精品解析：山东省济南第二中学高二期中学情检测数学试题及答案

高二下学期期中学情检测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案． 【详解】解：因为，所以选项不正确； ，所以选项正确； ，所以选项不正确； ，所以选项不正确． 故选：． 2. 从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（ ） A. B. C. 21 D. 210 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】根据分步乘法计数原理，不同的选法有种. 故选：D 3. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（     ） A. 0.84 B. 0.7 C. 0.4 D. 0.3 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解. 【详解】因为随机变量服从两点分布， 所以由题，又， 所以. 故选：A. 4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数与函数极值点的关系判断可得出合适的选项. 【详解】因为函数在处取得极小值， 在左侧附近，，此时，， 在右侧附近，即存在，使得当，使得， 此时，，C选项合乎题意. 故选：C. 5. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性可得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布，即， 所以. 故选：B. 6. 若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【详解】因为展开式的各项系数和为32， 所以令，有，得， 故， 因为展开式中含的项为，含的项为， 则展开式中的系数是. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题： ①当时，； ②函数有2个零点； ③的解集为； ④，，都有. 其中正确的命题是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，利用奇偶性求时的解析式即可判断；对于②，直接求出零点即可判断；对于③，直接解不等式，得到解集即可判断；对于④，用导数判断单调性，结合图象求出的值域即可判断. 【详解】解：函数定义在上的奇函数，当时，，下面逐一判断： 对于①，当时，则，所以， 整理得，故①正确； 对于②，当时，由可得，即，故，又函数在处有定义，故，故函数有3个零点，故②错误； 对于③，当时，则的解集为；当时，的解集为；当时，成立. 故的解集为，故③错误； 对于④，当时，， 所以时，有，时，有， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时取得最小值，且时，， 时，所以，即， 可作大致图象如下，再根据对称性作时的大致图象， 综上时，值域为，当时，值域为，而 所以的值域为. 故，，都有，即，故，即④正确. 故选：A. 【点睛】思路点睛： 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何联系，利用导数求切线斜率，再根据点斜式写切线方程． (2)的利用导数求函数的单调区间，利用导函数的正负判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 8. 已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数比较出自变量的大小关系，将原不等式转化为函数单调性问题，再利用导数研究恒成立条件，分离参数后通过分析函数的最值得出参数范围. 【详解】设， 则， ∴在上单调递增，∴， ∴，， ∴， 又在上恒成立， ∴需要在上为增函数， 即对，恒成立， 即在上恒成立； 令，，则， 当时，，在上单调递减，故， ∴，解得或． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量的分布列如下，则正确的是（ ） X 1 2 P m n A. B. C. 若，，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由概率和为1分析判断，对于B，根据分布列利用对立事件的概率公式分析判断，对于C，求出，再由求解判断，对于D，求出的分布列，从而可求出，进而利用方差公式求出判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 所以，故C错误； 对于D，， 则的分布列如下： X 1 4 P 所以，则，故D正确. 故选：ABD 10. 2026年3月，某高中举办第三届数学节活动，高二年级有甲，乙等五名同学玩“数字炸弹”游戏，游戏规则要求五个人并排站在一起，则下列说法正确的是（ ） A. 若甲，乙两人站在一起共有48种排法 B. 若甲，乙两人不相邻共有48种排法 C. 若甲不站在最右边，乙不站在最左边有72种排法 D. 若甲站在乙的左边有60种排法 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用捆绑法可得答案；对于B，利用插空法可得答案；对于C，用5人的全排列数减去甲在最右边，乙在最左边，再加上甲在最右边且乙在最左边情况数可得答案；对于D，由甲在乙左边情况数等于甲在乙右边情况数可得答案. 【详解】对于A，将甲乙捆绑在一起作为一个元素，再和剩下三人全排列，有种排法，故A正确； 对于B，先将剩下3人全排列，再将甲，乙两人安排进3人所产生的4个空中，有种排法，故B错误； 对于C，先将5人全排列，再减去甲在最右边，乙在最左边情况数，最后加上甲在最右边且乙在最左边的情况数，有种排法，故C错误； 对于D，对于每种甲站在乙左边的排法，交换甲乙2人位置可得到甲站在乙右边的排法，故甲在乙左边情况数等于甲在乙右边情况数，则满足题意的排法有种，故D正确. 11. 已知函数，，为的极大值点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求出的导数，再设，利用导数结合零点存在定理可判断的极值点满足的性质，据此判断AB的正误，再利用导数求出的单调性，设，利用导数研究其单调性后可判断，故可判断CD的正误. 【详解】因为，设， 则，当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，当时，即， 而，故存在，使得即， 且时，即，当，即， 故为的极大值点即， 由前述分析可得也是最大值点且，故B正确. 而，而， 故，即A正确. 易知，当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 因为，故为方程的解， 当时，，而，此时方程无解； 当时，设， 因为在上为增函数，在上为减函数， 故在上为增函数，而， ，故在上存在唯一的零点， 而当时，因为在上为减函数，故， 当时，恒成立，故无解， 综上，即，故C正确，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X，则___________ 【答案】0 【解析】 【分析】确定的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式计算. 【详解】因为质点从出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，所以质点最终所在位置的坐标的可能取值为，，，. 表示质点次都向左移动，每次向左移动的概率为，由于每次移动是相互独立事件，根据独立事件同时发生的概率公式可得.  表示质点次移动中有次向左移动，次向右移动，从次移动中选次向左移动的组合数为，每次向左移动的概率为，每次向右移动的概率也为， 所以.  表示质点次移动中有次向右移动，次向左移动，从次移动中选次向右移动的组合数为每次向右移动的概率为，每次向左移动的概率为， 所以.  表示质点次都向右移动，每次向右移动的概率为，所以.  所以 故答案为：. 13. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图象得到函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而求得不等式的解集． 【详解】由图象可知，在，上单调递增，在上单调递减， 故当，时，，当时，. 原不等式等价于或，则或. 所以不等式的解集为. 14. 已知对于，都有，则的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】原不等式等价于，然后通过研究，，，单调性可得答案. 【详解】因为，此时，即， 令，设，函数定义域为， 可得，因为函数在上单调递增，又， 所以，即，整理得， 设，函数定义域为，， 当时，，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以当时，取极小值也是最小值，最小值，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36． （1）求的值； （2）求展开式中含的项及展开式中二项式系数最大的项． 【答案】（I）；（II）. 【解析】 【详解】分析：（1）由条件利用二项式系数的性质求得n的值; (2) 二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，求得r的值，可得展开式中含的项,进而得到展开式中二项式系数最大的项. 详解：（I）由题意知，第二项的二项式系数为，第三项的二项式系数为， ,, 得或（舍去）. (II)的通项公式为： ，令8﹣5k=3，求得k=1， 故展开式中含的项为． 又由知第5项的二项式系数最大，此时 . 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 16. 已知函数，． （1）求的单调递增区间与极值； （2）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）单调增区间为和，极大值为，极小值为 （2）最大值为1，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及导数的正负与函数单调性的关系，再利用函数的极值的定义，即可求解； （2）根据的单调区间，极值，区间端点值即可确定在区间上的最大值与最小值． 【小问1详解】 ，令，得或， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以单调增区间为和，单调减区间为， 所以的极大值为，极小值为． 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在单调递减，在单调递增， 又，， 所以在区间上的最大值为1，最小值为． 17. 甲、乙、丙三个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．甲、乙每个袋子中有标号为的小球个，标号为的个，标号为的个．丙袋子中有标号为的小球有个，标号为的小球有个，从甲袋子中任取两个球，取到的标号都是的概率是． （1）求的值； （2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个标号是，求另一个标号也是的概率； （3）从甲袋子中取出一个小球，如果标号小于，则在乙袋子中取个球；如果标号不小于，则在丙袋子中取个球，如果第二次取出的小球标号为，那么称实验成功，求实验成功的概率． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据从甲袋子中任取两球，取到的标号都是的概率列出方程，求解的值； （2）利用条件概率公式，分别计算和，进而求出； （3）根据第一次取球的标号情况进行分类讨论，分别计算不同情况下实验成功的概率，再根据全概率公式计算实验成功的总概率. 【小问1详解】 由题意，甲袋子中球的总数为，从甲袋子中任取个球的总组合数为， 甲袋子中标号为的球有个，取到个球的组合数为， 又从甲袋子中任取两个球，取到的标号都是的概率是，得， 整理得，解得或（舍去）． 【小问2详解】 设事件表示“从甲袋中任取两个球，至少有一个标号是1”，事件表示“从甲袋中任取两个球，两个标号都是1”. 因为，， 所以. 【小问3详解】 设事件表示“甲袋子中取出小球的标号小于”，事件表示“第二次取出的小球标号为”， 则，， 若第一次取出的小球标号小于，则在乙袋子中取球，乙袋子中球的总数为个， 其中标号为的球有个，所以， 若第一次取出的小球标号不小于，则在丙袋子中取球，丙袋子中球的总数为个， 其中标号为的球有个，所以， 所以. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于任意的，有，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的定义即可； （2）对分情况判断的正负，即可得到的单调区间； （3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 由，知. 所以当时，有，. 故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即. 【小问2详解】 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减； 当时，对有，故在上递增； 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减. 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减. 【小问3详解】 我们有. 当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增. 故对任意的，都有，满足条件； 当时，由于，故. 所以原结论对不成立，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果. 19. 已知函数 （1）令对恒成立，求的最大值. （2）若有两个零点，求的范围，并证明： 【答案】（1）1 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，因式分解，即可分离参数，构造函数，，由导数求解函数的最值即可得解， （2）对讨论，结合函数的单调性可得的范围，构造函数，有导数求解函数的单调性，即可求证. 【小问1详解】 由可得， 故由可得对恒成立， 故对恒成立， 由于得，故对恒成立， 进一步可得对恒成立， 记，，则， 当在单调递增，当在单调递减， 故， ，故， 因此，即，故的最大值为1， 【小问2详解】 由于， 由于， 当时，则，此时，在定义域内单调递减，此时不满足有两个零点， 当时，令，则此时在单调递减，，则此时在单调递增， 且当， 要使有两个零点，则，则 记，由于均为内的单调递增函数，因此函数在单调递增，由于， 因此时，， 故， 记函数，则 ， 由于，，所以， 因此函数在单调递增， 故， 进而可得，即可 由于，则， 由于，所以，又，在单调递减， 故， 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期中学情检测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（ ） A. B. C. 21 D. 210 3. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（     ） A. 0.84 B. 0.7 C. 0.4 D. 0.3 4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题： ①当时，； ②函数有2个零点； ③的解集为； ④，，都有. 其中正确的命题是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 8. 已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量的分布列如下，则正确的是（ ） X 1 2 P m n A. B. C. 若，，则 D. 10. 2026年3月，某高中举办第三届数学节活动，高二年级有甲，乙等五名同学玩“数字炸弹”游戏，游戏规则要求五个人并排站在一起，则下列说法正确的是（ ） A. 若甲，乙两人站在一起共有48种排法 B. 若甲，乙两人不相邻共有48种排法 C. 若甲不站在最右边，乙不站在最左边有72种排法 D. 若甲站在乙的左边有60种排法 11. 已知函数，，为的极大值点，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X，则___________ 13. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________. 14. 已知对于，都有，则的取值范围__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36． （1）求的值； （2）求展开式中含的项及展开式中二项式系数最大的项． 16. 已知函数，． （1）求的单调递增区间与极值； （2）求在区间上的最大值与最小值． 17. 甲、乙、丙三个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．甲、乙每个袋子中有标号为的小球个，标号为的个，标号为的个．丙袋子中有标号为的小球有个，标号为的小球有个，从甲袋子中任取两个球，取到的标号都是的概率是． （1）求的值； （2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个标号是，求另一个标号也是的概率； （3）从甲袋子中取出一个小球，如果标号小于，则在乙袋子中取个球；如果标号不小于，则在丙袋子中取个球，如果第二次取出的小球标号为，那么称实验成功，求实验成功的概率． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于任意的，有，求的取值范围. 19. 已知函数 （1）令对恒成立，求的最大值. （2）若有两个零点，求的范围，并证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $