山东省淄博第一中学2025-2026学年高二第二学期6月教学质量检测数学试题

**基本信息** 2025-2026学年高二数学期末检测，聚焦数列、导数、概率统计核心知识，通过AI使用调查（第17题）、球总数估计（第19题）等真实情境，考查数学眼光、思维与语言，凸显应用与探究能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|数列、导数切线、线性回归、正态分布|导函数图像分析（第3题）考查几何直观| |多选|3/18|组合数、随机变量、函数性质|球与得分关联（第10题）体现数据观念| |填空|3/15|二项式系数、切线方程、数列排列|切线综合（第13题）融合导数与方程思想| |解答|5/77|数列证明与求和、概率分布列、独立性检验、函数极值与单调性、概率统计探究|AI使用调查（第17题）结合现实数据，球总数估计（第19题）培养创新意识|

2025一2026学年度第一学期高二教学质量检测 数学参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D B D D A ABC ACD 题号 11 答案 ACD 12.-9 13.-2 14.38 15.(1)证明见解析，4，=3”-1+5 2)3=3”-1 2 +5n (1)己知a=6,41=3a.-10,n∈N. 对递推式变形：a,-5=3-10-5=3a,-)即马=3（微数). a-5 当n=1时，4-5=6-5=1. 因此数列{a,-5}是以1为首项，3为公比的等比数列. 由等比数列通项公式得：a,-5=13”-1-3-1 整理得{a}的通项公式：4=3”-1+5. (2)由a=3+5,前u项和：8-84-会614安+5 k=1 k=1 k=1 等比数列求和：231=13-)3”-1 k=1 3-12 常数项求和： 因此8=3”1+5n 2 16.(1)X的分布列如下图所示： X 1 2 3 4 3 2-9 27 27 (2)(i)P(x>k)=1-p) (ii)由题意及(2)(i)证明如下： P(Xkm>)=P(X=k+mx>k)p>km)(-p) P(X>k) P(>k)(1-p) =(1-p)）"=P(X>m) 第1页共6页 P(>k+m=P(>m). (1)由题意， 整数N≥2，某同学进行投篮练习，至多投篮N次， 当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习， .X的可能取值为1,2,3,4， 当X-1时，表示第一次流投进球，P(X=)= 当X=2时，表示第2次投进球，第1次没有投进， 当X=3时，东示第3欢款球，面两成位台技运，风x=-行 当x=4时，表示在第4次停止，此事件等价于前3次投篮均未投中，P(X=4刊=P(X>3)-1 作出X的分布列如下图所示： X 2 2 4 8 P 3 27 27 (2)(i)由题意及(1)得， 整数N≥2，某同学进行投篮练习，至多投篮N次， 当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习， 当k≤N-1时，X>k表示前k次均未投中， P(X>k)=(1-p) (i)略。 17.(1)认为DeepSeek的使用情况与学历无关； (2)(i) 441 (i) 27 1000 9 (1)零假设为H,:DeepSeek的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据， 可得7-20x65x50-35x504604K635, 100×100×115×85 依据小概率值a=0.01的独立性检验，没有充分证据证明推断H,不成立， 因此可以认为H成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关. (2)(i)当甲，乙同时回答第(i=1,2,3)道题时，甲得分为X, P08 数学答案第2页共6页 x=0+号} p(X=-10)-5X25 2×1-1 比赛结束甲获胜时的得分X可能取值为10,20,30， 则P(X=30)= 27 1000 x-- 27 279 所以比赛结束后，甲获胜的概率P=P(X-30)+P(X=20)+P(X=10)= 27,27,279441 1000200100010001 (i)设A=“比赛结束后甲获胜”，B=“比赛结束后乙答对一道题， P(AB)-x 3) 1 10 5252 5X2*10=1000: 243 则P(BA)= P(AB)1000 27 因此比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为 27 P(A) 44749 49 1000 18.(1)极小值为1，无极大值： (2)当a≥0时，f(x)在区间(-o,0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增；当-1<a<0时，f(x)在区 间-0利[(-单洞送减，东区同Qn》 单调递增；当a=-1时，f(x)在区间 (@+上单词递减：当a<1时。f在区同(》和0+回上单调造减在区同山〔日》0） 上单调递增 (1)当a=1时，f(x)=e2x-2x,所以f'(x)=2e2x-2, 由f(x)=2e2x-2=0,得x=0, （-0,0) 0 (0,+∞） M(x) 0 + f(x) 单调递减 极小值f(0)=1 单调递增 第3页共6页 所以函数f(x)在区间(-o,0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增， 所以函数f(x)的极小值为f(O)=1,无极大值： (2)因为函数f(x)=ae2x+2(1-a)e-2x, 所以f(x)=2ae2x+2(1-a)e-2=2(ae*+1)(e-1) (i)当a≥0时，若f'(x)=2(ae+1)(e-1)=0,则x=0, 若x<0,则f(x)=2(ae+1)(e-1)<0, 若x>0,则f'(x)=2(ae+1)(e-1)>0, 所以函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增， (i)当-l<a<0时，由f"(x)=2(ae+1)(e-1=0,得x=0或x=lnm 若<0或》则f=2c+e-0 老0<n日 ,则f(x)=2(ae+1e->0, 所以函敏了儿倒在区间(@0和（日》把]上单调递减，在区间Q》上单调适期， (i进)当a=-1时，f"(x)=-2(e-1≤0，所以函数f(x)在区间(-，+∞)上单调递减， a)当a-1时.由了=2@c-le-)-=0,符x=0或=n 若e或0，则r2ae训e0 若n(司}x0,则f)=2(ac+e-l小o, 所以微在区h》和Q)上单调送减在区同日》 上单调递增， 综上所述：当a≥0时，函数f(x)在区间(-o,0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增： 当1长a<0时.正数fo在区间(-a0利[〔》+切】 上单调递减， 在区问Qh(》小上单调造始： 当a=-1时，函数f(x)在区间(-∞，+o)上单调递减： 数学答案第4页共6页 当a-1时，面数f在区间%（ 和(0，+∞)上单调递减， 在这间日0上单河道 10时 (2)正确；证明：由题意N=n,n+1,n+2,.,N, 所以N的分布列为： N n n+1 n+2 … N P P(N=n) P(N=n+1) P(N=n+2) P(N=N) 法一： 故E(W=nP(N=n)+(m+1)P(=n+1)+(n+2)P(N=n+2)+…+NP(N=N <NP(N=n)+NP(N=n+1)+NP(N=n+2)+.+NP(N=N)=N 因此E(W)<N，故丙同学论断正确： 法二： 故E(W)=nP(N=n)+(n+1)P(N=n+1)+(n+2)P(N=n+2)+…+NP(N=N) 景-景-景w器因为= CCCCC+C+C++C)C CNCN CN CN CN (N+1)I =N- n(N-n)n(+1)IN+n IN+NN (n+1)(N-n) N! n+1n+1 n+1 因此E(W)<N，故丙同学论断正确： fa b=-1, (1)设取到的3个球编号为a,b,c,不妨设1≤a<b<c≤5， 则N=27-1=2xa+b+c-1<M=c, 3 即c>2a+2b-3, 法一： 当a=1,b=2时，c>3,共2种情况： 当a=1,b≥3时，c>5,不符合题意： 当a≥2时，c>2b+1≥7，不符合题意. 2_21 所以事件N<M发生的概率为C05· 法二： 当c=5时，a+b<4,共1种情况： 第5页共6页 当c=4时，a+b≤3，共1种情况； 当c=3时，a+b<3,不符合题意. 221 所以事件N<M发生的概率为C105· (2)丙同学论断正确 证明略. (3)若M=k,表示n个数中，最大的为k,则其余n-1个数均比k要小， 0 0<k<n, 故P(M=k)= C 两以w)-2P0n-小-会， k(k-1)月 nk! 因为cg--mm收-nc:, k!(k-n+1)k:+nk!(k+1)k:(k+1): 面C+cCk-mm-收-+yk-中l收-+2 =C 0-2器总cG+Gs) Cc:++c)-= (N+1)！(N-n！n(N+1) (n+1)(N-nW! n+11 故E(网=B(aM+)=aBCw0+b=a2+b==N+号+b=N恒成立， n+1 10二1 [,n+1 所以 n+1,故/4 -n'时，E()=N. +b=0,b=-1 n+1 数学答案第6页共6页 参照秘密级管理★启用前 2025—2026学年度第二学期高二教学质量检测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．为公差不为0的等差数列的前项和，若，则等于 A．16 B．17 C．15 D．14 2．曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 3．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是 A．在单调递增 B．在处取得极大值 C．在单调递增 D．在处取得最大值 4．某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示： 时间x（月份） 1 2 3 4 5 销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法错误的是 A．变量x，y正相关 B．回归直线一定过样本中心 C． D．可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台 5．已知，则 A．1 B． C． D．122 6．已知函数，若且，则的取值范围为 A． B． C． D． 7．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是 A．甲类水果的平均质量为0.4kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 8．现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得0分。 9．设，且,下列等式正确的有 A． B． C． D． 10．袋中有7个大小相同的球，其中4个黑球、3个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为得分，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 11．已知函数，下列说法正确的有 A．对任意，函数是偶函数 B．若，则函数在上存在极值点 C．若，则函数在上的极小值为b+1 D．若，且方程有两个实数解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中，的系数为_____． 13．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 14．已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．若且，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在数列中，，． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求的前项和． 16．设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 17．“你好．我是，很高兴见到你我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为的使用情况与学历有关？ (2)某校组织“模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜．两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率； （ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 19．箱中有形状、大小完全相同的个球，编号分别为1，2，…，．从箱中取出个球，记录其编号分别为，，…，，记，即取出的个球中的最大号码．现考虑用概率统计的方法利用随机模拟取出的球编号信息估计总数，甲同学准备采用样本均值来估计总体均值，即，故认为的估计．但乙同学认为这种方法可能出现的无意义结果．例如，当，时，若，，，则，此时． (1)若，，求事件发生的概率； (2)甲同学的方法有缺陷，故乙同学提出用来作为的估计值，即．由于样本均值会稳定于期望，丙同学凭直觉判断，认为乙同学的方法也不科学．请研究丙同学的判断是否正确，并证明； (3)丙同学改进了乙同学的方法，对于给定的正整数，用来作为的估计值，即．试求实数，的值，使得． 数学试题 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高二教学质量检测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D B D D A ABC ACD 题号 11 答案 ACD 12． 13． 14． 15．(1)证明见解析， (2) （1）已知，，. 对递推式变形： 即（常数）. 当时，. 因此数列是以为首项，为公比的等比数列. 由等比数列通项公式得： . 整理得的通项公式：. （2）由，前项和：. 等比数列求和：. 常数项求和：. 因此. 16．(1)的分布列如下图所示： 1 2 3 4 (2)（i） （ii）由题意及（2）（i）证明如下： 即. （1）由题意， 整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， ∴的可能取值为1，2，3，4， 当时，表示第一次就投进球，， 当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，， 当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，， 当时，表示在第次停止，此事件等价于前次投篮均未投中，， 作出的分布列如下图所示： 1 2 3 4 （2）（i）由题意及（1）得， 整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， 当时，表示前次均未投中， ∴. （ii）略. 17．(1)认为的使用情况与学历无关； (2)（i）（ii） （1）零假设为：的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据， 可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明推断不成立， 因此可以认为成立，即认为的使用情况与学历无关. （2）（i）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为， ， ， ， 比赛结束甲获胜时的得分可能取值为10，20，30， 则， ， ， 所以比赛结束后，甲获胜的概率， （ii）设“比赛结束后甲获胜”，“比赛结束后乙答对一道题”， ， 则，因此比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为. 18．(1)极小值为，无极大值； (2)当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间上单调递减；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增. （1）当时，，所以， 由，得， 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； （2）因为函数， 所以， （ⅰ）当时，若，则， 若，则， 若，则， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， （ⅱ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， （ⅲ）当时，，所以函数在区间上单调递减， （ⅳ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增. 19．(1) (2)正确；证明：由题意，，，…，， 所以的分布列为： n … P … 法一： 故 ． 因此 ，故丙同学论断正确； 法二： 故 （因为） ． 因此 ，故丙同学论断正确； (3) （1）设取到的3个球编号为，，，不妨设， 则， 即， 法一： 当，时，，共2种情况； 当，时，，不符合题意； 当时，，不符合题意． 所以事件发生的概率为． 法二： 当时，，共1种情况； 当时，，共1种情况； 当时，，不符合题意． 所以事件发生的概率为． （2）丙同学论断正确 证明略. （3）若，表示个数中，最大的为，则其余个数均比要小， 故，所以， 因为， 而， 所以 ， 故 恒成立， 所以，故时， . 数学答案 第 2 页 共 7 页 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $参照秘密级管理★启用前 2025一2026学年度第二学期高二教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.Sn为公差不为0的等差数列{a}的前n项和，若s=5(a+4+a),则k等于 A.16 B.17 C.15 D.14 2.曲线y=5x+8lnx在点L,5)处的切线方程为 A.y=3x+2 B.y=5x C.y=8x-3 D.y=13.x-8 3.已知函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示，则下列描述正确的是 A.f(x)在(-n,1)单调递增 B.f(x)在x=0处取得极大值 C.f(x)在(0,1)单调递增 D.f(x)在x=1处取得最大值 4.某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示： 时间x(月份) 2 3 销量y(百台) 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 若y与x线性相关，且经验回归方程为：y=0.15x+a,则下列说法错误的是 A.变量x,y正相关 B.回归直线一定过样本中心（低，） C.a=0.13 D.可以预测当x=6时，商城内该电脑的销量为1百台 5.已知(1-2x)(1+x)=a+4x+a2x2+43++a,x，则4+43+44+4= A.1 B.-1 C.-122 D.122 e,x>0 6.已知函数f(x)= 2+e,xs0'若m<n且f(m=(叫，则2m-n的取值范围为 数学试题第1页共4页 A.（-e,-1] B.[1-e,1] C.(-1,e-1] D.(1-e,-1] 7.甲、乙两类水果的质量（单位：kg)分别服从正态分布N(2,o),N(山，o),正态曲 线如图所示，则下列说法错误的是 A.甲类水果的平均质量为0.4kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 1.99- C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ3=1.9915 00.40.8 破 8.现有n(n≥3，n∈N)个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第 k(k=1,2,3,,m)个袋中有k个红球，n-k个白球现将这些袋子混合后，任选其中一个 袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率 前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是 A. B c. D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部 分分，有选错的得0分。 9.设n,m∈N,且n≥m,下列等式正确的有 A.C= n! ml(n-m)! B.C=Cc.C-mtc n+1 D.Cm Cne! 10.袋中有7个大小相同的球，其中4个黑球、3个白球，现从中任取3个球，记随机变量 X为其中白球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Y为 得分，则下列结论正确的是 A.E(Y)=E(X)+3 B.PW=3)=1 Γ35 C.PY=4)=35 8 D.E(X0= 11.已知函数f(x)=cosx+ax2+b,a,b∈R,下列说法正确的有 A.对任意a,b∈R,函数f(x)是偶函数 B.若a=号则函数了(y在Q则上存在极值点 若a=,则函数f四在R上的极小值为五 D.若a=且方程)-=0有两个实数解，则b<-1 数学试题第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(1+x)°(1-2x)的展开式中，x2的系数为 13.曲线y=lnx在x=l处的切线恰好是曲线y=e的切线，则实数a= 14.已知集合A={xx=2n-1,neN},B={xx=2”,neN},将AUB的所有元素从小到 大依次排列构成一个数列{a}.若am∈B且a3∈B,则m= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.在数列{a}中，4=6，at1=3an-10,neN. (1)证明数列{a-5}为等比数列，并求{a}的通项公式： (2)求{a}的前n项和S,n. 16.设整数N≥2.某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮N次，当且仅当投中1次时或 N次均未投中时，停止练习.设该同学每次投中的概率为p(0<p<),各次投中与否 相互独立.记X为停止练习时该同学的投篮次数。 (1)当N=4,p=三时，求X的分布列： 3 (2)设k,m均为自然数. (i)当k≤N-1时，求P(X>k): (ii)当k+m≤N-1时，证明：P(X>k+mX>k)=P(X>m). 17.“你好.我是DeepSeek,很高兴见到你我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容， 请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题 的好参谋、好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了了解不同 学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 使用情况 学历 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 (1)依据小概率值au=0.01的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ (2)某校组织“AI模型知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道 数学试题第3页共4页 题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束，规定：若对同一道题目，两人 同时答对或答错，每人得0分：若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分， 比赛结束累加得分为正数者获胜.两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不 影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为亏，行· 31 ()求比赛结束后甲获胜的概率： (ⅱ)求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 附：X= n(ad-be) 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.已知函数f(x)=ae2x+2(1-a)e-2x (1)若a=1,求函数f(x)的极值： (②)讨论∫(x)的单调性 19.箱中有形状、大小完全相同的N个球，编号分别为1,2，.，N.从箱中取出个球， 记录其编号分别为X1,X2,,Xn(N>n),记M=max{X,X,,Xn},即取出的n 个球中的最大号码.现考虑用概率统计的方法利用随机模拟取出的球编号信息估计总数 N,甲同学准各采用样本均位了=+X青+么来借计包体均值，即了✉1y,故 认为N的估计N=2-1.但乙同学认为这种方法可能出现N<M的无意义结果.例如， 三4，n=3时，若X=1,名=2，X3=4,则M=4,此时N=2x十2十4-1= 3 (1)若N=5,n=3,求事件N<M发生的概率： (2)甲同学的方法有缺陷，故乙同学提出用M来作为N的估计值，即N=M.由于样本 均值会稳定于期望E(W),丙同学凭直觉判断E(W)<N,认为乙同学的方法也不科学.请研 究丙同学的判断E(N)<N是否正确，并证明： (3)丙同学改进了乙同学的方法，对于给定的正整数n(n<N),用aM+b来作为N的估 计值，即N=M+b.试求实数a,b的值，使得E()=N. 数学试题第4页共4页