2026年湖南省益阳市沅江市两校联考二模数学试题

**基本信息** 聚焦中考核心素养，融合文化传承与实际应用，梯度设计适配二模检测需求，如古算诗方程题、阅江楼测量题等体现数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、整式运算、三视图、概率等|古算诗方程渗透文化，菱形最值考查空间观念| |填空题|8/24|因式分解、函数平移、多边形外角等|折叠问题培养推理意识，函数交点面积体现数形结合| |解答题|8/66|统计概率、实际测量、方案设计等|阅江楼测量强化应用意识，垃圾处理方案凸显模型观念，正方形折叠探究发展创新意识|

2025-2026学年下学期第二次中考模拟检测试卷 数 学 注意事项: 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号; 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效; 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示: 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁; 一、选择题(本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项) 1．在实数，3，0，0.5中，最小的数是(   ) A． B．3 C．0 D．0.5 2．月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，384000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．下列各式中，计算正确的是（　　） A．6a﹣2b＝4ab B．（a2）3＝a5 C．a8÷a4＝a2 D．a2•a＝a3 4．下列几何体的三视图都相同的是（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（-2，1）的对应点为A′（3，-1），点B的对应点为B′（4，0），则点B的坐标为（    ） A．（9，-2） B．（-1，2） C．（3，-1） D．（-3，-1） 6．一个不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、4个黑球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 7．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意为：孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．设孩童有x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，内接于，．若 ，则弧的长为（   ） A．π B． C． D． 9．请根据学习函数的经验，自主尝试探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（   ） A．图象与轴的交点是 B．图象与轴有一个交点 C．随的增大而减小 D．当时， 10．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（　　） A．5 B．5 C．5 D．不能确定 二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项) 11．分解因式：_________． 12．若，则______． 13．一个八边形的所有内角都相等，它的每一个外角等于_____度． 14．将直线向上平移3个单位长度，所得直线的函数表达式是__________________． 15．如图，街道与平行，其中一个拐角，则另一个拐角的度数为_______． 16．如图，在中，，点E，F分别在，上，将沿折叠后，正好点C落在的M处．若，则的度数为______． 17．中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是______． 18．如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是_______ 三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19．（6分）计算：． 20．（6分）先化简， 再求值：，其中． 21．（8分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．根据以上的信息，回答下列问题： （1）被调查学生的总数为__________人，统计表中m的值为__________统计图中n的值为__________； （2）在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为__________； （3）喜爱体育电视节目的学生中有4人甲、乙、丙、丁在学校参加体育训练，现要从4个人中选拔两人参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少？ 类别 A B C D E 节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 24 60 m 108 18 22．（8分）西安曲江池遗址公园的阅江楼，是彰显唐文化的仿古建筑，楼阁错落有致、飞檐映水，承载着西安的盛唐底蕴．某数学活动小组开展测量阅江楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量阅江楼的高度 测量工具 皮尺、自制直角三角纸板、平面镜等 测量过程 1．小明手持自制直角三角纸板（，使长直角边与水平地面平行），调整自己站的位置，当在D处时其眼睛在C处看到C，F及阅江楼顶端A在一条直线上； 2．小华在B，D之间平放一块平面镜，通过调整平面镜的位置，当平面镜在点G处，小明在D处恰好能从平面镜中看到阅江楼顶端A的像 测量示意图 测量说明 ，，，均与水平地面垂直，图中所有的点都在同一平面内，点B，D，G在同一水平线上，忽略平面镜的厚度及大小 测量结果 米，米，米，米 请你根据活动报告中的信息，计算阅江楼的高度． 23．（9分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，DF∥AC，CF∥BD． （1）求证：四边形OCFD是矩形；（2）若AD＝5，BD＝8，计算tan∠DCF的值． 24．（9分）“绿水青山，就是金山银山”某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨． (1)求台型设备、台型设备日处理能力各多少吨？ (2)若购买、两种型号的垃圾处理设备共台、两种型号均购买，并且它们的日处理能力不低于吨．请你为该景区设计购买、两种设备的方案； (3)已知每台型设备价格为万元，每台型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于万元时，则按折优惠；问：采用中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 25．（10分）数学兴趣小组的同学在学习正方形时，将图形折叠到一些特殊的位置．如图①，正方形的边长为，是边上的一点，连接，将沿折叠至． (1)如图②，当点的对应点恰好落在对角线上时，________； (2)在（1）的条件下，求的长； (3)如图③，当时，与对角线交于点，求的长． 26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+4交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（6，7）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F，作PM⊥CD于点M． (1)求抛物线的解析式及sin∠PFM的值． (2)设点P的横坐标为m： ①若P在CD上方，用含m的代数式表示线段PM的长，并求出线段PM长的最大值； ②当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由． 答案第1页，共2页 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期第二次中考模拟检测试卷 数学参考答案 一、选择题(本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D D B B D A D A 二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项) 11． 12．1 13．45 14． 15．/150度 16． 17． 18． 三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19．解：原式 ． 20．解： ， 当时，原式． 21．解：（1）被抽查的学生总人数为：（人） 故答案是：， 统计表中m的值为：， 故答案是：90， 统计图中n的值为：， 解得：， 故答案是：36； （2）E类所对应扇形的圆心角的度数为：， 故答案是：； （3）画树状图如下： 可得共有12种等可能的情况，其中甲丙被同时选上的有2种可能，甲丙被同时选中的概率是． 22．解：过点作于，如下图： ，，， 四边形是矩形， 又∵，， ∴点E在上， ，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， 又， ， 解得， ，，， ∴ ∴ 解得， 答：阅江楼的高度为米． 23．（1）证明：∵DF∥AC，CF∥BD， ∴四边形OCFD是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠DOC＝90°， ∴平行四边形OCFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， ∵AD＝5， ∴CD＝5， ∵菱形ABCD两条对角线交于O， ∴OD＝OB＝BD， ∴OD＝4， ∵四边形OCFD是矩形， ∴OD＝CF， ∴在Rt△CFD中，CF2+DF2＝CD2， ∴DF＝3， ∴tan∠DCF＝＝． 24．（1）解：设1台A型设备日处理能力为吨，1台B型设备日处理能力为吨， 由题意得， 由得，代入得， 解得， 则， 答：1台A型设备日处理能力吨，1台B型设备日处理能力吨． （2）解：设购买A型设备台，则购买B型设备台， 由题意得， 解得， ∵为正整数（A、B两种型号均购买）， ∴或，对应的购买方案方案①：购买A型设备1台，B型设备台； 方案②：购买A型设备2台，B型设备台； 答：两种方案，分别为购买A型设备1台、B型设备台和A型设备2台、B型设备台． （3）解：方案①：货款万元， ∵，享受折优惠， 实际付款万元； 方案②：货款万元， ∵，不享受优惠， 实际付款万元； ∵， ∴方案①（购买A型设备1台、B型设备台）费用最少． 答：采用购买A型设备1台、B型设备台的方案，购买费用最少． 25．（1）解：正方形， ，， 根据折叠的性质得，， 故答案为：； （2）解：如图，由折叠的性质，得，， 正方形的边长为6， ，，， ，， ， ， ； （3）（3）如图，延长，交的延长线于点， 设， 在正方形中，，， ， 由折叠的性质，得， ， ， ， ， 过点作于点， ，， 在中，， ， 解得， ， ， ， 又， ， ， 由（2）知，， ． 26．（1）解：C在直线y＝x+4上， ∴C（0，4）． ∵点C（0，4）、D（6，7）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． ∵直线CD的解析式为y＝x+4， 直线CD是由直线y=x向上平移4个单位得到的， 又∵直线y=x与y轴的夹角为45°，直线轴， ∴∠PFM＝45°， ∴sin∠PFM＝sin45° （2）①设点P的横坐标为m，则P，F（m，m+4）． ∵， 在Rt△PFM中， ， ∵0， ∴当m时，PM的最大值为． ∴，PM的最大值为． ②∵， ∴若以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，只要PF＝OC＝4， 由题意：或， 解得或或（舍弃） ∴当m为或时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $