精品解析：山东聊城市东昌府区部分学校2023-2024学年下学期八年级数学期中试题

2023---2024学年第二学期期中考试 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 在实数，有理数有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知．若为整数且，则的值为（ ） A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 6. 在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 7. 关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，其中，，，为中点，过点，交、于点、，连接、，则下列结论错误是（ ） A. 四边形平行四边形 B. 当时，四边形为矩形 C. 当时，四边形为菱形 D. 四边形不可能为正方形 9. 如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（　　） A. B. C. 2 D. 10. 如图1，中，点P从点C出发，匀速沿向点A运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（　　） A. 5 B. 8 C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____． 12. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的立方根是______． 13. 关于、的方程组的解、满足，那么的取值范围是__________． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为______． 15. 如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，，则的长为________． 16. 将1，，，按右侧方式排列．若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是________． 三、解答题（本题共8个小题，共72分） 17. 按要求解答问题： （1）计算：； （2）计算：； （3）解不等式组：． 18. 如图，在中，G为BC边上一点，，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形． 19. 某校准备举行“歌唱祖国，爱我中华”的合唱比赛，计划购买A，B两种型号的笔记本对表现优异的学生进行奖励．已知购买1本A型笔记本和2本B型笔记本共需32元，购买2本A型笔记本和3本B型笔记本共需52元． （1）求A，B两种型号的笔记本的单价分别是多少元； （2）若学校购买A，B两种型号的笔记本共100本，且购买笔记本的总费用不超过1150元，求最多可以购买多少本B型笔记本． 20. 如图1是一个婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． （1）求的长度； （2）根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准？ 21. 已知，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，点B，点C的坐标为． （1）求点A、点B的坐标； （2）过点C作直线，与交于点D，且，求点D的坐标． 22. 如图，菱形对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 23. 我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，下面我们观察： ． 反之，， ， ． 仿上例，求： （1）； （2）计算：； （3）若，则求的值． 24. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形对角线交于点O．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．已知，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023---2024学年第二学期期中考试 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题需先计算出的结果，再根据算术平方根的定义求解，要注意区分算术平方根和平方根，算术平方根为非负数． 【详解】解：，根据算术平方根的定义，正数的算术平方根是它的正平方根， 的算术平方根是，即的算术平方根是． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴判断出的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可． 【详解】由图可知，，且， ∴，，，， ∴关系式不成立的是选项C． 故选C． 【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用了两个负数相比较，绝度值大的反而小． 4. 在实数，有理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案． 【详解】∵是有理数，其4个 故选D． 5. 已知．若为整数且，则的值为（ ） A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 6. 在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式：（1）两组对边平行①②；（2）两组对边相等③④；（3）一组对边平行且相等①③或②④，所以有四种组合． 【详解】（1）①②，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定； （2）③④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定； （3）①③或②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定； 共4种组合方法， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分；5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形． 7. 关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可． 【详解】解：， 由②得：， 解集为， 由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键． 8. 如图，，其中，，，为中点，过点，交、于点、，连接、，则下列结论错误的是（ ） A. 四边形为平行四边形 B. 当时，四边形为矩形 C. 当时，四边形为菱形 D. 四边形不可能为正方形 【答案】B 【解析】 【分析】证明，得到，由此判断A选项；利用勾股定理的逆定理判断B选项；利用直角三角形斜边中线的性质定理得到，由此判断C选项；利用判断D选项． 【详解】证明：， ， ， 为中点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形，故A选项正确； ，，， ， ， ，， ， 不是直角，故四边形不为矩形，故B选项错误； 当时，则， ， ， ， 四边形为菱形，故C选项正确； ，，， ， 四边形不可能为正方形，故D选项正确； 故选：B． 【点睛】此题考查平行四边形的判定定理，菱形及矩形的判定定理，正方形的判定，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，熟记各判定定理是解题的关键． 9. 如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可． 【详解】解：连接，， ∵点E，F分别是，的中点， ∴四边形是矩形， ∴M是的中点， 在正方形中，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 在中，M是的中点，N是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键． 10. 如图1，中，点P从点C出发，匀速沿向点A运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（　　） A. 5 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．通过观察图2可以得出，由勾股定理可以求出a的值，从而得出，当P为的中点时，由勾股定理求出长度． 【详解】解：因为P点是从C点出发的，C为初始点，观察图象时，则，P从C向B移动的过程中，是不断增加的，而P从B向A移动的过程中，是不断减少的， 因此转折点为B点，P运动到B点时，即时，，此时， 即，， ∵， 由勾股定理得：， 解得：， ∴， 当点P为中点时，， ∴， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____． 【答案】x＞3 【解析】 【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴x﹣3＞0， ∴x＞3， ∴x的取值范围是x＞3， 故答案为：x＞3． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 12. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的立方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根、解一元一次方程，根据一个正数有两个平方根，且互为相反数列方程求解a值，然后根据立方根定义求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴，则， ∵， ∴a的立方根为2， 故答案为：2． 13. 关于、的方程组的解、满足，那么的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据，得，再结合已知条件可得，解不等式即可． 【详解】， ，得， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，可证四边形是矩形，如图所示，连接，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， 如图所示： ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形，则， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质，等面积法求三角形的高的计算方法是解题的关键． 15. 如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质，证明≌，则有，由勾股定理算出，则可计算出． 【详解】矩形折叠， ，， ∵，， ≌（）, ， ，， ， ， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理；根据折叠的性质得到全等三角形，再得到相等的线段是解题关键． 16. 将1，，，按右侧方式排列．若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中所给排列方式，求出与表示的数，再相乘即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，， 所以第排有个数， 则前排数的总个数为：； 当时， ， 即前9排数的总个数为45， 所以第10排第一个数是的总第46个数， 又因为， 所以表示的数为； 当时， ， 即前14排数的总个数为105， 又因为， 所以表示的数为； 即与表示的两数之积为． 三、解答题（本题共8个小题，共72分） 17. 按要求解答问题： （1）计算：； （2）计算：； （3）解不等式组：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解： 由①得： 由②得： ∴ 不等式组的解集为： 18. 如图，在中，G为BC边上一点，，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证四边形AEDF是平行四边形，再证，则，即可得出结论． 【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形， ，，， ， 四边形AEDF是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 平行四边形AEDF是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，菱形的判定定理，熟练掌握以上几何性质是解题的关键． 19. 某校准备举行“歌唱祖国，爱我中华”的合唱比赛，计划购买A，B两种型号的笔记本对表现优异的学生进行奖励．已知购买1本A型笔记本和2本B型笔记本共需32元，购买2本A型笔记本和3本B型笔记本共需52元． （1）求A，B两种型号的笔记本的单价分别是多少元； （2）若学校购买A，B两种型号的笔记本共100本，且购买笔记本的总费用不超过1150元，求最多可以购买多少本B型笔记本． 【答案】（1）A型笔记本的单价是8元，B型笔记本的单价是12元 （2）最多可以购买87本B型笔记本 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，正确理解题意、列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设A型笔记本的单价是x元，B型笔记本的单价是y元，根据“购买1本A型笔记本和2本B型笔记本共需32元，购买2本A型笔记本和3本B型笔记本共需52元”列出方程组，解方程组，即可作答． （2）设学校购买m本B型笔记本，则购买本A型笔记本，根据“购买笔记本的总费用不超过1150元”，列出不等式，解不等式，即可作答． 【小问1详解】 解：设A型笔记本的单价是x元，B型笔记本的单价是y元． 根据题意，得解得 答：A型笔记本的单价是8元，B型笔记本的单价是12元． 【小问2详解】 解：设学校购买m本B型笔记本，则购买本A型笔记本． 根据题意，得，解得． 因为m为整数，所以m的最大值为87． 答：最多可以购买87本B型笔记本． 20. 如图1是一个婴儿车，图2为其简化结构示意图．现测得，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． （1）求的长度； （2）根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准？ 【答案】（1） （2）符合，理由见解析 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可求出； （2）根据勾股定理的逆定理得即可得答案． 【小问1详解】 解：在中，， 由勾股定理得，． ， ． 【小问2详解】 解：由（1）知， 在中，， ， 由勾股定理的逆定理得，是直角三角形， ， ． 故该车符合安全标准． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 21. 已知，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，点B，点C的坐标为． （1）求点A、点B的坐标； （2）过点C作直线，与交于点D，且，求点D的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标，一次函数与图形面积问题： （1）令可求点A的坐标，令可求点B的坐标； （2）设点D的坐标为，根据可得，求出m的值即可． 【小问1详解】 解：令，得， 令，得， ，； 【小问2详解】 解：，，， ，，， 点D在直线上， 设点D的坐标为， ， ，即， 解得或， 当时，， 当时，， 点D的坐标为或． 22. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为2 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，然后证明即可得出结论． （2）由三角形的中位线定理得，再由矩形的性质得，，，然后由勾股定理求出的长，即可得出的长． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 四边形是菱形， ， 由（1）得：，四边形是矩形， ，，， 是的中点， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理．熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键． 23. 我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，下面我们观察： ． 反之，， ， ． 仿上例，求： （1）； （2）计算：； （3）若，则求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、完全平方公式的应用、求代数式的值等，熟练掌握相关知识点并能够灵活运用是解题的关键． （1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简即可得解； （2）根据前面几个式子可猜想出其中的变化规律，直接利用规律进行化简，然后再求和即可得解； （3）对依次进行分母有理化可得，再通过移项、平方等变形可得、，然后将其代入所求代数式，进行化简即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 。 24. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形的对角线交于点O．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．已知，，求的长． 【答案】（1）解：四边形是垂美四边形． 理由如下：如图2，连接、， ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， ，即四边形是垂美四边形； （2）解：， 理由如下： 如图1中， ， ， 由勾股定理得，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接、，根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）如图3，连接、，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3，连接、， 正方形和正方形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即， 四边形是垂美四边形， 由（2）得，， ，， ， ，， ， ． 【点睛】本题为四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $