精品解析：天津市第二中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试卷

2025-2026（二）天津二中高一年级第二次月考 数学学科试卷 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为、、、件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取件进行检验，则应从丁种型号的产品中抽取（ ）件. A. B. C. D. 2. 是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，若A，C，D三点共线，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 6. 攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（ ）. A. m2 B. m2 C. m2 D. m2 7. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8. 长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 已知一组样本数据，，…，的均值和方差分别为2和0.25，则，，…，的均值和方差分别为（ ） A. 6和0.75 B. 8和0.75 C. 8和2.25 D. 6和2.25 10. 少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 样本的众数为65 B. 样本的第80百分位数为72.5 C. 样本的平均值为67.5 D. 该校学生中低于的学生大约为1000人 二、填空题（每小题4分，共28分） 11. i是虚数单位，复数______． 12. 从某珍珠公司生产的珍珠中任意抽取12颗，得到它们的质量（单位：g）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据的第75百分位数是______. 13. 已知向量、满足，，与的夹角为，若，则________. 14. 四面体的所有棱长都为，则这个四面体的外接球的表面积为__________. 15. 在三棱锥中（如图所示），，则二面角的余弦值为______. 16. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”：底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图，在堑堵中，，且．有下列命题： ①四棱锥为“阳马”； ②四面体为“鳖臑”； ③四棱锥体积最大为； ④过点分别作于点于点，则． 则正确命题是___________ 17. 在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________． 三、解答题（本题包括3道题，共32分） 18. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）若，求的值及的外接圆半径； （2）若的面积为4，求b和c的值. 19. 在 中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 （1）求b的值； （2）求sinA； （3）求的值. 20. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（二）天津二中高一年级第二次月考 数学学科试卷 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为、、、件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取件进行检验，则应从丁种型号的产品中抽取（ ）件. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设应从丁种型号的产品中抽取件，利用分层抽样的性质列方程求解． 【详解】设应从丁种型号的产品中抽取件，由分层抽样的基本性质可得，解得. 故选：A. 【点睛】本题考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2. 是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数乘法、纯虚数的知识求得正确答案. 【详解】依题意为纯虚数， 所以，解得. 故选：C 3. 已知向量，，，若A，C，D三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据向量共线的坐标形式可求参数的值. 【详解】，因为三点共线， 故共线，故，故， 故选：C. 4. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算 【详解】. 故选：B 5. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化简整理得到，进而得到，可得，即可确定三角形形状． 【详解】已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：，即， 所以，即， 所以， 所以， 所以， 则或， 因为， 所以，所以为等腰三角形或直角三角形． 故：B． 6. 攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（ ）. A. m2 B. m2 C. m2 D. m2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出圆锥轴截面图像,根据图像求出圆锥底面半径和母线,根据侧面积公式即可求解. 【详解】如图所示为该圆锥轴截面,    由题意,底面圆半径,母线, 所以侧面积. 故选：C. 7. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一进行判断即可. 【详解】若，，则或，故A错误. 若，，则或，相交，故B错误. 若，，则或或，故C错误. 若，，则，故D正确. 故选：D. 8. 长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过平移说明即异面直线与所成角，借助于直角三角形和三角函数定义即可求得. 【详解】 如图所示，因，则即异面直线与所成角. 连接，在中，， 则，即异面直线与所成角为. 故选：C. 9. 已知一组样本数据，，…，的均值和方差分别为2和0.25，则，，…，的均值和方差分别为（ ） A. 6和0.75 B. 8和0.75 C. 8和2.25 D. 6和2.25 【答案】C 【解析】 【分析】根据均值和方差的定义和性质进行计算. 【详解】由题意得，故， 则 即，，…，的均值为， 又， 故， 解得， 故 故，，…，的方差为. 故选：C 10. 少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 样本的众数为65 B. 样本的第80百分位数为72.5 C. 样本的平均值为67.5 D. 该校学生中低于的学生大约为1000人 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数，百分位数，平均数的定义判断A，B，C，再求低于的学生的频率，由此估计总体中体重低于的学生的人数，判断D. 【详解】由频率分布直方图可得众数为，A错误； 平均数为，C错误； 因为体重位于的频率分别为， 因为， 所以第80百分位数位于区间内，设第80百分位数为， 则， 所以，即样本的第80百分位数为72.5，B正确； 样本中低于的学生的频率为， 所以该校学生中低于的学生大约为，D错误； 故选：B. 二、填空题（每小题4分，共28分） 11. i是虚数单位，复数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可. 【详解】. 故答案为： 12. 从某珍珠公司生产的珍珠中任意抽取12颗，得到它们的质量（单位：g）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据的第75百分位数是______. 【答案】8.75 【解析】 【分析】先将数据按照从小到大排序，再按照百分位数定义进行计算即可. 【详解】将数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9， 因为共有12个数据，则12×75%＝9， 所以75%分位数是. 故答案为：8.75． 13. 已知向量、满足，，与的夹角为，若，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】运用平面向量数量积公式计算即可. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以. 因为， 所以， 解得. 故答案为：. 14. 四面体的所有棱长都为，则这个四面体的外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件先判断该四面体为正四面体，将其补成正方体，利用正方体的体对角线长即正四面体的外接球的直径即可求得答案. 【详解】由题意，四面体即为正四面体，将其补成一个正方体，则正四面体的棱长即正方体的面对角线长， 故正方体的棱长为，正方体的体对角线长为， 正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长， 外接球的表面积为， 15. 在三棱锥中（如图所示），，则二面角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二面角平面角的定义作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可. 【详解】 如图，取AB的中点M，连接PM，CM， 在中，，所以，， 同理可得，，， 所以即为二面角的平面角. 因为，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 16. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”：底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图，在堑堵中，，且．有下列命题： ①四棱锥为“阳马”； ②四面体为“鳖臑”； ③四棱锥体积最大为； ④过点分别作于点于点，则． 则正确命题是___________ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由新定义结合线面垂直的判定、性质、体积公式逐项判断即可得解． 【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”. 所以在堑堵中，，平面, 对于①：因为平面，平面，， 又，，所以平面，且四边形为矩形， 所以四棱锥为“阳马”，故①正确； 对于②：由且，所以平面， 所以，故和为直角三角形. 由平面，得和为直角三角形， 所以四面体为“鳖臑”，故②正确； 对于③：在中，，，故， ，当且仅当时取等号. 所以四棱锥体积，最大为，所以③不正确； 对于④：由平面，所以，又，且 所以平面，所以，又， 所以平面，则，所以④正确． 故答案为：①②④ 17. 在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作出向量在向量上的投影向量，在直角三角形中求出；以点为坐标原点，为轴建立直角坐标系，利用坐标法求出的最小值. 【详解】过点作垂直于点，则向量为向量在向量上的投影向量， 由题意知点为线段的中点，所以， 所以，又为锐角，故. 以点为坐标原点，为轴建系如图，则，，. 因为，所以. 因为点为线段上的动点，所以设，故点. ，. 当时，取到最小值. 故答案为：；. 三、解答题（本题包括3道题，共32分） 18. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. （1）若，求的值及的外接圆半径； （2）若的面积为4，求b和c的值. 【答案】（1），外接圆半径为；（2），； 【解析】 【分析】（1）先由求出；再由题中条件，根据正弦定理，即可求出的值及的外接圆半径； （2）根据三角形的面积公式，由题中条件，可求出；再由余弦定理，即可求出. 【详解】（1）因为，为三角形内角，所以； 又，，所以由正弦定理可得：（其中为的外接圆半径）， 因此，； （2）因为的面积为4，，， 所以，因此； 由余弦定理可得， 所以. 19. 在 中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 （1）求b的值； （2）求sinA； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解， （2）根据正弦定理即可求解， （3）根据正弦定理，结合诱导公式即可求解. 【小问1详解】 由以及正弦定理可得，即， 由于，所以， 故, 【小问2详解】 由,可得， 由正弦定理可得可得 【小问3详解】 由正弦定理可得可得 20. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到，由线面垂直得到，从而证明出结论； （3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值. 【小问1详解】 连接，因为底面为平行四边形， 为中点，故与相交于， 因为为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理得， 即，解得， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且交于， 所以平面. 【小问3详解】 取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $