精品解析：福建省三明市永安市2025-2026学年下学期初中毕业班阶段抽测数学试题

2025~2026学年下学期初中毕业班第三次模拟抽测 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示： 1．本试卷6页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写（涂）在答题卡上． 3．答题要求见答题卡上的“注意事项”． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 2. 下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年2月10日，小行星飞掠地球时，与地球最近距离约为千米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列生活现象中，依据“垂线段最短”的数学原理的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 2026年天猫618活动正在火热进行中，某美妆品牌在此期间推出多场预售与现货活动．该品牌第二季度的总销售额为662万元，其中4月作为预售启动月，销售额为200万元．设5月、6月随着大促热度攀升，月销售额的平均增长率为．若根据季度总销售额列方程求该平均增长率，下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（ ）． A. 160 B. 140 C. 100 D. 70 9. 如图，是的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点C，连接并延长交于点B，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）均在二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣4的图象上，且|x1﹣3|＜|x2﹣3|，则下列说法错误的是（　　） A. 直线x＝3是该二次函数图象的对称轴 B. 当a＜0时，该二次函数有最大值﹣4 C. 该二次函数图象与坐标轴一定有一个或三个交点 D. 当a＞0时，y1＜y2 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 因式分解：_______． 12. 圆心角为，半径为3的扇形弧长为_______． 13. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则 sinA的值为___． 14. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是______． 15. 如图，点，分别在反比例函数（），（）的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是6，则的值为_______． 16. 如图，正方形边长为3，动直线经过正方形中心，线段与线段关于直线对称，则点到直线的距离最大值为_______． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 如图，，，，求证：． 19. 先化简，再求值：（），其中a＝2． 20. 如图，中，，． （1）尺规作图：在边上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 21. 对于一元二次方程（），若满足，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当，，时，求相应的“勾系一元二次方程”的根； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 22. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为点，（点落在边上），连接． （1）求的值； （2）若，求的长． 23. 在柑橘收获季节，某班级同学前往某无核柑橘基地开展综合实践活动，从该基地同一时段的甲、乙两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如图分组： 组别 A B C D E 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 【已知：柑橘直径越大，商品等级越高（直径为优质果，直径为次果）；，．】 （1）图①中的值为 ，乙园样本数据的中位数在 组； （2）计算乙园样本数据的加权平均数和方差；（统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数） （3）基地计划优先选择一块果园的柑橘作为“精品礼盒”货源，若你是采购负责人，请结合以上样本数据，从优质果占比、平均直径、直径稳定性三个维度分析，判断应优先选择甲园还是乙园，并说明理由．（需写出关键计算或分析过程） 24. 如图1，在中，，是边上的点，且不与，重合．以为圆心，长为半径的圆交，，于点，，．点是劣弧的中点，连接． （1）【探索与发现】________（填“是”或“不是”）的角平分线； （2）【猜想与证明】是的切线； （3）【实践与应用】如图2，连接交于点，已知，是否存在常数，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 25. 已知二次函数（）的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线． （1）当时，求该二次函数的表达式； （2）求证：； （3）若点的坐标为，且点为直线上方的抛物线上的一点，过点作轴，交直线于点． ①若以，，为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点的坐标； ②是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年下学期初中毕业班第三次模拟抽测 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示： 1．本试卷6页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写（涂）在答题卡上． 3．答题要求见答题卡上的“注意事项”． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项是整数，属于有理数； B选项是有限小数，可化为分数，属于有理数； C选项开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； D选项是分数，属于有理数． 2. 下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转180°后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形． 3. 2026年2月10日，小行星飞掠地球时，与地球最近距离约为千米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为，其中，为整数，据此解答即可． 【详解】解：． 4. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列生活现象中，依据“垂线段最短”的数学原理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，符合题意； B、木板上弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、两钉子固定木条，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； D、弯曲河道改直，可以用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意． 5. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：，正确，不符合题意． B选项：，正确，不符合题意． C选项：，正确，不符合题意． D选项：，不正确，符合题意． 6. 太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质即可得出，，再根据即可求解． 【详解】由题意知 ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键． 7. 2026年天猫618活动正在火热进行中，某美妆品牌在此期间推出多场预售与现货活动．该品牌第二季度的总销售额为662万元，其中4月作为预售启动月，销售额为200万元．设5月、6月随着大促热度攀升，月销售额的平均增长率为．若根据季度总销售额列方程求该平均增长率，下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别表示出第二季度每个月的销售额，再根据总销售额列方程即可得到正确结果． 【详解】解：∵4月销售额为200万元，月销售额平均增长率为， ∴5月销售额为， ∵6月销售额在5月基础上增长， ∴6月销售额为， ∵第二季度总销售额为4月、5月、6月销售额之和，总销售额为662万元， ∴列方程得． 8. 如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为（ ）． A. 160 B. 140 C. 100 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率估计概率解答即可． 【详解】解：由统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在， ∴点落在不规则图案上的概率为． ∴估计阴影部分面积约为． 9. 如图，是的半径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点C，连接并延长交于点B，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证明为等边三角形，可得，再由圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接， 垂直平分， ∴， 为等边三角形， ， ． 10. 已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）均在二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣4的图象上，且|x1﹣3|＜|x2﹣3|，则下列说法错误的是（　　） A. 直线x＝3是该二次函数图象的对称轴 B. 当a＜0时，该二次函数有最大值﹣4 C. 该二次函数图象与坐标轴一定有一个或三个交点 D. 当a＞0时，y1＜y2 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质即可依次判断． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣4＝a（x﹣3）2﹣4， ∴直线x＝3是该二次两数图象的对称轴，当a＜0时，该二次函数有最大值﹣4，故选项A、B正确； ∵|x1﹣3|＜|x2﹣3|，点A（x1，y1）和B（x2，y2）均在二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣4的图象上， ∴当a＞0时，y1＜y2，故选项D正确； 当x＝0，y＝0时，得a＝，即a＝时，该函数图象与坐标轴有两个交点，故选项C错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的顶点式． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式． 12. 圆心角为，半径为3的扇形弧长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用弧长公式计算即可． 【详解】解：该扇形的弧长． 13. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则 sinA的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】利用网格的特点，根据勾股定理，可得AC的长，根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】由勾股定理，得： AC=， ∴sinA=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用网格的特点先求出斜边长，再求正弦值． 14. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由一次函数图象解不等式，由题意可知关于的不等式的解集是指一次函数图象在的图象上方部分对应的取值范围，由此可解． 【详解】解：将代入，得：， 解得， ， 由图可知，当时，的图象在图象的上方， 关于的不等式的解集是， 故答案为：． 15. 如图，点，分别在反比例函数（），（）的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是6，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出，根据反比例函数k的几何意义求出，进而求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，延长交x轴于点D，连接， ∵平行四边形的面积是6， ∴．， ∴， ∴． ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 16. 如图，正方形边长为3，动直线经过正方形中心，线段与线段关于直线对称，则点到直线的距离最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，特殊角的三角函数求解即可． 【详解】解：连接， 正方形边长为3，动直线经过正方形中心， 根据正方形的性质，得， ， 根据对称的性质，得，． 过点O作于点G， ， ， 故当三点共线时，取得最大值， 且最大值为． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先求算术平方根、绝对值、负指数，再合并即可． 【详解】解：， =， =． 【点睛】本题考查了实数的运算，解题关键是熟练求出算术平方根、绝对值、负指数，然后准确进行计算． 18. 如图，，，，求证：． 【答案】 证明：， ， 即． 在和中， ， ． 【解析】 【分析】先证明，然后根据，证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 19. 先化简，再求值：（），其中a＝2． 【答案】，4 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】() ， 当a=2时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 20. 如图，中，，． （1）尺规作图：在边上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作或作线段的垂直平分线，交点为所求或运用作一个角等于已知角的基本作图求解； （2）根据等腰三角形的性质，特殊角的三角函数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ，． ，， ． 在中，， ． 又， ． 21. 对于一元二次方程（），若满足，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当，，时，求相应的“勾系一元二次方程”的根； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】（1）， （2）证明：是勾系一元二次方程， ， ， ， ， ∴关于的勾系一元二次方程必有实数根． 【解析】 【分析】（1）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出，再解一元二次方程即可； （2）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出，然后利用根的判别式解答即可． 【小问1详解】 解：∵方程是勾系一元二次方程，且，， ． ， （负舍）， ∴原方程为：． ， ， ，． 【小问2详解】 略． 22. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为点，（点落在边上），连接． （1）求的值； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）的长为 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，交于点，结合矩形的性质推导出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质推导出，再运用相似的性质即可求解； （2）连接，，根据折叠求出，，根据矩形性质求出，，，再根据勾股定理求出的值，最后设，根据，列出方程求解即可. 【小问1详解】 解：如图，过点作，交于点，交于点． ∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵将矩形沿折叠，点，的对应点分别为点，（点落在边上）， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． 又∵， ∴． ∴， 即； 【小问2详解】 解：如图，连接，． ∵点关于直线对称， ∴，． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴． ∴． ∴． 设，则． 由，得． 解得． ∴的长为． 23. 在柑橘收获季节，某班级同学前往某无核柑橘基地开展综合实践活动，从该基地同一时段的甲、乙两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如图分组： 组别 A B C D E 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 【已知：柑橘直径越大，商品等级越高（直径为优质果，直径为次果）；，．】 （1）图①中的值为 ，乙园样本数据的中位数在 组； （2）计算乙园样本数据的加权平均数和方差；（统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数） （3）基地计划优先选择一块果园的柑橘作为“精品礼盒”货源，若你是采购负责人，请结合以上样本数据，从优质果占比、平均直径、直径稳定性三个维度分析，判断应优先选择甲园还是乙园，并说明理由．（需写出关键计算或分析过程） 【答案】（1）40，C （2）， （3）解：应优先选择乙园，理由如下： ∵甲园优质果数占比：， 乙园优质果数占比：， ∴甲、乙两园优质果数占比相同． 又，，，， ，． ∴乙园的平均直径更大，直径分布更稳定． ∴应优先选择乙园． 【解析】 【分析】（1）用200减去已知各组别的频数可求出a的值；根据中位数的定义可求出乙园样本数据的中位数在哪个组； （2）根据加权平均数和方差的定义求解即可； （3）求出优质果所占的比例，可判断优果率，再根据平均数和方差的意义分析即可． 【小问1详解】 解：； ∵各随机选取200个， ∴中位数是从小到大排列后的第100和第101个数的平均数． ∵， ∴乙园样本数据的中位数在C组； 【小问2详解】 解： ， ； 【小问3详解】 略． 24. 如图1，在中，，是边上的点，且不与，重合．以为圆心，长为半径的圆交，，于点，，．点是劣弧的中点，连接． （1）【探索与发现】________（填“是”或“不是”）的角平分线； （2）【猜想与证明】是的切线； （3）【实践与应用】如图2，连接交于点，已知，是否存在常数，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）是 （2） 证明：连接， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据等弧所对圆周角相等即可判断； （2）连接，根据等边对等角结合（1）中结论即可证明； （3）过点作于点，连接，设，证明，利用勾股定理和解直角三角形求出，，，，，，，，证明，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴平分，即是的角平分线； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，， 过点作于点，连接， ∵，即， 设， ∵， ∴， 由（1）知是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 已知二次函数（）的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线． （1）当时，求该二次函数的表达式； （2）求证：； （3）若点的坐标为，且点为直线上方的抛物线上的一点，过点作轴，交直线于点． ①若以，，为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点的坐标； ②是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：∵该二次函数图象经过， ． ∵该二次函数图象的对称轴为直线， ，即． ，即． 又， ． （3）①或；②的坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的对称性，结合已知，化简证明即可； （3）①设，，根据三角形的相似，分类求解即可； ②过点作交于点．利用解方程组的方法求解即可； 【小问1详解】 解：当时，． ∵该二次函数图象与轴交于、两点，且对称轴为直线， ，解得：，即． 将和代入得： ， 解得：． ∴当时，该二次函数的表达式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①解：∵该二次函数图象经过，，， ∴二次函数表达式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， 直线表达式为． 又轴， 设，， ，． 当时，有，即． 解得：（不符合题意，舍去）或． ． 当时，有，即． 解得：（不符合题意，舍去）或． ． ②过点作交于点． ， ． ，， ，， ， ， ． 又，， （）． ． ． 设直线的解析式为，由点，可得： ，解得：， ∴直线表达式为． ，且 ∴同理可得：直线表达式为． ∵点在和上， ． 解得或（不符合题意，舍去）． ∴存在点，使得．的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $