精品解析：2026年甘肃平凉市泾川县瑞丰乡中学初中学业水平考试数学原创模拟卷（二）

甘肃省2026年初中学业水平考试 数学·原创模拟卷（二） 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 4的算术平方根是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 如图是鲵鱼纹彩陶瓶，出土于甘肃天水市甘谷县西坪遗址，作为甘肃唯一彩陶类国宝级文物，其黑彩绘制技艺和动态纹饰展现了新石器时代彩陶艺术的高超水平，兼具实用性与艺术性，是中华彩陶史上的标志性作品．有关其三视图说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图各不相同 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 4. 2026年央视春晚武术节目《武》以“人机共武”表演惊艳全球，首次实现机器人持武器动态操控，成为科技与传统文化融合的典范之作．如图1是机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，其中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，若，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，连接，过点作，交的延长线于点，若，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 7. 古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．其实我国古代著作《天工开物》中记载的三千多年前古人利用桔槔在井上汲水就是利用了“杠杆原理”（如图1）．如图2，是古人利用桔槔在井上汲水的示意图，已知在处的力为，长为，则处的动力与动力臂（的长）的关系可以表示为（ ）． A. B. C. D. 8. 高铁的发展是中国科技创新的典范．从引进消化吸收到自主创新，中国高铁实现了从“跟跑”到“并跑”再到“领跑”的历史性跨越，高铁技术的突破不仅提升了国家科技实力，也增强了民族自豪感．如图是2017～2025年中国高铁运营里程及其增长情况的统计图，下列结论错误的是（ ）． 2017～2025年中国高铁运营里程及其增长情况 A. 2017～2025年中国高铁运营里程逐年增长 B. 2017～2025年中国高铁运营里程增长率先增后减 C. 2025年中国高铁运营里程比2024年多0.24万公里 D. 2019年中国高铁运营里程增长率最高 9. “格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》中被称为“铺地锦”．如图1表示，运算结果为3036．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a的值是（ ）． A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 10. 如图1，在正方形中，点E是的中点，动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当的值最小时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：______． 12. 如图，在中，点，，分别是边，，的中点，使四边形为菱形，应添加的条件是________（添加一个条件即可）． 13. 《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张．”意思是，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．而在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 15. 如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为______m（结果保留根号）． 16. 2026年3月3日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象．如图1，月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为2，A是弦的中点，B是半圆A上的一点，且，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 21. 12月6日，2025中国算谷数字产业发展大会在甘肃庆阳举办，本次大会以“中国算谷·智慧庆阳——人工智能赋能产业高质量发展”为主题．小智和小慧想了解这次大会的成果，现将正面分别写有A．算力成果；B．数据成果；C．研究成果；D．算法大模型成果；E．产业生态成果的五张外观、大小、质地完全相同的不透明卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，小智和小慧通过随机抽取卡片的方式选择要了解的成果，小智先随机抽取一张卡片记下成果后放回并洗匀，小慧再随机抽取一张卡片． （1）小智抽到写有“B．数据成果”卡片的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小智和小慧至少有一人抽到写有“E．产业生态成果”卡片的概率． 22. 我国传统的清明节大约始于周代，已有二千五百多年的历史，清明节气因为节令期间“气消景明、万物皆显”而得名．在清明节这天一些乡村还保留着古法锤打艾草年糕的习俗（如图1），如图2是艾草年糕锤打过程的示意图，连杆垂直木桩，垂足为B（不计连杆与木桩的直径），放置年糕的石臼，其截面为四边形，（D，B，G三点在同一直线上，石臼放在地面上）．已知，，，，．求连杆最高点A到地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 在年第届冬季奥林匹克运动会上，我国冰雪健儿勇夺枚金牌、枚银牌、枚铜牌，共枚奖牌，取得我国境外参加冬奥会历史最好成绩．为此，某学校为调查九年级学生对“冬奥会”知识的了解情况，进行了相关测试（百分制），从两班各随机抽取了名学生的成绩，并进行整理和分析．成绩得分用表示，共分成四组： A．． B．．C．．D．． 下面给出了部分信息： 信息一：九年级（1）班名学生的成绩是96，80，96，86，99，98，94，100，89，82； 九年级（2）班名学生的成绩在C组中的数据是94，90，92． 信息二：九年级（2）班抽取的学生成绩扇形统计图： 信息三：九年级两个班抽取的学生的部分统计量： 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 92 96 47.4 九年级（2）班 92 94 100 50.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出上述，的值：________，________； （2）九年级两个班共有名学生参加了此次测试，估计两班参加此次测试成绩优秀（）的学生总人数是多少？ （3）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的测试，你认为学校会选派哪一个班级？请说明理由． 24. 如图，正比例函数的图象交反比例函数的图象于点．将正比例函数的图象向上平移3个单位长度与的图象交于点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接，，求的面积． 25. 如图，在中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 26. 四边形和四边形都是正方形，连接． （1）如图1，当点E在边上，点G在的延长线上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将正方形绕着点A逆时针旋转（旋转角小于），当点D，E，G在同一条直线上时，与交于点O，若，求的长； （3）如图3，将正方形绕着点A逆时针旋转（旋转角小于），当点E在直线左侧时，与交于点H，与交于点O，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 27. 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交于点E，求的长； （3）点Q为抛物线上第三象限内的一动点． ①如图2，当时，求点Q的坐标； ②如图3，在①的条件下，过点C作直线l平行于x轴，动点M在直线l上，轴于点N，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省2026年初中学业水平考试 数学·原创模拟卷（二） 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 4的算术平方根是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】4的算术平方根是2． 故选B． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键． 2. 如图是鲵鱼纹彩陶瓶，出土于甘肃天水市甘谷县西坪遗址，作为甘肃唯一彩陶类国宝级文物，其黑彩绘制技艺和动态纹饰展现了新石器时代彩陶艺术的高超水平，兼具实用性与艺术性，是中华彩陶史上的标志性作品．有关其三视图说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同 C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图各不相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的三视图分析即可． 【详解】解：由图形可知：俯视图、主视图、左视图均不相同． 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据积的乘方法则计算乘方，再合并同类项即可得到结果. 【详解】解：. 4. 2026年央视春晚武术节目《武》以“人机共武”表演惊艳全球，首次实现机器人持武器动态操控，成为科技与传统文化融合的典范之作．如图1是机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，其中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，由平行和垂直可得，进而得出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5. 如图，四边形内接于，若，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补及三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴. 6. 如图，在矩形中，连接，过点作，交的延长线于点，若，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用列比例关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：． 7. 古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．其实我国古代著作《天工开物》中记载的三千多年前古人利用桔槔在井上汲水就是利用了“杠杆原理”（如图1）．如图2，是古人利用桔槔在井上汲水的示意图，已知在处的力为，长为，则处的动力与动力臂（的长）的关系可以表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂即可求得. 【详解】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ∴， ∴. 8. 高铁的发展是中国科技创新的典范．从引进消化吸收到自主创新，中国高铁实现了从“跟跑”到“并跑”再到“领跑”的历史性跨越，高铁技术的突破不仅提升了国家科技实力，也增强了民族自豪感．如图是2017～2025年中国高铁运营里程及其增长情况的统计图，下列结论错误的是（ ）． 2017～2025年中国高铁运营里程及其增长情况 A. 2017～2025年中国高铁运营里程逐年增长 B. 2017～2025年中国高铁运营里程增长率先增后减 C. 2025年中国高铁运营里程比2024年多0.24万公里 D. 2019年中国高铁运营里程增长率最高 【答案】B 【解析】 【分析】根据2017～2025年中国高铁运营里程及其增长情况的统计图逐一判断即可. 【详解】解：∵2017～2025年中国高铁运营里程逐年增长， ∴A正确，本选项不符合题意； ∵2017～2025年中国高铁运营里程增长率先增后减再增又减， ∴B错误，本选项符合题意； ∵2025年中国高铁运营里程比2024年多万公里， ∴C正确，本选项不符合题意； ∵2019年中国高铁运营里程增长率最高， ∴D正确，本选项不符合题意. 9. “格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》中被称为“铺地锦”．如图1表示，运算结果为3036．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a的值是（ ）． A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据“格子乘法”的规则，小方格内的数等于上方数字与右侧数字的乘积，且对角线右上部分表示十位，左下部分表示个位，观察图2中左上角或右上角方格内的代数式，结合整数乘法性质即可求出a的值． 【详解】解：由图2可知，上方数字为3，2，右侧数字为a，4，观察左上角的小方格，其所对的两个数为3和a，乘积为， 根据图示，该方格对角线下方的数字为a，表示的个位数字是a， ∵a为两位数的十位数字， ∴， 在1至9的整数中，只有的个位数字与乘数5相同， ∴， 验证：当时，观察右上角小方格，所对两数为2和5，乘积， 图示该方格对角线上方的数字为，即，与10的十位数字1相符，符合题意． 10. 如图1，在正方形中，点E是的中点，动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当的值最小时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象可知当点运动到点时，的面积最大，据此求出正方形的边长；根据垂线段最短可知当时，的值最小，解直角三角形求出的长，进而求出的长． 【详解】解：由图2可知，当点运动到点时，的面积最大，最大值为， 此时，  四边形是正方形，点是的中点， ，，  ，解得（负值舍去）  ，，， 当时，的值最小，此时点在上，  四边形是正方形，  ．  在中，，，   ，  ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】找出多项式的公因式，提取公因式即可完成因式分解. 【详解】解： . 12. 如图，在中，点，，分别是边，，的中点，使四边形为菱形，应添加的条件是________（添加一个条件即可）． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理可得DF∥AC，DE∥AB，即可得四边形AFDE为平行四边形，添加条件AF=AE，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形AFDE为菱形. 【详解】添加AF=AE， ∵点D、E、F分别是边BC，CA，AB的中点， ∴DF∥AC，DE∥AB， ∴四边形AFDE为平行四边形， ∵AF=AE， ∴四边形AFDE为菱形， 故答案为AF=AE． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定，证明四边形AFDE为平行四边形，再根据菱形的判定方法添加条件是解决本题的基本思路. 13. 《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张．”意思是，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．而在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干给出的示例，识别出算筹代表的数字及负号标记，结合有理数的概念即可求解． 【详解】解：根据题意，算筹计数规则为：分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．由“”表示可知：百位为两根竖线，表示数字；十位为三根横线，表示数字；个位为上面一横下面三竖，表示数字． 观察“”，其算筹排列与“”相同，即百位为，十位为，个位为．根据“在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法”，“”中个位算筹上斜放了一支算筹，表示该数为负数．所以“”表示的数是． 14. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与位似，位似中心是原点， ∴， ∵， ∴，即：. 15. 如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为______m（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【详解】根据图示建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式，利用已知条件求出点的坐标并代入解析式求出的值，确定函数解析式，再根据水位上涨后的高度求出对应的值，再列式求出水面宽度，即可作答． 【点睛】解：设抛物线的解析式为. 由题意可知，抛物线顶点为原点，对称轴为轴， ∵，，且点在第四象限， 根据抛物线的对称性，点的横坐标为，纵坐标为， 即； 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当水位上涨时，水面到拱顶的距离变为． 此时水面上点的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∴水面的宽度：． 16. 2026年3月3日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象．如图1，月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为2，A是弦的中点，B是半圆A上的一点，且，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、、，由勾股定理可得的长，即可得到，从而可得是等腰直角三角形，由垂径定理可得的长，证明，再由列式计算即可． 【详解】解：连接、、， 是圆心，是弦的中点， ， 是半圆上的一点，且， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； 是弦的中点，， ，， ． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算二次根式的乘法和化简，再算减法即可. 【详解】解：原式 . 18. 解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】， 把解集表示在数轴上如图： 【解析】 【分析】分别解不等式组中的两个不等式，即可得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示即可． 【详解】解：， 由①得：， 解得； 由②得，， 解得， 不等式组的解集为， 把解集表示在数轴上略： 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 当时， 20. 黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，点就是线段的黄金分割点： 【解析】 【分析】本题考查线段中点以及正方形的尺规作图方法． 【详解】设，则， ， ， ， 所以点就是线段的黄金分割点 21. 12月6日，2025中国算谷数字产业发展大会在甘肃庆阳举办，本次大会以“中国算谷·智慧庆阳——人工智能赋能产业高质量发展”为主题．小智和小慧想了解这次大会的成果，现将正面分别写有A．算力成果；B．数据成果；C．研究成果；D．算法大模型成果；E．产业生态成果的五张外观、大小、质地完全相同的不透明卡片背面朝上洗匀后放置在桌面上，小智和小慧通过随机抽取卡片的方式选择要了解的成果，小智先随机抽取一张卡片记下成果后放回并洗匀，小慧再随机抽取一张卡片． （1）小智抽到写有“B．数据成果”卡片的概率为______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小智和小慧至少有一人抽到写有“E．产业生态成果”卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用列举法列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果，用概率的公式求解； （2）画树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果，用概率公式求解． 【小问1详解】 解：小智先随机抽取一张卡片，等可能的结果有：A．算力成果；B．数据成果；C．研究成果；D．算法大模型成果；E．产业生态成果，共种，其中抽到写有“B．数据成果”卡片的结果只有种， ∴小智抽到写有“B．数据成果”卡片的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可得：所有等可能的结果有种，小智和小慧至少有一人抽到写有“E．产业生态成果”卡片的结果有种， ∴小智和小慧至少有一人抽到写有“E．产业生态成果”卡片的概率为：． 22. 我国传统的清明节大约始于周代，已有二千五百多年的历史，清明节气因为节令期间“气消景明、万物皆显”而得名．在清明节这天一些乡村还保留着古法锤打艾草年糕的习俗（如图1），如图2是艾草年糕锤打过程的示意图，连杆垂直木桩，垂足为B（不计连杆与木桩的直径），放置年糕的石臼，其截面为四边形，（D，B，G三点在同一直线上，石臼放在地面上）．已知，，，，．求连杆最高点A到地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】连杆最高点A到地面的高度为 【解析】 【分析】延长交于，在中，解直角三角形求得，在中，解直角三角形求得，据此计算即可求解． 【详解】解：延长交于，则四边形是矩形， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 在年第届冬季奥林匹克运动会上，我国冰雪健儿勇夺枚金牌、枚银牌、枚铜牌，共枚奖牌，取得我国境外参加冬奥会历史最好成绩．为此，某学校为调查九年级学生对“冬奥会”知识的了解情况，进行了相关测试（百分制），从两班各随机抽取了名学生的成绩，并进行整理和分析．成绩得分用表示，共分成四组： A．． B．．C．．D．． 下面给出了部分信息： 信息一：九年级（1）班名学生的成绩是96，80，96，86，99，98，94，100，89，82； 九年级（2）班名学生的成绩在C组中的数据是94，90，92． 信息二：九年级（2）班抽取的学生成绩扇形统计图： 信息三：九年级两个班抽取的学生的部分统计量： 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 92 96 47.4 九年级（2）班 92 94 100 50.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出上述，的值：________，________； （2）九年级两个班共有名学生参加了此次测试，估计两班参加此次测试成绩优秀（）的学生总人数是多少？ （3）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的测试，你认为学校会选派哪一个班级？请说明理由． 【答案】（1）； （2）人 （3）九年级（1）班的成绩更稳定， 理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据九（2）班C组的百分数求，根据中位数的定义求即可； （2）利用样本估计总体即可； （3）根据方差的意义解答即可． 【小问1详解】 解：九年级（2）班C组占的百分比为， ， ； 将九年级（1）班名学生的成绩按照从小到大的顺序排列：80，82，86，89，94，96，96，98，99，100； 位于第和位数据为和， 中位数； 【小问2详解】 解：样本中九年级（2）班测试成绩优秀（）的学生人数为（人）， 估计两班参加此次测试成绩优秀（）的学生总人数是（人）． 【小问3详解】 解：九年级（1）班的成绩更稳定， 理由： ，即九年级（1）班的方差小于九年级（2）班的方差， 九年级（1）班的成绩更稳定． 24. 如图，正比例函数的图象交反比例函数的图象于点．将正比例函数的图象向上平移3个单位长度与的图象交于点B． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式求出即可； （2）求出平移后的直线的解析式，进而求出点的坐标，作轴，轴，推出的面积等于梯形的面积，进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵把直线向上平移3个单位长度得到， ∴联立， 解得：或， ∴， 作轴，轴，则：， 则：， ∴ ． 25. 如图，在中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明：如图，连接， 根据题意可知，， ， 在和中， ， ， 点为上一点， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用证明，推出，依据切线判定定理可证是切线； （2）借助和求出圆半径，再依次算出、，最后在中用勾股定理求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 26. 四边形和四边形都是正方形，连接． （1）如图1，当点E在边上，点G在的延长线上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将正方形绕着点A逆时针旋转（旋转角小于），当点D，E，G在同一条直线上时，与交于点O，若，求的长； （3）如图3，将正方形绕着点A逆时针旋转（旋转角小于），当点E在直线左侧时，与交于点H，与交于点O，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）解：，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴； （2）的长为； （3）解：．理由如下： 如图，在上取点N，使得，连接， 由（2）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）连接，利用证明，得到，，再证明，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）在上取点N，使得，连接，证明，推出，，得到是等腰直角三角形，据此求解即可． 【小问1详解】 解：，理由略； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得或（舍去）， ∴的长为； 【小问3详解】 解：．理由略． 27. 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交于点E，求的长； （3）点Q为抛物线上第三象限内的一动点． ①如图2，当时，求点Q的坐标； ②如图3，在①的条件下，过点C作直线l平行于x轴，动点M在直线l上，轴于点N，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①点Q的坐标为；②的最小值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）求得抛物线的顶点，推出点，证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可； （3）①过点B作交抛物线于点Q，则有，利用待定系数法分别求直线、的解析式，再联立方程组即可求解； ②根据题意得出顶点，将顶点向下平移6个单位得到点，连接交x轴于点N，连接，得出，设，利用平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，，由作图知当Q、N、D三点共线时，取最小值，由待定系数法确定直线的解析式为，过点Q作轴交延长线于点F，利用各点坐标及勾股定理结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线 经过点 ，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得， 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点， ∵轴， ∴点，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①设直线解析式， 将点，代入，得：， 解得：， 则直线解析式为， 过点B作交抛物线于点Q，则有， 则直线的解析式为， 将点 代入，得：，解得：， ∴直线解析式为， 由， 解得：或 ， ∵点Q为抛物线上的点且在第三象限， ∴点Q坐标为； ②由（1）得， ∴顶点， 将顶点向下平移6个单位得到点，连接交x轴于点N，连接， 则， 设， ∴轴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由作图知当Q、N、D三点共线时，取最小值， 设直线的解析式为， 将点、代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴，即， 此时过点Q作轴交延长线于点F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $