，据此求解点P的坐标；再分分别以P、Q、A为直角顶点三种情况利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：把代入抛物线解析式得： ， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点P作轴于E， 令，则， 解得或， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图3-1所示，过点P作轴交直线于F， ∴， ∴， ∵是个定值， ∴当最大时，有最大值， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时点P的坐标为； 设点Q的坐标为； 当时，如图3-2所示， 过点P作轴于，过点Q作于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得（不合题意值舍去）； 当时，如图3-3所示，过点P作轴于，过点Q作轴于， 同理可证， ∴，即， 解得（不合题意值舍去）； 当时，如图3-4所示，过点Q作轴于，过点P作于， 同理可证， ∴，即， 解得或； 综上所述，点Q的横坐标为或或或 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级第三次质量检测 数学试题 注意事项 1.本试卷共6页，满分为140分，考试时间为120分钟. 2.答题前，请将姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在本试卷及答题卡指定位置. 3.答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 习近平总书记在一次中国品牌论坛开幕式中为品牌强国建设指明了前进方向，下列国货品牌标志图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 矩形相邻两边长分别为、，设其面积为S，则S在哪两个连续整数之间（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 6. 如图，在中，圆周角，D为上一点，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 2025年“五一”期间，某校组织学生到徐州园博园开展了研学活动.学校为了解同学们园内的参观时间，从参与研学活动的学生中随机调查了40名学生，调查结果列表如下. 参观时间/h 5 6 7 8 人数 9 13 12 6 则这40名学生参观时间的中位数为（ ） A. 5h B. 6h C. 7h D. 8h 8. 在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，点、在这个二次函数的图象上，且，则该二次函数有（ ） A. 最小值 B. 最小值 C. 最小值2 D. 最小值 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 10. 如果一个正多边形的每一个外角都是，那么这个正多边形的边数为______． 11. 方程的解为___________ 12. 据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为________千克． 13. 已知，，则的值为_____． 14. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 15. 用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为________． 16. 如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______． 17. 如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么________． 18. 如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）. 20. （1）解方程：； （2）解不等式组： 21. 我市某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了三条研学线路供学生选择：A苏中七战七捷纪念馆，B韩国钧故居，C烈士陵园，每名学生只能任意选择一条线路． （1）小强选择线路A的概率为__________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小强和小丽选择同一线路的概率． 22. 某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图： 某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中C对应圆心角的度数为________ （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数． 23. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 24. 如图，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号） 25. 徐州市苏宁中心广场是我市地标性建筑，该项目的A塔楼高61层，是我市最高楼．如图，某学习研究小组利用无人机在水平的彭城广场上进行测量和计算．当无人机飞行到C点处时，无人机距离地面，无人机测得该塔楼底端处点B的俯角为，测得该塔楼顶端处点A的仰角为．假定点A，B，C，D，E都在同一平面内，求最高塔的高度（结果保留整数）（参考数据：，，） 26. 如图，在三角形纸片中，，． （1）将纸片折叠，使点A的对应点D落在边上，折痕为，点M、N分别在和上，且．请你使用无刻度的直尺和圆规，作出折痕（不写做法，保留作图痕迹）． （2）若，求的长． 27. 在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1． （1）四边形是菱形， ，，． ． 又，， ______+______． 化简整理得______． 【类比探究】 （2）如图2．若四边形是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点为的中点，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长度． 28. 如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当点Р的坐标为时，求四边形BOCP的面积； （3）点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $