精品解析：2026年湖南省长沙市雨花区雅境中学中考二模数学试题

2026年九下初三数学第二次全真模拟试卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. DeepSeek 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握其形式，确定的值的方法是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值，当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数就是n的值，由此即可求解． 【详解】解：万， 故选：C ． 2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别判断选项即可得出答案． 【详解】解：A、既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形以及中心对称图形判断，熟练掌握两种特殊图形的概念是解题关键，做题时注意看清楚题目要选的是哪种图形. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方，合并同类项，二次根式的减法，单项式除以单项式，进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方，合并同类项，二次根式的减法，单项式除以单项式，熟练掌握是解题的关键． 4. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A. 3，4，2 B. 12，5，6 C. 2，5，9 D. 5，2，7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，即任意两边之和大于第三边．通过比较两个较短边之和与最长边的大小来判断即可． 【详解】解：A．∵，∴可以组成三角形． B．∵，∴不能组成三角形． C．∵，∴不能组成三角形． D．∵，∴不能组成三角形． 故选A． 5. 某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级10名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为90，80，90，70，90，100，80，90，90，80．这组数据的众数是（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数概念（数据中出现次数最多的数是众数），熟练掌握相关概念是解题的关键． 根据众数的概念即可求解． 【详解】解：将题目中的成绩按出现次数统计：70分出现1次；80分出现3次；90分出现5次； 100分出现1次， ∵其中90分出现的次数最多（5次）， ∴这组数据的众数是90， 故选：C． 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴，，， ∴， 故选：． 7. 关于一次函数下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. y随x的增大而减小 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质应用．根据一次函数，得到图象分布在第一、二、三象限，与y轴交于点，与x轴交点坐标为，y随x的增大而增大，当时，，判断即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴图象分布在第一、二、三象限，与y轴交于点，与x轴交点坐标为，一次函数y随x的增大而增大，且当时，， 故A，C，D都错误，B正确． 故选：B． 8. 如图，点，，在上，已知圆心角，则圆周角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在优弧上任取一点，连接，，由圆周角定理可得，然后通过圆内接四边形性质即可求解． 【详解】解：如图，在优弧上任取一点，连接，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴圆周角的度数为． 9. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据5斗酒和斗谷子列方程组即可得到答案； 【详解】解：设清酒斗，醑酒斗， 由题意可得，， 故选：A． 10. 如图，在平行四边形中，，点E是边上的动点，连接，过点A作于点F．设，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、根据面积等式求函数关系式等知识与方法，作于点H，则，由，求得，由平行四边形的性质得，所以，由于点F，，得，则y，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点H，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点E到的距离等于， ∴， ∵于点F，， ∴， ∴y， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ． 故答案为：． 13. 要使式子有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式的性质，二次根式有意义要求被开方数为非负数，因此可得：， 解不等式得：． 14. 若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为，则它的母线长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接根据圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长的关系即可得出答案． 【详解】设圆锥的母线长为，由题意可知展开扇形的弧长， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积与弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积与弧长公式的关系． 15. 如图，在五边形中，，和的平分线交于点，则的度数为__________°. 【答案】 【解析】 【分析】先根据五边形的内角和公式及求出∠ABC+∠BCD的度数，再利用角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的值，然后利用三角形内角和公式即可求出∠BOC的值. 【详解】∵， ∴∠ABC+∠BCD=540°-330°=210°. ∵和的平分线交于点， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠BCD）=×210°=105°， ∴∠BOC=180°-105°=75°. 故答案为75. 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟练掌握多边形的内角和公式(n-2) ×180°是解答本题的关键. 16. 解方程的“规范”就像建筑的“地基”，错一步可能满盘皆错．学习解一元二次方程，必须严格遵守方程变形的基本法则．例如：下面解一元二次方程的过程所得出的错误结果，就是由于不遵守数学基本法则导致的．求解一元二次方程时，推理过程如下： 第一步：根据因式分解法，将右边分解为 ； 第二步：直接将方程两边同时除以，得到； 第三步：去括号，得到； 第四步：移项，得到； 第五步：系数化为1，解得 请你判断上述推理过程中，第__________步是错误，它违背了数学的基本法则． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．第二步直接除以代数式，但可能为零，违背了方程变形的基本法则：等式两边不能除以可能为零的代数式，否则会丢失根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：正确解法应从第一步开始， 移项得， 再因式分解得， 由因式分解法可得或， 解得或， 第二步直接除以时，未考虑的情况，导致丢失根，违背了方程变形的基本法则， 即第二步是错误的，它违背了数学的基本法则 故答案为：二 三、解答题（本题共9个小题，第17、18、19小题每小题6分，第20、21小题每小题8分，第22、23小题每小题9分，第24、25小题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，利用负整数指数幂，零指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质，特殊锐角三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，先分别解出每个不等式，再在数轴上表示，找到解集的交集即可． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式， 得． 在同一数轴上表示两个不等式的解集： 因此，原不等式组的解集为：． 19. 小宁同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连结． （1）求证：四边形是菱形． （2）连结，若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】该题考查了尺规作图，菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据尺规作图可得，即可证明四边形是菱形． （2）连接，与交于点，根据菱形的性质得出，结合菱形边长为，根据勾股定理求出的长，再根据菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：根据作法得， 四边形为菱形． 【小问2详解】 解：连接，与交于点， 四边形为菱形， ， ， ，故， 故菱形的面积为． 20. 某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________； （2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数； （3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率． 【答案】（1）100； （2）估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人 （3）刚好抽中两名同学为一男一女的概率为 【解析】 【分析】本题主题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、列表法求概率等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用“选择地点B的学生人数其其占比”求解即可；利用“选择地点A的学生占比”求解即可； （2）利用“该校学生总数×选择地点C的学生占比”，即可求得答案； （3）根据题意列表，结合表格即可获得答案． 【小问1详解】 解：此次被调查的学生共有（人）； 研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为． 故答案为：100；； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人． 【小问3详解】 解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1男2 男1女1 男1女2 男2 男2男1 男2女1 男2女2 女1 女1男1 女1男2 女1女2 女2 女2男1 女2男2 女2女1 由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种， 刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）． 答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为． 21. 某汽车专卖店销售、两种型号的新能源汽车，上周售出1辆型车和3辆型车，销售额为96万元：本周售出2辆型车和1辆型车，销售额为62万元． (1)求每辆车型车和型车的售价各多少万元? (2)甲公司拟向该商店购买、两种型号的新能源汽车共6辆，购车总费用不超过140万元，则至少购进型车多少辆? 【答案】(1) 每辆型车的售价为18万元，每辆型车的售价为26万元；(2)至少购进A型车2辆． 【解析】 【分析】（1）设每辆型车的售价为x万元，每辆型车的售价为y万元，根据题意，列出二元一次方程组即可求出结论； （2）设购进型车a辆，则购进型车（6-a）辆，根据题意列出一元一次不等式即可求出结论． 【详解】解：（1）设每辆型车的售价为x万元，每辆型车的售价为y万元 由题意可得 解得： 答：每辆型车的售价为18万元，每辆型车的售价为26万元 （2）设购进型车a辆，则购进型车（6-a）辆， 由题意可得18a＋26（6-a）≤140 解得：a≥2 ∴a的最小值为2 答：至少购进型车2辆． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键． 22. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C 在 A 地的北偏东 15°方向． （1）求∠C的度数； （2）求B，C两地的距离．（运算结果保留根号） 【答案】（1） （2）两地的距离为千米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形中与方位角有关的应用： （1）由平行线的性质得，由平角可求得的度数，由三角形内角和即可求得结果； （2）过点B作，垂足为G，则在中，由正弦函数关系可求得的长度，再在中，由正弦函数关系即可求得的长度，即两地的距离． 【小问1详解】 解：如图： 由题意得：，，，， ， ， ， ， 的度数为； 【小问2详解】 解：过点B作，垂足为G， 在中，千米，， （千米）， 在中，， （千米）， 两地的距离为千米． 23. 如图，为的外接圆，的三边均不经过圆心，的直径，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若点到的距离为，，，求的长． 【答案】（1） 解：是的切线，理由如下： 连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的直径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即可证明是的切线； （2）利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点到的距离为， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴． 24. 已知抛物线和抛物线，我们约定：当点是抛物线上任意一点时，点在抛物线上，此时称抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”， （1）若抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”，求m，n，k的值； （2）若抛物线的“和谐抛物线”过点，且满足，求点与原点间距离的最小值； （3）已知抛物线的顶点为点P，与x轴交于点C，D（点C在点D的左边），抛物线的“和谐抛物线”的顶点为点Q，与x轴交于点E，F（点E在点F的左边），且满足，当四边形为矩形时，求p，q，t的值或满足的关系． 【答案】（1） （2），详见解析； （3），详见解析 【解析】 【分析】（1）分别将，代入对应抛物线解析式，解方程组即可得解； （2）根据“和谐抛物线”的定义，结合抛物线的“和谐抛物线”过点，可得，设，得出，进而即可得解， （3）根据“和谐抛物线”的定义，抛物线的“和谐抛物线”的解析式为，求出点的坐标，根据矩形的性质可得，得出，将，，代入得出，再将代入上式，可得方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 设点是抛物线上的一点，则点在抛物线上，分别将，代入对应抛物线解析式，得， 解得； 【小问2详解】 由题意可得，抛物线：的“和谐抛物线”为：，将点代入中，得， ∴, ∴, 设， ∵ ∴，即， ∴， ∴时，取得最小值， ∴的最小值为； 【小问3详解】 ∵抛物线的“和谐抛物线”的解析式为， ∴点P、点C、点D和点Q、点E、点F的坐标分别为，，，，，， ∴，, ∵, ∴， ∴, ∵点P和点Q关于原点O对称，点C和点F关于原点O对称， ∴四边形是平行四边形， 当平行四边形是矩形时，， 如图，过点P作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴代入，得 ∴再将代入上式得，解得（舍去），（舍去），， ∴将代入得， ∴当四边形为矩形时，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、勾股定理和相似三角形的图象和性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 25. 如图，在四边形中，且，连接交于点E，延长至点F，使，连接． （1）求证：； （2）若，，求和的值； （3）若，，点O、M分别是的外心和内心，用含m，n的式子表示． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ∵，即 ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可； （2）作的外接圆，连接，交于点，连接，先证明点在上，然后证明，即可求解，再解直角三角形求解，即可求解，最后通过求解； （3）可得内心在上，连接，证明出，由，得到，则，那么，设，，则，在中，由勾股定理得，解得，再由勾股定理得，代入化简即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作的外接圆，连接，交于点，连接， ∴， ∵， ∴垂直平分，则， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点在上， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴（舍负） ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可知，点为的外心， ∵， ∴， ∴内心在上，连接， ∵的内心为点 ∴ ∵， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， 设， 则 在中，由勾股定理得， ∴ 解得 ∵ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九下初三数学第二次全真模拟试卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. DeepSeek 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A. 3，4，2 B. 12，5，6 C. 2，5，9 D. 5，2，7 5. 某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛．九年级10名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为90，80，90，70，90，100，80，90，90，80．这组数据的众数是（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，则（ ） A. B. C. D. 7. 关于一次函数下列说法正确的是（ ） A 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. y随x增大而减小 D. 当时， 8. 如图，点，，在上，已知圆心角，则圆周角的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，点E是边上的动点，连接，过点A作于点F．设，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 12. “二十四节气”是中华上古农耕文明智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 13. 要使式子有意义，则x的取值范围是______． 14. 若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为，则它的母线长为_______． 15. 如图，在五边形中，，和的平分线交于点，则的度数为__________°. 16. 解方程的“规范”就像建筑的“地基”，错一步可能满盘皆错．学习解一元二次方程，必须严格遵守方程变形的基本法则．例如：下面解一元二次方程的过程所得出的错误结果，就是由于不遵守数学基本法则导致的．求解一元二次方程时，推理过程如下： 第一步：根据因式分解法，将右边分解为 ； 第二步：直接将方程两边同时除以，得到； 第三步：去括号，得到； 第四步：移项，得到； 第五步：系数化为1，解得 请你判断上述推理过程中，第__________步是错误的，它违背了数学的基本法则． 三、解答题（本题共9个小题，第17、18、19小题每小题6分，第20、21小题每小题8分，第22、23小题每小题9分，第24、25小题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来． 19. 小宁同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连结． （1）求证：四边形是菱形． （2）连结，若，求四边形的面积． 20. 某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________； （2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数； （3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率． 21. 某汽车专卖店销售、两种型号的新能源汽车，上周售出1辆型车和3辆型车，销售额为96万元：本周售出2辆型车和1辆型车，销售额为62万元． (1)求每辆车型车和型车的售价各多少万元? (2)甲公司拟向该商店购买、两种型号的新能源汽车共6辆，购车总费用不超过140万元，则至少购进型车多少辆? 22. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C 在 A 地的北偏东 15°方向． （1）求∠C的度数； （2）求B，C两地距离．（运算结果保留根号） 23. 如图，为的外接圆，的三边均不经过圆心，的直径，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若点到距离为，，，求的长． 24. 已知抛物线和抛物线，我们约定：当点是抛物线上任意一点时，点在抛物线上，此时称抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”， （1）若抛物线与抛物线互为“和谐抛物线”，求m，n，k的值； （2）若抛物线的“和谐抛物线”过点，且满足，求点与原点间距离的最小值； （3）已知抛物线的顶点为点P，与x轴交于点C，D（点C在点D的左边），抛物线的“和谐抛物线”的顶点为点Q，与x轴交于点E，F（点E在点F的左边），且满足，当四边形为矩形时，求p，q，t的值或满足的关系． 25. 如图，在四边形中，且，连接交于点E，延长至点F，使，连接． （1）求证：； （2）若，，求和的值； （3）若，，点O、M分别是的外心和内心，用含m，n的式子表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $