精品解析：山东省实验中学2025-2026学年高二第二学期期中数学试题

山东省实验中学2025~2026学年第二学期期中 高二数学试题 2026.5 说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共58分） 一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式先化简，然后由导数定义可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B 2. 函数的极大值点是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由求导得， 令，得或，令，得， 则函数在和上单调递增；在单调递减， 故函数的极大值点是. 3. 甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】判断出属于组合问题，进而求解出结果. 【详解】甲地至乙地与乙地至甲地距离一样，票价一样，所以是组合问题，所求票价种数为. 故选：C 4. 先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为），记事件“第一次掷出的点数小于4”，事件“两次点数之和大于4”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式即可求得的值. 【详解】由题意可知， 事件与事件同时发生， 有共12种可能， ，所以. 故选：B. 5. 设函数是奇函数的导函数，f（-2）=0，当时， ， 则使得成立的x的取值范围是 A. （-,-2）（0, 2） B. （-,-2）（2, +） C. （-2,0）（2,+） D. （-2,0）（0,2） 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设，则g（x）的导数为： ∵当x＞0时总有成立，即当x＞0时，g′（x）<0， ∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，又∵， ∴函数g（x）为定义域上的偶函数，∴x＜0时，函数g（x）是增函数函数，又∵g（-2）=0=g（2）， ∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x<2， x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（-2），解得：x<-2， ∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（-,-2）（0, 2） 考点：利用导数研究函数的单调性 6. 已知函数，若函数有且仅有2个零点，则实数的值为（） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先画出函数的大致图像，由题意，得到函数与直线的图像有且仅有两个交点，结合图像，得到直线与相切，与曲线相交，根据导数的几何意义，即可求出结果. 【详解】画出函数的大致图像如下， 因为函数有且仅有2个零点， 所以方程有两不等实根， 即函数与直线的图像有且仅有两个交点， 由图像可得，只需直线与相切，与曲线相交， 设直线与相切于点， 因为，所以， 因此曲线在点处的切线方程为：， 即， 因为即为该切线方程， 所以，解得. 故选：A. 【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数，考查导数的几何意义，属于常考题型. 7. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（ ） A. 350 B. 295 C. 285 D. 230 【答案】C 【解析】 【分析】利用分组求和法和组合数的性质进行求解即可 【详解】记此数列的前20项的和为，则， 故选：C. 8. 实数满足，则（ ） A. 256 B. 32 C. 8 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】令，得，进而转化为所以是方程得根，构造函数，通过研究函数的单调性可得，进而可以求出结果. 【详解】因为，令，则，因此，所以， 所以是方程得根，令，则，所以在上单调递增，所以，即，因此，所以， 故选：B. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 一个袋子中有 4 个红球和 2 个白球，采用不放回方式依次摸取 2 个球. 设事件 为“第一次摸到红球”，事件 为“第二次摸到红球”，则（ ） A. B. C. D. 与 相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】根据古典概型、条件概率和独立事件的定义计算判断即可. 【详解】由题意可得，，所以A错误； ，所以B正确； ，所以，所以C正确； 由于，所以， 所以与不相互独立，所以D错误. 10. 把数2，4，6，8，10，12按任意顺序排一列，构成数列：，，，，，，则（ ） A. 满足，，与，，分别成等差数列的排法种数为8 B. 满足，且的排法种数为20 C. 满足的排法种数为48 D. 满足的排法种数为360 【答案】BC 【解析】 【分析】由排列组合逐选项分析求解即可. 【详解】A选项，6个数中分别选3个构成等差数列，有以下2种组合： 与，与， 对每组的两个等差数列，每个等差数列自身有2种排列方式，奇偶项也可交换， 则共有种，故A错误； B选项，任取三个数作为，则满足的排列只有1种， 而余下三个数作为，满足的排列也只有1种， 则满足，且的排法种数为种，故B正确； C选项，由于任取两数之差均不小于2，若满足， 则只能是，对于， 先全排列，再内部各自排列，共有种，C选项正确； D选项，类似B选项，先任取两个数作为，则满足的排列只有1种， 再任取两个数作为，满足的排列只有1种，最后两个数作为， 满足的排列只有1种，共有种，故D选项错误； 故选：BC. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域是. B. 曲线在处的切线方程为 C. 若过点至少可以作曲线的三条切线，则 D. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导得出单调性可求得其值域，利用导函数几何意义可求得在处的切线方程，设出切点坐标并根据切线条数构造函数，结合函数图象交点个数可求得，将距离最小值转化为平行直线与曲线相切问题即可. 【详解】由函数可得， 令可得，当时，，当时，， 因此可知在上单调递增，在上单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，又， 因此函数的值域是，即A正确； 易知，又，所以切线方程为，即，因此B正确； 设过点作切线的切点为， 则斜率为，切线方程为， 代入点坐标整理可得， 令，则， 由可得或， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因此在处取得极小值，在处取得极大值， 且时，，时，， 因为过点至少可以作曲线的三条切线，所以与函数的图象有三个交点，因此，即C错误； 设与直线平行的切线的切点为， 因为直线斜率为1，所以， 即，又因为函数在上单调递增，可得，即切点为， 因此点到直线距离的最小值即为到该直线距离， 即，所以D正确. 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则的展开式中含项的系数为__________. 【答案】-220 【解析】 【详解】因为，所以， 的展开式中含项的系数为. 13. 现从4名男生，2名女生中选3人分别担任语文、数学、英语课代表，且恰好有1名女生被选中，则不同的安排方法共有________种． 【答案】 【解析】 【详解】满足条件的安排方法有. 14. 已知函数的极值点为，函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的极值点求出的值，将所求不等式变形为，令，则有，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，并求出函数的值域，结合题意得出，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数的极值点为，则， 由题意可得，解得， 此时，则， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，符合题意， 对任意的，恒成立，即，且有， 即， 令，则有， 构造函数，其中，且有，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 故当时，，当时，， 对函数求导得， 当时，；当时，. 所以函数在上递增，在上递减， 所以，即， 要使得，则，即，解得， 故实数的取值范围是. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 设． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令可求的值； （2）令并结合（1）中的结果可求的值； 【小问1详解】 在中令，则. 【小问2详解】 在中令， 则，故. 16. 田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》．齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛．双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等．上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序． （1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率： （2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，列出第一局双方参赛的马匹的全部情况，再找到田忌胜利的情况，即可得到答案. （2）首先设事件，事件，列举出事件的个数，利用条件概率公式即可的得到答案. 【小问1详解】 将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、， 齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、， 并且用马的记号表示该马上场比赛． 设事件，事件， 由题意得， ，则在第一局比赛中田忌胜利的概率是； 【小问2详解】 设事件， 事件， 由题意得， ， 则本场比赛田忌胜利的概率是． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，再求，结合导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式求切线方程； （2）化简，条件可转化为对恒成立，利用导数求函数，的最小值，由此可求的取值范围． 【小问1详解】 函数的导函数， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 ． 由，得， 设，，则． ． 令，得，则在上单调递减； 令，得，则在上单调递增． 所以， 故的取值范围为． 18. 函数. （1）求的单调区间； （2）若只有一个解，求的值； （3）在（2）的条件下，当时，求使成立的最大整数. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）对函数求导并利用判别式得出导函数零点，求出相应区间上的单调性即可； （2）由方程根的个数构造函数 ，求出该函数单调性得出极值可求得； （3）分离参数可得，构造函数 并求得其单调性和极值，由极值点范围可求得整数的最大值为2. 【小问1详解】 函数，定义域为，则 因为，设 ， 则令得，， 当时，单调递增， 当时,单调递减， 当时，单调递增， 综上所述的单调递增区间为， 单调递减区间为； 【小问2详解】 若即只有一个解， 因为使方程成立，所以只有0是的解， 故当时，无非零解， 设 ，则， 当单调递减，当单调递增， 所以最小值为 ， 当时，，当时，， 故必有零点，又因为无非零解，故的零点是0， 所以 ，所以； 【小问3详解】 由（2）知，， 由可得 ， 所以，得， 设 ，则， 令，则，因为时，，所以， 则在单调递增，又 所以使得，所以，且 ， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以最小值，且， 得， 又因为，所以，因为， 所以，故整数的最大值为2. 19. 已知函数的定义域为R，． （1）求函数的单调区间； （2）判断曲线上是否存在两点P，Q，使得P，Q关于对称，并说明理由； （3）直线是曲线在处的切线，过点A作垂直于的直线，直线，与y轴交点的纵坐标分别为，，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导函数的正负分析的单调性； （2）将曲线存在两点关于对称转化为方程存在两个不同实根，然后构造函数分析单调性求解； （3）根据导数的几何意义得到直线的方程，即可得到，然后代入，利用换元法求范围即可. 【小问1详解】 令，定义域为R，求导得： ， 因为恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 若存在关于对称，则等价于方程存在两个不等于1的不同实根， 构造函数， 令，求导得： ，  恒成立， ∴时，，单调递增， 时，，单调递减， 的最大值为，且时，， 因此有两个不同零点，即方程有两个不同解，对应两个不同点. 【小问3详解】 切线斜率​，切线方程为， 令得： ， ​ ​与垂直，斜率，​方程为， 令得： ， 代入所求表达式化简， 全部消去： ， 设，则原式， 对求导得​，因此在单调递减，单调递增，最小值，即，， ​是关于的增函数， ∴ ， ∴的取值范围为取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2025~2026学年第二学期期中 高二数学试题 2026.5 说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共58分） 一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 函数的极大值点是( ) A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 4. 先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为），记事件“第一次掷出的点数小于4”，事件“两次点数之和大于4”，则（ ） A. B. C. D. 5. 设函数是奇函数的导函数，f（-2）=0，当时， ， 则使得成立的x的取值范围是 A. （-,-2）（0, 2） B. （-,-2）（2, +） C. （-2,0）（2,+） D. （-2,0）（0,2） 6. 已知函数，若函数有且仅有2个零点，则实数的值为（） A. B. C. D. 1 7. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（ ） A. 350 B. 295 C. 285 D. 230 8. 实数满足，则（ ） A. 256 B. 32 C. 8 D. 4 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 一个袋子中有 4 个红球和 2 个白球，采用不放回方式依次摸取 2 个球. 设事件 为“第一次摸到红球”，事件 为“第二次摸到红球”，则（ ） A. B. C. D. 与 相互独立 10. 把数2，4，6，8，10，12按任意顺序排一列，构成数列：，，，，，，则（ ） A. 满足，，与，，分别成等差数列的排法种数为8 B. 满足，且的排法种数为20 C. 满足的排法种数为48 D. 满足的排法种数为360 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域是. B. 曲线在处的切线方程为 C. 若过点至少可以作曲线的三条切线，则 D. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则的展开式中含项的系数为__________. 13. 现从4名男生，2名女生中选3人分别担任语文、数学、英语课代表，且恰好有1名女生被选中，则不同的安排方法共有________种． 14. 已知函数的极值点为，函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 设． （1）求的值； （2）求的值． 16. 田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》．齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛．双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等．上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序． （1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率： （2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率． 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围． 18. 函数. （1）求的单调区间； （2）若只有一个解，求的值； （3）在（2）的条件下，当时，求使成立的最大整数. 19. 已知函数的定义域为R，． （1）求函数的单调区间； （2）判断曲线上是否存在两点P，Q，使得P，Q关于对称，并说明理由； （3）直线是曲线在处的切线，过点A作垂直于的直线，直线，与y轴交点的纵坐标分别为，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $