第六章 平行四边形期末高频必刷题（八大题型）-2025-2026学年八年级数学下册期末高频必刷题（北师大版）

第六章 平行四边形期末高频必刷题 【题型 1：平行四边形边、角性质的基础应用】 【题型 2：平行四边形对角线性质的应用】 【题型 3：平行四边形性质的综合证明】 【题型 4：平行四边形的判定定理辨析】 【题型 5：平行四边形的判定证明题】 【题型 6：三角形中位线定理的直接应用】 【题型 7：三角形中位线的综合应用】 【题型 8：平行四边形与三角形中位线的综合题】 【题型 1：平行四边形边、角性质的基础应用】 1．如图，四边形是平行四边形，若，则∠A的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形三个顶点坐标分别是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，则的周长为（   ） A．8 B．1 C．13 D．16 4．如图，在中，，点是边上一点，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则的长为（   ） A．7 B．6.5 C．6 D．5 【题型 2：平行四边形对角线性质的应用】 5．若平行四边形的对角线与相交于点，，，则的周长为(   ) A． B． C． D． 6．如图，在中，交对角线于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，且，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 8．如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD相交于点 O，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，E和是对角线上的两点，并且，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型 3：平行四边形性质的综合证明】 10．如图，四边形是平行四边形，于点E，，，则值为（   ） A． B．1 C． D．2 11．如图，已知在中，是的角平分线，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 12．如图，在中，与的平分线分别交于点F与E． (1)求证：； (2)求证：． 13．已知，如图，点O是平行四边形的对称中心，过点O的任意直线交于点E，交于点F． (1)求证：． (2)求证：四边形的面积与四边形的面积相等． 【题型 4：平行四边形的判定定理辨析】 14．如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 15．小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 16．如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 17．如图，四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连结，，，．下列条件： ①；②； ③，； ④；⑤； 能得到四边形是平行四边形的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型 5：平行四边形的判定证明题】 18．如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 19．某款折叠便携钓鱼椅抽象出来的几何图形如图所示，测得， ，，，，已知． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)求椅子最高点到地面 的距离的大小． 20．如图，点是对角线上两点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 21．如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且，    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【题型 6：三角形中位线定理的直接应用】 22．如图，明明家有一块三角形空地，其中，，E，F分别是边的中点．若他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（    ）． A． B． C． D． 23．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 24．如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 25．如图，平行四边形的对角线相交于点是中点，且，则平行四边形的周长为（   ） A．20 B．16 C．12 D．8 【题型 7：三角形中位线的综合应用】 26．如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 27．如图，在平行四边形中，，，点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最小值为 _______ ． 28．如图，梯形中，，，，E是的中点，F是的中点，则_____ ． 29．如图，在中，，点D是上一动点，作且，连接分别是的中点，连接，则长为__________． 【题型 8：平行四边形与三角形中位线的综合题】 30．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 31．如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 32．【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平行四边形期末高频必刷题 【题型 1：平行四边形边、角性质的基础应用】 【题型 2：平行四边形对角线性质的应用】 【题型 3：平行四边形性质的综合证明】 【题型 4：平行四边形的判定定理辨析】 【题型 5：平行四边形的判定证明题】 【题型 6：三角形中位线定理的直接应用】 【题型 7：三角形中位线的综合应用】 【题型 8：平行四边形与三角形中位线的综合题】 【题型 1：平行四边形边、角性质的基础应用】 1．如图，四边形是平行四边形，若，则∠A的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的性质，证明是解题的关键． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ， ， 故选：D． 2．如图，平行四边形三个顶点坐标分别是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴点B的坐标为，即． 故选：A． 3．如图，在中，，，，则的周长为（   ） A．8 B．1 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，根据平行四边形的性质得出，由勾股定理求出解答即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 4．如图，在中，，点是边上一点，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则的长为（   ） A．7 B．6.5 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等角对等边．根据平行四边形的性质和折叠的性质可求出，，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点恰好落在线段上的点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型 2：平行四边形对角线性质的应用】 5．若平行四边形的对角线与相交于点，，，则的周长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的性质，根据，，进而求得是解题的关键．由平行四边形的性质得，，因为，，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线与相交于点， ，， ，， ， ， 的周长为， 故选：B． 6．如图，在中，交对角线于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，平行线的性质，根据三角形外角的定义及性质计算得出，再由平行四边形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，且，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：A． 8．如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD相交于点 O，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求解． 【详解】解：∵的对角线相交于点O，， ∴，， ∴的周长为 故选：B． 9．如图，在中，E和是对角线上的两点，并且，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，平行线的判定与性质以及全等三角形的判定与性质， 直接利用平行四边形的性质得出，再结合平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质可以判断B，C，D选项不符合题意，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，故D选项不符合题意， ， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∴， ∴， ∴，故B选项不符合题意， 无法证明，故A选项符合题意， 故选：A． 【题型 3：平行四边形性质的综合证明】 10．如图，四边形是平行四边形，于点E，，，则值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，关键是由勾股定理得到关于、的等式． 过作交的延长线于，判定，推出，，设，，则，，由勾股定理得到，因此，化简得，又因为，即，代入即可求解． 【详解】解：过作交的延长线于， 是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， 设，，则 ，， ，， ， ， ∴ ． ∴ ∴ 故选：B． 11．如图，已知在中，是的角平分线，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理； （1）由平行四边形的性质可得，结合角平分线的性质可得，因此命题得证； （2）结合（1）的结论，容易证明，则，根据“两直线平行，内错角相等”可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图，在中，与的平分线分别交于点F与E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义． （1）根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求得，，进而可证明结论； （2）根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，进而可证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴ ∴． （2）证明：设，交于点G． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 13．已知，如图，点O是平行四边形的对称中心，过点O的任意直线交于点E，交于点F． (1)求证：． (2)求证：四边形的面积与四边形的面积相等． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）连接，由题意易得，则有，然后可证，进而问题可求证； （2）连接，同理（1）可得：，然后根据全等三角形的性质可进行求证． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形，且点O是平行四边形的对称中心， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，如图所示： 同理（1）可得：， ∴， ∵， ∴． 【题型 4：平行四边形的判定定理辨析】 14．如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据平行四边形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、当，时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、当，时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当，时，则有，所以，所以，同理可得，所以根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、当，时，无法判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 15．小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】此题重点考查平行四边形的判定，通过观察，找到拼在一起后能够确定原来平行四边形的两组对边所在位置的两块玻璃的编号是解题的关键．观察图形，将②号玻璃和④号玻璃拼在一起，能够确定原来平行四边形的两组对边所在的位置，所以他带的两块碎玻璃编号是②④，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将②号玻璃和④号玻璃拼在一起，延长交于点A，延长交于点C， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴他带的两块碎玻璃编号是②④， 故选：D． 16．如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来判断，再利用平行四边形的性质来求解． 【详解】解：中点重合固定（记为点），故，相互平分，转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，四边形为平行四边形； A．不一定相等，选项错误，不符合题意； B．不一定相等，选项错误，不符合题意； C．不一定相等，选项错误，不符合题意； D．由平行四边形的性质知，选项正确，符合题意； 故选：D． 17．如图，四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连结，，，．下列条件： ①；②； ③，； ④；⑤； 能得到四边形是平行四边形的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题主要考查平行四边形的定义及其判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定，则比较简单． 此题利用平行四边形的判定及全等三角形的性质求解． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ①，可得，即可判定四边形是平行四边形； ②添加，结合，可证得，∴，可得，可以证明四边形是平行四边形； ③，可证得，根据， 证明，可得，可以证明四边形是平行四边形； ④，无法判定，则无法判定四边形是平行四边形； ⑤，则，可得，结合，则，继而可得，可以证明四边形是平行四边形； ∴能得到四边形是平行四边形的个数是4个． 故选：C． 【题型 5：平行四边形的判定证明题】 18．如图，中，E、F分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，F分别是，的中点， ，， ， 又， ∴四边形是平行四边形． 19．某款折叠便携钓鱼椅抽象出来的几何图形如图所示，测得， ，，，，已知． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)求椅子最高点到地面 的距离的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质可得，进而得，可知，即可证明结论； （2）延长交于点，先证明四边形是平行四边形，即可得的值，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形 是平行四边形； （2）解：如图，延长交于点， ∵，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 由（1）得， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴在中， 由勾股定理得． 20．如图，点是对角线上两点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得四边形是平行四边形； （2）过A作于H，根据直角三角形的性质得到，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：过A作于H， ， ，， ， ， ， ， ． 21．如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且，    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明，得，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形； （2）因为，所以，，求得，则，所以，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【题型 6：三角形中位线定理的直接应用】 22．如图，明明家有一块三角形空地，其中，，E，F分别是边的中点．若他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 根据点E，F分别是边，的中点得，，是的中位线，根据得，即可求解． 【详解】解：∵点E，F分别是边，的中点， ∴，，是的中位线， ∵， ∴， ∴篱笆的长为：， 故选：C． 23．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边对等角，平行线的性质，三角形内角和等知识，由点，分别是，的中点，根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”得，由点，分别是，的中点，得，而，所以，则，于是得到问题的答案，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 24．如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理可得，，，由平行线的性质可得，由角平分线定义得到，因此，可得，求出，得到，即可得的长． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．如图，平行四边形的对角线相交于点是中点，且，则平行四边形的周长为（   ） A．20 B．16 C．12 D．8 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．首先由中位线的判定与性质得到，再由，推出即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即是的中点， ∵是的中点， 是的中位线，且， ∴， ∵， ∴，即， ∴平行四边形的周长， 故选：A． 【题型 7：三角形中位线的综合应用】 26．如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，取中点，连接，则，由平行四边形性质可得，，通过中位线定理可得，，，从而可证明四边形是平行四边形，所以，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点，为的中点， ∴是中位线，是中位线，是中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．如图，在平行四边形中，，，点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最小值为 _______ ． 【答案】 【分析】连接，作于点Q，由平行四边形的性质得，而，则，求得，由，得，，则，所以，由三角形中位线定理得，因为，所以，则，所以的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点Q，则， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形中位线定理、垂线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 28．如图，梯形中，，，，E是的中点，F是的中点，则_____ ． 【答案】4 【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线是解题的关键． 连接并延长交于点H，由，得，而，，即可根据“”证明，得，，因为，所以，由E是的中点，F是的中点，根据三角形中位线定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接并延长交于点H， ∵，E是的中点， ∴，， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∵E是的中点，F是的中点， ∴， 故答案为：4． 29．如图，在中，，点D是上一动点，作且，连接分别是的中点，连接，则长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质． 由勾股定理得出，取中点，连接，证出是的中位线，是的中位线，由三角形中位线定理得出，证出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ， 取中点，连接，如图所示： ∵分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型 8：平行四边形与三角形中位线的综合题】 30．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)与互相平分，证明见解析 【分析】（1）选择方法一：延长到点F，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明四边形是平行四边形，得出，，即可证明结论； 选择方法二：取中点G，连接并延长到点F，使，连接，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，； （2）直接根据中位线性质进行求解即可； （3）连接，，证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：选择方法一： 如图，延长到点F，使，连接，，， ∵E是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即，且； 选择方法二： 如图，取中点G，连接并延长到点F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； （2）解：∵D、E分别为，的中点， ∴， ∵的长度为12米， ∴米； （3）解：与互相平分；理由如下： 如图，连接，， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴D、E、F分别是、、的中点， ∴，且， 又， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 31．如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定即可得证； （2）利用三线合一得，由勾股定理求出，结合平行四边形的性质可求出，再由勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理可得的长． 【详解】（1）证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵，是的中线， ∴，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴． ∵，E分别是，的中点， ∴． 32．【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理证明即可； （2）根据中位线定理证明即可； （3）连接，取中点，连接、，结合（1）（2）的结论证明为等腰直角三角形，进而解题． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）得， ∵是的中点，是的中点，为的中点， ∴，， ∴，， ∴； （3）证明：如图，连接，取中点，连接，，由（1）知， 由（2）可知，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， 由（1）知， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $