山东省济南第二中学2025-2026学年下学期高二期中学情检测数学试题及答案

**基本信息** 高二下学期期中学情检测数学试卷，聚焦导数、概率统计、排列组合等核心知识，通过基础辨析、情境应用与综合探究的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，适配期中阶段性能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|导数计算、排列组合、正态分布|单选第4题结合导函数图像判断极值，考查几何直观；多选第10题以“数字炸弹”游戏为情境，考查排列应用，体现数学语言表达| |填空题|3/15|随机变量分布、函数图像应用|第12题质点移动概率模型，培养数据观念；第13题由函数图像解不等式，强化数学眼光| |解答题|5/77|二项式定理、函数单调性与极值、概率综合应用|17题结合摸球情境考查条件概率，发展数学思维；19题函数零点证明，提升逻辑推理能力，契合高考综合探究命题趋势|

(  高二 数学答题纸  ) 考 号                               ( 班级： 姓名： 考号： 考场： 座号： 注意事项： 选择题作答必须用 2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净。解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出答题框。 ) ( 15 . （ 13 分） ) 一、单项选择题：（每小题5分，共40分） ( 1  2  3  4  ) ( 5  6  7  8  ) 二、多项选择题：（每小题6分，共18分） ( 10  11  )9  ( 16. （15分） )三、填空题：（每小题5分，共15分） ( 12 . 13 ． 14 . ) ( 第1面（共2面） ) 四、解答题：（共77分） ( 17 （ 15 分） ) ( 19 （ 17 分） ) ( 18 （ 17 分） ) ( 共 2 面 第2面 ) ( 班级： 姓名： 考号： ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期中学情检测 数学试题答案 一．单项选择题 1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 6. A 7．A【详解】解：函数定义在上的奇函数，当时，，下面逐一判断： 对于①，当时，则，所以， 整理得，故①正确； 对于②，当时，由可得，即，故，又函数在处有定义，故，故函数有3个零点，故②错误； 对于③，当时，则的解集为；当时，的解集为；当时，成立. 故的解集为，故③错误； 对于④，当时，， 所以时，有，时，有， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时取得最小值，且时，， 时，所以，即， 可作大致图象如下，再根据对称性作时的大致图象， 综上时，值域为，当时，值域为，而 所以的值域为. 故，，都有，即，故，即④正确. 8．D【详解】设，则， ∴在上单调递增，∴， ∴，，∴， 又在上恒成立， ∴需要在上为增函数， 即对，恒成立， 即在上恒成立； 令，，则， 当时，，在上单调递减，故， ∴，解得或． 2． 多项选择题 9. AD 10． AD 11.ABC【详解】因为，设， 则，当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，当时，即， 而，故存在，使得即， 且时，即，当，即， 故为的极大值点即， 由前述分析可得也是最大值点且，故B正确. 而，而， 故，即A正确. 易知，当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 因为，故为方程的解， 当时，，而，此时方程无解； 当时，设， 因为在上为增函数，在上为减函数， 故在上为增函数，而， ，故在上存在唯一的零点， 而当时，因为在上为减函数，故， 当时，恒成立，故无解， 综上，即，故C正确，D错误. 三．填空题 12．. 13. 14．【详解】解：因为，此时，即， 令，设，函数定义域为， 可得，因为函数在上单调递增，又，所以，即，整理得， 设，函数定义域为，， 当时，，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，取极小值也是最小值，最小值，即， 3． 解答题 15．【答案】解：由题意知，第二项的二项式系数为，第三项的二项式系数为， ， ，或舍去． 的通项公式为： ， 令，求得， 故展开式中含的项为． 又由可知，第项的二项式系数最大，此时．  ． 16．【详解】（1），令，得或， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以单调增区间为和，单调减区间为， 所以的极大值为，极小值为． （2）由（1）可知，在上单调递增，在单调递减，在单调递增， 又，， 所以在区间上的最大值为1，最小值为． 18．【答案】解：由，知． 所以当时，有，． 故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即． 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减； 当时，对有，故在上递增； 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减． 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减． 我们有． 当时，由于，，故根据的结果知在上递增． 故对任意的，都有，满足条件； 当时，由于，故． 所以原结论对不成立，不满足条件． 综上，的取值范围是． 19．【详解】（1）由可得， 故由可得对恒成立， 故对恒成立， 由于得，故对恒成立， 进一步可得对恒成立， 记，，则， 当在单调递增，当在单调递减， 故， ，故， 因此，即，故的最大值为1， （2）由于， 由于， 当时，则，此时，在定义域内单调递减，此时不满足有两个零点， 当时，令，则此时在单调递减，，则此时在单调递增， 且当， 要使有两个零点，则，则 记，由于均为内的单调递增函数，因此函数在单调递增，由于， 因此时，， 故， 记函数，则 ， 由于，，所以， 因此函数在单调递增， 故， 进而可得，即可 由于，则， 由于，所以，又，在单调递减， 故， 即 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 高二下学期期中学情检测 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.下列求导正确的是 =1+ x+ .(og C.(3*)=3*log;e D.(x cosx)'=-2xsinx 2.从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是() A.37 B.73 C.21 D.210 3.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.7,设Y=2X-1,那么D(Y)的值是 () A.0.84 B.0.7 C.0.4 D.0.3 4.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值， 则函数y=f'(x)的图像可能是( 第1页， 5.若随机变量x服从正态分布N1,o2),且P(X≥0.5)=0.86，则P1<X≤1.5)=() A.0.24 B.0.36 C.0.5 D.0.86 6.若(2-x)x+四展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是 A.5 B.10 C.15 D.20 7.已知函数∫四)是定义在R上的奇函数，当x>0时，了四)三，给出下列命题： ①当x<0时，f(x)=(x+1)e: ②函数f(x)有2个零点： ③f(x)≤0的解集为(-0，-1]U(0,1]: ④x,x∈R,都有f()-f(化≤2 其中正确的命题是 A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 8.已知f(e)-(口-小e一，若不等式x)/(-)在+网)上恒成立，则a的取值范国 为 A.[-1,1]B.「-V2,2C.[0, D.(m,-2][V5,+) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 共2页 9.已知随机变量的分布列如下，则正确的是() X -2 -1 1 2 1 P 9 2-9 A.m+n= 2-3 BPXc小g c若m=.Y=3X+2,则E(Y)=2 D.D(X2)=2 10.2026年3月，某高中举办第三届数学节活动，高二年级有甲，乙等五名同学玩“数字炸弹” 游戏，游戏规则要求五个人并排站在一起，则下列说法正确的是 A.若甲，乙两人站在一起共有48种排法 B.若甲，乙两人不相邻共有48种排法 C.若甲不站在最右边，乙不站在最左边有72种排法 D.若甲站在乙的左边有60种排法 1Ⅱ.已知函数xFe1:8()=1-)e+1,5为f)的极大值点，了)6，则 A.8(x)=0 B.x>1 C.>X2 D.x<x2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位， 共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X,则E(X)= 43201234京 13.如图所示为函数f(x)的图象，则不等式xf'(x)<0的解集为 y=x)/ 14.已知对于x>0,都有c+a≤l-血x,则a的取值范围 第2页， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知(V丘-”∈N)的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36， 2 (l)求n的值： (2)求展开式中含x的项及展开式中二项式系数最大的项. 16.已知函数f(x)=x3+x2-x,x∈R· (1)求f(x)的单调区间与极值： (2)求f(x)在区间 上的最大值与最小值 17.甲、乙、丙三个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.甲、乙每个袋子中有标号为0 的小球1个，标号为1的3个，标号为2的m个.丙袋子中有标号为0的小球有2个，标号为1 的小球有+1个，从甲袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是1 5 (1)求的值： (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个标号是1，求另一个标号也是1的概率： (3)从甲袋子中取出一个小球，如果标号小于1，则在乙袋子中取1个球；如果标号不小于1，则在 丙袋子中取1个球，如果第二次取出的小球标号为0，那么称实验成功，求实验成功的概率 18.已知函数f)=(c-2)e*-ax2+ax(a∈R). (1)当a=O时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程； (2)当a>0时，求函数f(x)的单调区间； (3)若对于任意的x∈[2，+∞)，有f(x)≥0，求a的取值范围. 19.已知函数f(x)=ae2x+(a-2)e-x Q冷-了0,9e+r对x[0恒成立，求a的最大值 (2)若f(x)有两个零点为，为3，求a的范围，并证明：+x<2n 共2页 绝密★启用前 高二下学期期中学情检测 数学试题 注意事项： 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导正确的是 A． B． C． D． 2．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（ ） A. B. C. 21 D. 210 3．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（   ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 4．设函数在R上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图像可能是(   ) A. B. C. D. 5．若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A．0.24 B．0.36 C．0.5 D．0.86 6. 若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是 A．5 B．10 C．15 D．20 7．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题： ①当时，； ②函数有2个零点； ③的解集为； ④，，都有. 其中正确的命题是 A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 8．已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知随机变量的分布列如下，则正确的是（ ） X 1 2 P m n A. B. C.若，，则 D. 10．2026年3月，某高中举办第三届数学节活动，高二年级有甲，乙等五名同学玩“数字炸弹”游戏，游戏规则要求五个人并排站在一起，则下列说法正确的是 A．若甲，乙两人站在一起共有48种排法 B．若甲，乙两人不相邻共有48种排法 C．若甲不站在最右边，乙不站在最左边有72种排法 D．若甲站在乙的左边有60种排法 11．已知函数，，为的极大值点，，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为，则_________． 13. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为__________. 14． 已知对于，都有，则的取值范围__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为． 求的值； 求展开式中含的项及展开式中二项式系数最大的项． 16. 已知函数，． (1)求的单调区间与极值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 17．甲、乙、丙三个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．甲、乙每个袋子中有标号为0的小球1个， 标号为1的3个，标号为2的m个．丙袋子中有标号为0的小球有2个，标号为1的小球有m+1个，从甲袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是． (1)求m的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个标号是1，求另一个标号也是1的概率； (3)从甲袋子中取出一个小球，如果标号小于1，则在乙袋子中取1个球;如果标号不小于1，则在丙袋子中取1个球，如果第二次取出的小球标号为0，那么称实验成功，求实验成功的概率. 18．已知函数． 当时，求曲线在处的切线方程； 当时，求函数的单调区间； 若对于任意的，有，求的取值范围． 19．已知函数 (1)令，,对恒成立，求的最大值. (2)若有两个零点，求的范围，并证明： 第 页，共2页2 学科网（北京）股份有限公司 $